卢昌海 | 质量的起源

注：本文为卢昌海 | 质量的起源五篇合辑。
公式巨多，未一一校排。
如有内容异常，请看原文。

---

卢昌海 | 质量的起源

（一）

一、引言

物理学是一门试图在最基本层次上理解自然的古老科学，其早期曾是哲学的一部分。彼时，物理学关注的是关于世界本原的问题，这些问题看似朴素，实则极为困难。在漫长的岁月里，物理学一次次回到这些问题，如同远行的水手一次次回望灯塔。

“质量的起源” 便是一个关乎世界本原的问题。

二、宇宙物质的组成

我们首先界定讨论的质量所对应的物质。过去十年，观测宇宙学取得了一项瞩目的成就：以较高精度测定了宇宙物质的组成，使我们首次能够谈论 “精密宇宙学”（precision cosmology）。

根据精密宇宙学描绘的图景，在宇宙当前的能量密度中，暗能量（dark energy）约占 $68\%$，暗物质（dark matter）约占 $27\%$，而我们熟悉的 “可见物质”（visible matter）或 “普通物质”（ordinary matter）仅占 $5\%$（参阅拙作《宇宙学常数、超对称及膜宇宙论》）。目前，对暗能量与暗物质的研究尚处于初级阶段，尚未建立足够具体且有实验基础的理论，因此本文不对此展开讨论。

除去暗能量与暗物质，剩余的便是可见物质。可见物质在宇宙能量密度中占比虽小，却是我们熟知的物质世界的主体。可观测宇宙中数以千亿计的星系、每个星系中数以千亿计的恒星，以及某个不起眼恒星附近第三颗行星上数十亿的灵长类生物，都包含在这小小的 $5\%$ 可见物质之中（注一）。

本文讨论的对象即为这可见物质。

与以 “暗” 字打头的其余 $95\%$ 能量密度相比，我们对可见物质的研究与了解要深入得多。如今，几乎每位中学生都知道，这部分物质主要由质子、中子、电子等粒子组成。因此，讨论质量的起源，归根结底是讨论这些粒子的质量起源。

三、从机械观到电磁观

对几乎所有接受过现代教育的人而言，最早接触 “质量” 这一物理概念是在牛顿力学中。在牛顿力学里，质量是决定物体惯性和引力的基本物理量，是一个不可约（irreducible）的概念。在约两百年的时间里，牛顿力学被视为描述物理世界的基本框架，即所谓的机械观（mechanical worldview）。在此期间，物理学家曾试图将物理学的各个分支尽可能约化为力学。显然，在机械观主导的时期，质量作为力学中的不可约概念，自然成为整个物理学中的不可约概念。不可约概念无需也不能约化为更基本的概念，因此，有关质量起源的研究在该时期基本不存在（注二）。

然而，19 世纪末，试图将物理学各分支约化为力学的努力遭遇重大挫折，这一挫折首先来自电磁理论。电磁理论预言了电磁波，根据机械观，波的传播必须有相应的介质，但电磁波在什么介质中传播却无人知晓。尽管如此，物理学家仍按机械观的思路假设了这种介质的存在，并称之为 “以太”（aether）。但不幸的是，所有为以太构筑机械模型的努力均在实验面前碰壁。在这段最终催生狭义相对论的物理学阵痛期里，许多物理学家艰难地调和实验与机械以太模型之间的矛盾。与此同时，一种与机械观截然相反的思路 —— 电磁观（electromagnetic worldview）萌发了。电磁观认为：物理学中并无先验理由要求用力学框架描述自然，机械观的产生不过是因为力学在很长一段时间内是发展最成熟的物理学分支，如今电磁理论已发展到不亚于力学的成熟程度，既然无法将电磁理论约化为力学，为何不反过来将力学约化为电磁理论？

要将力学约化为电磁理论，一个关键步骤是将力学中的不可约概念 —— 质量 —— 约化为电磁概念，这是物理学家研究质量起源的第一种定量尝试。由于当时对物质微观结构知之甚少，1897 年由 Joseph John Thomson（1856-1940）发现的电子是当时唯一已知的基本粒子，因此，将质量约化为电磁概念的努力集中体现在对电子的研究上，由此产生了物理史上昙花一现的经典电子论（classical electron theory）。

四、经典电子论

经典电子论最著名的人物是荷兰物理学家 Hendrik Lorentz（1853-1928），他是经典物理学的大师。在相对论诞生前的几年，年届半百的 Lorentz 依然才思敏捷。1904 年，他发表了题为《任意亚光速运动系统中的电磁现象》（Electromagnetic Phenomena in a System Moving with Any Velocity Less than that of Light）的文章。在文中，他运用此前几年研究运动系统电磁理论时提出的包括长度收缩（length contraction）、局域时间（local time）在内的一系列假设，计算了具有均匀面电荷分布的运动电子的电磁动量，得出电子的横质量 $m_T$ 与纵质量 $m_L$ 分别为（采用 Gauss 单位制）（注三）：

$$m_T=\frac{2}{3}\frac{e^2}{R{c}^2}\gamma ;m_L=\frac{2}{3}\frac{e^2}{R{c}^2}{\gamma }^3$$

其中，$e$ 为电子电荷，$R$ 为电子在静止参照系中的半径，$c$ 为光速，$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$。撇开系数不谈，Lorentz 这两个结果中质量与速度的关系与后来的狭义相对论完全相同。

但 Lorentz 的文章刚发表，就遭到经典电子论另一位主要人物 Max Abraham（1875-1922）的批评。Abraham 指出，质量除了像 Lorentz 那样通过动量定义，还应能通过能量定义，例如纵质量可定义为 $m_L=\frac{1}{v}\frac{dE}{dv}$（注四）。但简单计算表明，用这种方法得到的质量与 Lorentz 的结果完全不同。

这表明 Lorentz 的电子论存在缺陷。缺陷何在？Abraham 认为，Lorentz 的计算忽略了平衡电子内部各电荷元之间相互排斥所必需的张力，没有这种张力，Lorentz 的电子会在电荷元的相互排斥下土崩瓦解（注五）。除 Abraham 外，另一位经典物理学大师 Henri Poincaré（1854-1912）也注意到 Lorentz 电子论的这一问题。Poincaré 与 Lorentz 是爱因斯坦之前在定量结果上最接近狭义相对论的物理学家。相较而言，Lorentz 的工作更为直接，为调和以太理论与实验矛盾，他提出了许多具体假设，而 Poincaré 往往从美学与哲学角度审视 Lorentz 等人的工作并进行修饰完善，这也符合两人的特点 ——Lorentz 是一流的工作型物理学家（working physicist），而 Poincaré 既是一流的数学及物理学家，又是一流的科学哲学家。1904 至 1906 年间，Poincaré 亲自研究 Lorentz 电子论，并定量引进维持电荷平衡所需的张力，这种张力因此被称为 Poincaré 张力（Poincaré stress）。在 Poincaré 工作的基础上，1911 年（即在爱因斯坦与 Minkowski 建立狭义相对论数学框架之后），德国物理学家 Max von Laue（1879-1960）证明，带有 Poincaré 张力的电子的能量动量具有正确的 Lorentz 变换规律。

下面用现代语言简单叙述经典电子论有关电子结构的主要结果。根据狭义相对论中最常用的约定，引入两个惯性参照系：$S$ 与 $S^{\prime }$，$S^{\prime }$ 相对于 $S$ 沿 $x$ 轴以速度 $v$ 运动。假定电子在 $S$ 系中静止，则在 $S^{\prime }$ 系中电子的动量为：

$$p^{\prime \mu }={\int }_{t^{\prime }=0}{T}^{\prime 0\mu }(x^{\prime \xi })d^3{x}^{\prime }=L_{\alpha }^0{L}_{\beta }^{\mu }\int T^{\alpha \beta }(x^{\xi })d^3{x}^{\prime }$$

其中，$T$ 为电子的总能量动量张量，$L$ 为 Lorentz 变换矩阵。由于 $S$ 系中 $T^{\alpha \beta }$ 与 $t$ 无关，考虑到：

$$\int T^{\alpha \beta }(x^{\xi })d^3{x}^{\prime }=\int T^{\alpha \beta }(\gamma x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime })d^3{x}^{\prime }={\gamma }^{-1}\int T^{\alpha \beta }(x^{\xi })d^{3}x$$

上式可改写为：

$$p^{\prime \mu }={\gamma }^{-1}{L}_{\alpha }^0{L}_{\beta }^{\mu }\int T^{\alpha \beta }(x^{\xi })d^{3}x$$

由此得到电子的能量与动量分别为（有兴趣的读者可自行证明）：

$$E=p^{\prime 0}=\gamma m+{\gamma }^{-1}{L}_i^0{L}_j^0\int T^{ij}(x^{\xi })d^{3}x$$

$$p=p^{\prime 1}=\gamma vm+{\gamma }^{-1}{L}_i^0{L}_j^1\int T^{ij}(x^{\xi })d^{3}x$$

这里，$i,j$ 的取值范围为空间指标 $1,2,3$，$m=\int T^{00}(x^{\xi })d^{3}x$，为简化结果，取 $c=1$。显然，这两个式子的第一项给出的能量动量是狭义相对论所需要的，而 Lorentz 电子论的问题在于，当 $T^{\mu \nu }$ 只包含纯电磁能量动量张量 $T_{EM}^{\mu \nu }$ 时，第二项非零（注六）。

那么，Poincaré 张力为何能避免 Lorentz 电子论的这一问题？关键在于，引进 Poincaré 张力后，电子成为满足力密度 $f^{\mu }={\partial }_{\nu }{T}^{\mu \nu }=0$ 的孤立平衡体系。在电子静止系 $S$ 中，$T^{\mu \nu }$ 不含时间，因此 ${\partial }_j{T}^{ij}=0$。由此可得到一个有用的关系式（请读者自行证明）：${\partial }_k(T^{ik}{x}^j)=T^{ij}$。对该式做体积分，注意到左边积分为零，可得：

$$\int T^{ij}(x^{\xi })d^{3}x=0$$

这一结果被称为 von Laue 定理（von Laue’s theorem），表明上述电子能量动量表达式中的第二项为零。因此，Poincaré 张力的引进漂亮地保证了电子能量动量的协变性。

至此，经过 Lorentz、Poincaré、Laue 等人的工作，经典电子论看似达到了一个颇为优美的境界，既维持了电子的稳定性，又满足了能量动量的协变性。但事实上，当这一系列工作完成时，经典电子论对电子结构的描述已处于看似完善、实则没落的境地。其中一个原因便是那个 “漂亮地” 保证了电子能量动量协变性的 Poincaré 张力 —— 这个张力究竟是什么？我们几乎一无所知。更糟糕的是，我们并非完全一无所知，而是知道它必须是非电磁起源的（因为其作用是抗衡电磁相互作用），而这恰恰是对电磁观的沉重打击。

就这样，试图将质量约化为纯电磁概念的努力，因必须引进非电磁起源的 Poincaré 张力而化为泡影。但这对于很快到来的经典电子论及电磁观的整体没落来说，还只是一个次要原因。

注释

1. 当然，这一说法并不严格，在星系所占据的空间范围内也有数量可观的暗物质及暗能量，我们这里指的只是光学观测意义上的星系。
2. 这里有一个著名的例外是 Ernst Mach（1838-1916），他对牛顿绝对时空观的批判性思考启示了一种观念，即一个物体的质量（惯性）起源于宇宙中其它星体的作用。Mach 的想法曾对爱因斯坦产生过影响，且至今仍有一些物理学家在研究，但它与广义相对论的定量结果及对惯性各向异性的测量结果并不相符，因此我们不将其列为有关质量起源的具体理论。
3. Lorentz 所用的质量定义是 $m\frac{dv}{dt}=\frac{dp}{dt}$，“横质量” 与 “纵质量” 分别对应于 $v$ 与 $\frac{dv}{dt}$ 垂直及平行这两种特殊情况。
4. 当时还没有爱因斯坦的质能关系式，Abraham 的这一关系式是一个简单的力学关系式，读者不妨自行推导。
5. 如上所述，Abraham 也是经典电子论的代表人物，有读者可能会问，他自己的电子模型又如何呢？与 Lorentz 不同，Abraham 所用的是一个绝对刚性的电子模型，因此在他的模型中不需要引进对能量有贡献的张力。他的模型一度曾被认为比 Lorentz 的模型更符合实验，但那实验 —— 即德国物理学家 Walter Kaufmann（1871-1947）的实验 —— 后来被证实是有缺陷的。
6. 有兴趣的读者可以进一步证明以下结果：
   1. 对于球对称均匀面电荷分布，$\int T_{EM}^{00}(x^{\xi })d^{3}x=\frac{1}{2}\frac{e^2}{R}$；
   2. 对于任意球对称电荷分布，$\int T_{EM}^{ii}(x^{\xi })d^{3}x=\frac{1}{3}\int T_{EM}^{00}(x^{\xi })d^{3}x$；
   3. 由 1 和 2 证明 Lorentz 有关 $m_T$ 与 $m_L$ 的公式；
   4. 证实 Abraham 对 Lorentz 的批评，即用 $m_L=\frac{1}{v}\frac{dE}{dv}$ 定义的质量与 Lorentz 的结果不同。

（二）

五、量子电动力学

经典电子论的没落是物理学史上最富宿命色彩的事件。这一宿命的由来是因为电子发现得太晚，而量子理论又出现得太早，这就注定了夹在其间、因 “电子” 而始、逢 “量子” 而终的经典电子论只能有昙花一现的命运（注一）。为它陪葬而终的还有建立在经典电磁理论基础上的整个电磁观。

量子理论对经典物理学的冲击是全方位的，足可写成一部壮丽的史诗。就经典电子论中有关电子结构的部分而言，对这种冲击最简单的启发性描述来自所谓的不确定原理（uncertainty principle）。如前所述，经典电子论给出的电子质量 —— 除去一个与电荷分布有关的数量级为 1 的因子 —— 约为 $\frac{e^2}{R{c}^2}$。由此可估算出 $R\approx 10^{-15}$ 米（感兴趣的读者请自行验证），这被称为电子的经典半径。但从不确定原理的角度看，对电子的空间定位精度只能达到电子的 Compton 波长 $\frac{\hslash }{mc}\approx \frac{R}{\alpha }\approx 10^{-12}$ 米的量级（其中 $\alpha \approx \frac{1}{137}$ 为精细结构常数），把电子视为经典电荷分布的做法只有在空间尺度远大于这一量级的情形下才适用。由于电子的经典半径远远小于这一尺度，表明经典电子论并不适用于描述电子的结构，建立在经典电子论基础上的电子质量计算也因此失去了理论基础（注二）。

然而，经典电子论对电子质量的计算虽然因量子理论的出现而丧失理论基础，但其中所体现的相互作用对电子质量具有贡献的思想却是合理的，并在量子理论中得到保留，这种贡献被称为电子自能（electron self-energy）。在量子理论基础上对电子自能的计算，最早由瑞典物理学家 Ivar Waller（1898-1991）于 1930 年在单电子 Dirac 理论的基础上给出，结果随虚光子动量的平方而发散。1934 年，奥地利裔美国物理学家 Victor Weisskopf（1908-2002）计算了 Dirac 空穴理论（hole theory）下的电子自能，发现其发散速度比 Waller 给出的慢得多，只随虚光子动量的对数而发散。撇开当时那些计算的诸多缺陷不论，Weisskopf 的这一结果在定性上与现代量子场论一致。

按照现代量子场论，相互作用对电子自能的贡献可以用对电子传播子产生贡献的单粒子不可约图（one-particle irreducible diagrams）来描述，其中主要部分来自量子电动力学（Quantum Electrodynamics，简称 QED）所描述的电磁自能，而电磁自能中最简单的贡献则来自如图 1 所示的单圈图。幸运的是，由于量子电动力学的耦合常数在所有实验所及的能区都很小，因此这个最简单的单圈图的贡献在整个电子自能中占了主要部分（注四）。

图 1 最简单的电子自能图

对这一单圈图的计算在任何一本量子场论教材中都有详细介绍，其结果为 $\delta m=\alpha m\ln (\frac{\Lambda }{m})$，其中 $m$ 为出现在量子电动力学 Lagrangian 中的电子质量参数，被称为裸质量（bare mass），$\Lambda$ 为虚光子动量的截断（cut-off）能标。如果把量子电动力学的适用范围无限外推，允许虚光子具有任意大的动量，则 $\delta m$ 将趋于无穷，这便是自 20 世纪三四十年代起困扰物理学界几十年之久的量子场论发散困难的一个例子。

量子场论中的发散困难，究其根本是由点粒子模型引起的。这种发散具有相当的普遍性，不单单出现在量子场论中 —— 将经典电子论运用于点电子模型同样会出现发散，这从经典电子论的电子质量公式 $m\approx \frac{e^2}{R{c}^2}$ 中可以清楚看到：当电子半径 $R$ 趋于零时，质量 $m$ 趋于无穷。经典电子论通过引进电子的有限半径（从而放弃点粒子模型）免除了这一发散，但伴随而来的 Poincaré 张力、电荷分布等概念却在很大程度上使电子丧失了基本粒子应有的简单性（注五）。这种简单性虽无先验理由，但无疑是人们引进基本粒子这一概念时怀有的一种美学期待，正如 Dirac 所说：“电子太简单，支配其结构的定律根本不应该成为问题”。经典电子论将质量约化为电磁概念的努力即便在其他方面都成功，其意义也会因引进电子半径这一额外参数及 Poincaré 张力、电荷分布等额外假设而大为失色。从这一角度讲，量子电动力学在概念约化上比经典电子论更为彻底，因为在量子电动力学的 Lagrangian 中不含任何与基本粒子结构有关的几何参数 —— 基本粒子在量子场论中以点粒子的形式出现，虽然这并不意味着它们不具有唯象意义上的等效结构，但所有那些结构都是作为理论的结果而非如经典电子论中那样作为额外假设而出现的，这是除与狭义相对论及量子理论同时兼容、与实验高度相符之外，建立在点粒子模型基础上的量子场论又一个明显优于经典电子论的地方。

至于由此产生的发散困难，在 20 世纪 70 年代之后随着重整化（renormalization）方法的成熟而得到了较为系统的解决。不过尽管人们对重整化方法在数学计算及物理意义的理解上都已相当成熟，发散性的出现在很多物理学家眼里仍基本消除了传统量子场论成为所谓 “终极理论”（Theory of Everything）的可能性，这是后话。

六、质量电磁起源的破灭

既然量子电动力学与经典电子论一样具有电子自能，那它能否代替经典电子论实现后者没能实现的把质量完全约化为电磁概念的梦想呢？很可惜，答案是否定的。

这可以从两方面看出：

首先，从 $\delta m=\alpha m\ln (\frac{\Lambda }{m})$ 中可见，由电磁自能产生的质量修正 $\delta m$ 与裸质量 $m$ 的比值为 $\alpha \ln (\frac{\Lambda }{m})$。由于 $\alpha =\frac{1}{137}$ 是一个较小的数目，$\ln (\frac{\Lambda }{m})$ 又是一个增长极其缓慢的函数，因此对于任何 Planck 能标以下的截断，$\ln (\frac{\Lambda }{m})$ 都是一个较小的数目（特别是，这一数目小于 1）。这意味着由电磁自能产生的质量修正是比较小的 —— 比裸质量更小（注六）。

另一方面，即便我们一厢情愿地把量子电动力学的适用范围延伸到比 Planck 能标还高得多的能区，从而使 $\delta m$ 变得很大，把质量完全约化为电磁概念的梦想依然无法实现。因为电子的电磁自能还有一个很要命的特点，即 $\delta m\propto m$。这表明，无论把截断能标取得多大，如果裸质量为零，电子的电磁自能也将为零。因此，为了解释电子质量，裸质量不能为零，而裸质量作为量子电动力学 Lagrangian 中的参数，在量子电动力学的范围内是无法约化的，从而终结了在量子电动力学中把质量完全约化为电磁概念的梦想。

有的读者可能会问：电磁自能既然是由电磁相互作用引起的，理应只与电荷有关，为什么却会正比于裸质量呢？这其中的奥妙在于对称性。量子电动力学的 Lagrangian 为：

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{4}{F}^{\mu \nu }{F}_{\mu \nu }+\bar{\psi }(i{\gamma }^{\mu }{\partial }_{\mu }-m)\psi -e\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{A}_{\mu }\psi$$

在 $m=0$ 时具有一种额外的对称性，即在 $\psi \to e^{i\alpha {\gamma }^5}\psi$ 下不变（请有兴趣的读者自行证明）。这种对称性被称为手征对称性（chiral symmetry），它表明在 $m=0$ 的情形下，电子的左右手征态：

$${\Psi }_L=\frac{1-{\gamma }^5}{2}\psi ,{\Psi }_R=\frac{1+{\gamma }^5}{2}\psi$$

不会互相耦合。另一方面，（读者可以很容易地证明）电子的质量项：

$$m\bar{\psi }\psi =m{\bar{\psi }}_L{\psi }_R+m{\bar{\psi }}_R{\psi }_L$$

却是一个使电子左右手征态相互耦合、从而破坏手征对称性的项。这样的项在电子的裸质量不存在 —— 从而量子电动力学的 Lagrangian 具有手征对称性 —— 的情况下将被手征对称性所禁止，不可能出现在任何微扰修正中。因此，$\delta m\propto m\ln (\frac{\Lambda }{m})$ 这一结果的出现是很自然的（注七）。

至此我们看到，试图把质量完全归因于电磁相互作用的想法在量子理论中彻底破灭了。电磁质量即便在像电子这样质量最小 —— 从某种意义上讲也最为纯粹 —— 的带电粒子的质量中也只占一个不大的比例，在其它粒子（尤其是那些不带电荷的基本粒子）中就更甭提了。

很显然，质量的主要来源必须到别处去寻找。

注释

1. 当然，这样的说法对历史作了一定简化。确切地讲，经典电子论的出现实际上略早于电子的发现，而类似于经典电子论的电子结构研究在量子理论之后仍间或地有一些物理学家在做，不过那些研究大都已不能完全归于经典电子论的范畴。另一方面，经典电子论所包含的电子结构以外的东西，比如从物质的微观 —— 但非量子的 —— 电磁结构出发研究宏观电磁及光学性质的方法，直到今天仍可以在一些经典电磁学的教材中找到踪迹。但总体来说，经典电子论随着量子理论的兴盛而没落的大趋势仍是显而易见的。
2. 经典电子论对电子的描述不仅与量子力学不符，在电子自旋发现之后，试图在经典电子模型中加入电子自旋的努力与狭义相对论也产生了矛盾，可谓腹背受敌。
3. Weisskopf 的计算包含了一个符号错误，但很快被 Wendell H. Furry（1907-1984）和 Frank Carlson 所纠正。
4. 量子场论的微扰展开式有许多微妙的地方。以量子电动力学为例，尽管其耦合常数 $\alpha$ 很小，从而 $n$ 圈图的贡献受到 ${\alpha }^n$ 的抑制，但另一方面，随着圈数的增加，不等价 $n$ 圈图的数目也在增加，其趋势约为 $n!$（这当然只是非常粗略的说法，圈图的确切数目与相互作用的具体形式有关，且其中还有符号问题，综合的结果非常复杂）。当 $n$ 接近或大于 $\frac{1}{\alpha }$ 时，圈图数量的增加将抵消由弱耦合所带来的减弱因子 ${\alpha }^n$ 的影响，因此量子电动力学的微扰展开式并不收敛，这一点最早是由英裔美国物理学家 Freeman Dyson（1923-）于 1951 年给出的（不过 Dyson 的论述方法与上面不同，感兴趣的读者可以参阅本文末尾的附录）。有鉴于此，所谓单圈图的贡献占了主要部分其实是从渐近级数的意义上说的。
5. 顺便提一下，Poincaré 张力带来的困难除了我们在第四节中提到的非电磁起源外，还有一个更严重的，那就是由 Poincaré 张力所维持的电子结构虽然具有静态的平衡，却是不稳定的，在细微的扰动下就会土崩瓦解（类似于爱因斯坦的静态宇宙模型）。这是 1922 年由意大利物理学家 Enrico Fermi（1901-1954）所证明的。
6. 当我们谈到截断的时候 —— 比如在本文中或者在《宇宙学常数、超对称及膜宇宙论》的第四节中讨论零点能时 —— 有一点需要提醒读者注意，那就是对于像电子自能或宇宙学常数这样对截断能标相对敏感的物理量，只计算截断能标以下的贡献显然是不完整的，那么来自截断能标以上的贡献有多少呢？答案是与适用于截断能标以上的理论的具体形式有关。如果那个理论本身也有截断，我们还必须关心来自那个截断能标以上的贡献。物理学家们的期望是，我们最终将会有一个有限的理论，那时我们就不需要用截断来遮遮掩掩了。
7. 这从简单的量纲分析就可以看出：$\delta m$ 的形式为 $mf(\frac{\Lambda }{m})$，而从 Feynman 图所对应的积分的形式可知其相对于 $\frac{\Lambda }{m}$ 的渐近形式 $f(x)$ 只能是对数或以正负整数为幂次的幂函数，这其中只有 $f(x)=\ln (x)$ 可以使 $\delta m$ 既在 $\Lambda \to \infty$ 时发散，又在 $m\to 0$ 时为零。

（三）

七、对称性自发破缺

质量的电磁起源破灭后，质量起源问题沉寂了很长一段时间。但物理学的前进步伐并未因此停顿 —— 物理学家们有大量观测数据需要分析解释，理论体系本身也有诸多问题亟待解决。对现代物理学的发展而言，这些具体或细节问题是比解决质量起源这样的本原问题更重要的动力。另一方面，现代物理学在研究这些问题中逐渐积累的智慧与洞见，又常常为更深入探求本原问题提供新思路。这是现代物理学的卓越之处，也是它没有像那些只注重深奥本原问题却不屑细节的尝试那样流于肤浅的重要原因。

物理学再次回到质量起源问题是在 20 世纪 60 年代。

20 世纪 60 年代初，物理学家在对基本粒子的研究中已发现许多对称性。对称性在物理学中一直占据重要地位，不仅因其优美形式与某些物理学家对自然规律的美学追求吻合，更重要的是它们兼具实用性，有一种穿透复杂性的力量。即便在对物理体系的动力学行为缺乏透彻理解时，对称性也往往具有令人瞩目的预言能力。这一点在 20 世纪五六十年代的粒子物理研究中极具吸引力，因为当时人们对基本粒子相互作用的动力学机制知之甚少，且对很大程度上为研究基本粒子相互作用而发展的量子场论产生了深深怀疑（感兴趣的读者可参阅本人译作《规范理论的重整化》）。在这种情况下，许多物理学家对对称性寄予厚望，希望通过它们窥视大自然在这一层次的奥秘。

但不幸的是，当时发现的许多对称性被证明只在近似情况下成立，如同位旋对称性。如何理解这种近似对称性呢？当时有一种猜测，认为近似对称性是（严格）对称性自发破缺的产物。

所谓对称性自发破缺（spontaneous symmetry breaking），指的是这样一种情形：物理体系的 Lagrangian 具有某种对称性，而基态却不具有该对称性。换句话说，体系的基态破缺了运动方程所具有的对称性。这种概念最早出现在凝聚态物理中，20 世纪 60 年代被日裔美国物理学家南部阳一郎（1921-）和意大利物理学家 Giovanni Jona-Lasinio（1932-）引进到量子场论中。在量子场论中，体系的基态是真空态，因此对称性自发破缺表现为体系 Lagrangian 所具有的对称性被真空态所破缺。

有的读者可能会问：物理体系的真空态由 Lagrangian 确定，为何会不具有 Lagrangian 的对称性呢？奥秘在于许多物理体系具有简并的真空态。若将所有简并真空态视为一个集合，它的确与 Lagrangian 具有相同对称性。但物理体系的实际真空态只是该集合中的一个态，这个态往往不具有整个集合的对称性，从而造成对称性破缺 —— 即对称性自发破缺（注一）。

但是，把近似对称性归因于对称性自发破缺的想法在 1961 年遭到致命打击。那一年，英国物理学家 Jeffrey Goldstone（1933-）提出并在稍后与巴基斯坦物理学家 Abdus Salam（1926-1996）及美国物理学家 Steven Weinberg（1933-）一起证明了 Goldstone 定理（Goldstone theorem）：每一个自发破缺的整体连续对称性都必然伴随一个无质量标量粒子，该粒子被称为 Goldstone 粒子（Goldstone particle）或 Nambu-Goldstone 粒子。

为什么会有这样的结果呢？我们来简单证明一下：

假定物理体系的 Lagrangian 中的势函数为 $V({\phi }_a)$（$a=1,\dots ,N$），其中 ${\phi }_a$ 为标量场（可以是基本的或复合的）。显然，体系的真空态满足 $\frac{\partial V}{\partial {\phi }_a}=0$（为避免符号繁复，略去对真空的标记），而标量粒子的质量（平方）由 $\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\phi }_a\partial {\phi }_b}$ 在真空态上的本征值给出。现在考虑对真空态 ${\phi }_a$ 作一个无穷小连续对称变换 ${\phi }_a\to {\phi }_a+\epsilon {\Delta }_a(\phi )$（其中 $\epsilon$ 为无穷小参数）。由于 $V({\phi }_a)$ 在该变换下不变（请读者想一想为什么），因此有：

$${\Delta }_a(\phi )\frac{\partial V}{\partial {\phi }_a}=0$$

（对相同指标求和，下同）。将上式对 ${\phi }_b$ 求一次导数，并注意到真空满足的条件，可得（请读者自行证明）：

$${\Delta }_a(\phi )\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\phi }_a\partial {\phi }_b}=0$$

由此可见，每一个 ${\Delta }_a(\phi )\ne 0$ 的连续对称变换都对应于 $\frac{{\partial }^{2}V}{\partial {\phi }_a\partial {\phi }_b}$ 的一个本征值为零的本征态，从而对应一个无质量标量粒子。另一方面，${\Delta }_a(\phi )\ne 0$ 的连续对称变换对应的正是那些不能使真空态不变、从而被真空态破缺（即自发破缺）的连续对称性。这就证明了每一个自发破缺的整体连续对称性都必然伴随一个无质量标量粒子，即 Goldstone 粒子。这正是 Goldstone 定理（请读者思考：Goldstone 定理中的 “整体” 二字体现在证明的什么地方？）（注二）。由于自发破缺的整体连续对称性的数目等于这些对称性的生成元的数目，因此 Goldstone 定理也表明，Goldstone 粒子的数目等于自发破缺的整体连续对称性生成元的数目。例如，SU (2) 对称性具有三个生成元，若完全破缺，会产生三个 Goldstone 粒子；若破缺为 U (1)，则只产生两个 Goldstone 粒子（因为有一个生成元未破缺）。进一步分析表明，Goldstone 粒子与那些自发破缺的整体连续对称性所对应的荷（关于荷，请读者回忆 Noether 定理）具有相同的宇称及内禀量子数。

当然，严格讲，上述证明只是经典层次上的证明，未考虑量子修正。那么考虑量子修正后，Goldstone 定理是否仍成立呢？答案是肯定的，且证明基本相同，只需用包含量子修正的量子有效势 $V_{\text{eff}}$ 取代经典 Lagrangian 中的势函数 $V$ 即可（注三）。

Goldstone 等人证明的这一结果为何会对 “把近似对称性归因于对称性自发破缺” 的想法造成致命打击呢？原因很简单：近似对称性中的某些 —— 如同位旋对称性 —— 正是整体连续对称性，若其近似性果真源自对称性自发破缺，就应存在相应的无质量标量粒子。但实验上从未观测到任何这样的粒子。因此，对称性自发破缺的想法在粒子物理学中因牵涉无质量粒子而陷入困境。

八、从 Higgs 机制到电弱统一理论

无独有偶，粒子物理学中产生于五六十年代的另一个高明想法也受到无质量粒子的困扰，那就是 1954 年由杨振宁（1922-）和 Robert Mills（1927-1999）提出的 Yang-Mills 理论（Yang-Mills theory）。这是一种定域 “非阿贝尔规范理论”（non-Abelian gauge theory），是对量子电动力学这类定域 “阿贝尔规范理论”（Abelian gauge theory）的推广（注四），具体区别是以非阿贝尔规范对称性取代量子电动力学的 U (1) 规范对称性。提出该理论最初的动机是试图用它描述同位旋对称性，但立刻遇到一个大困难：这种理论的定域规范对称性会无可避免地导致无质量的矢量粒子（称为规范粒子，类似于量子电动力学中的光子），而现实中，除光子外，实验上从未观测到任何这样的粒子。

就这样，Yang-Mills 理论与对称性自发破缺这两个出色想法先后搁浅，推根溯源，都是无质量粒子惹的祸。但仔细研究这对 “难兄难弟” 的病根会发现，两者竟像是互为解药！对称性自发破缺的问题出在整体连续对称性上，而 Yang-Mills 理论的问题出在定域规范对称性（一种特殊的定域连续对称性）上。如果把两者结合，让对称性自发破缺 “干掉” 那些产生无质量矢量粒子的定域规范对称性，Yang-Mills 理论不就可以摆脱困境了吗？更妙的是，由于 Yang-Mills 理论中的对称性不是整体而是定域的，Goldstone 定理将不适用于这种对称性的自发破缺，这样一来，那些 “可恶” 的 Goldstone 粒子也可能消失，岂不是两全其美？

最早明确指出这一点的是美国凝聚态物理学家 Philip Warren Anderson（1923-）。对 Anderson 来说，Goldstone 定理显然不可能普遍成立，因为当时凝聚态物理学家已知道，超导体是一个连续对称性 ——U (1) 对称性 —— 自发破缺的体系，但在此过程中并没有产生无质量的 Goldstone 粒子。Anderson 还正确意识到，U (1) 对称性的定域特点是使 Goldstone 定理失效的关键。由于并非只有定域 U (1) 对称性具有定域特点，事实上所有 Yang-Mills 理论都具有这一特点，因此 Anderson 在 1963 年猜测：“Goldstone 的零质量困难并不是一个严重的困难，因为我们很可能可以用一个相应的 Yang-Mills 零质量问题来消去它”。

Anderson 的想法得到一些物理学家认同，但也有人认为这种凝聚态物理的类比不能应用到相对论量子场论中。

这种怀疑很快被推翻。1964 年，英国物理学家 Peter Higgs（1929-）、比利时物理学家 Francois Englert（1932-）与 Robert Brout（1928-2011）等几乎同时证实了 Anderson 的想法，这便是描述规范对称性自发破缺的 Higgs 机制（Higgs mechanism），它一方面消除了无质量的 Goldstone 粒子，另一方面使规范粒子获得质量（注五）。

不过 Higgs 等人的漂亮工作并没有引起即刻的轰动。Higgs 就这一工作所写的两篇短文中的第二篇甚至一度遭到退稿，理由是 “与物理世界没有明显关系”。这一退稿理由使 Higgs 深感不快，但也促使他更深入考虑理论可能引致的实验结果，并对论文进行补充。Higgs 后来认为，他因遭到退稿而补充的那些内容是人们将 Higgs 粒子及 Higgs 机制与他的名字联系在一起的主要原因。

做了这么多背景介绍，现在回到主题 —— 质量的起源。Higgs 机制不仅一举 “救活” 了粒子物理学的新方法，即通过规范对称性的自发破缺，从不带质量项的 Lagrangian 中产生出质量来。不过，由此获得质量的 —— 如上文及（注四）所述 —— 只是规范粒子，而规范粒子的质量在宇宙可见物质的质量中只占微不足道的比例，我们更关心的是在可见物质质量中占主要比例的粒子 —— 费米子。

那么，费米子的情况如何呢？1967 年，Weinberg 和 Salam 将 Higgs 机制应用到美国物理学家 Sheldon Lee Glashow（1932-）等人几年前提出的旨在描述电磁和弱相互作用的 SU (2)×U (1) 规范理论中，建立起电弱统一理论（electroweak theory）（注六）。这一理论与描述强相互作用的量子色动力学（quantum chromodynamics）一起组成了粒子物理的标准模型。在标准模型中，费米子也是通过规范对称性的自发破缺 —— 更确切地说，通过电弱统一理论中的规范对称性自发破缺 —— 获得质量的。具体地讲，在标准模型中，费米场 $\Psi$ 与 Higgs 机制中的标量场（称为 Higgs 场）之间存在 Yukawa 耦合（Yukawa coupling）：$-\lambda \bar{\Psi }\Psi \varphi$（其中 $\lambda$ 为耦合常数）（注七）。由于 Higgs 场 $\varphi$ 具有非零的真空期待值，因此将这一耦合项相对于真空展开后会出现形如 $-m\bar{\Psi }\Psi$ 的费米子质量项。

因此，我们可以说，标准模型中所有基本粒子的质量都来源于电弱统一理论中的规范对称性自发破缺。这是标准模型对质量起源问题的直接回答。

不过遗憾的是，这一回答却是一个不尽人意的回答。为什么这么说呢？因为这一回答从某种意义上讲与其说是回答了问题，不如说是在转嫁问题 —— 把我们想要理解的基本粒子的质量转嫁给了 Higgs 的真空期待值、规范耦合常数以及 Yukawa 耦合常数。这其中 Higgs 场的真空期待值及规范耦合常数与基本粒子 —— 主要是费米子 —— 的种类无关，可算是具有普适性的，因此将质量向这些参数约化不失为一种有效的概念约化。但 Yukawa 耦合常数则不然，它对于每一种费米子都有一个独立的数值。由于这些参数的存在，标准模型的 Lagrangian 虽然不显含质量参数，但它所包含的与质量直接有关的自由参数的数目却一点也不比原先需要解释的质量参数的数目来得少（事实上还略多一点）。从某种意义上讲，用这种方式来解释质量的起源，就像英国物理学家 Stephen Hawking（1942-2018）在《时间简史》（A Brief History of Time）一书中引述的一位老妇人的 “理论”：那位老妇人宣称世界是平面的，由一只大乌龟托着；当被问到那只大乌龟本身站在哪里时，老妇人冷静地回答说：“站在另一只大乌龟的背上”。

因此，Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论虽然从许多唯象的方面衡量是非常成功的，其所体现的把质量与真空的对称性破缺性质联系在一起的思路也极为深刻，但它们作为与对称性破缺有关的特殊机制或模型，本身却没能实现对质量概念的真正约化，从而不能被认为是对质量起源问题令人满意的回答。

注释

1. 学过量子力学的读者可能会进一步问：如果一个量子体系的基态是简并的，那么体系的物理基态难道不应该是这些简并态的某种量子叠加吗？这种量子叠加 —— 如我们在量子力学中见到的 —— 往往不仅会破除原有的基态简并性，并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。在这种情况下，对称性自发破缺岂不是不存在了？这是一个非常好的问题，答案是：对于有限体系来说情况确实会如此（除非有什么原因 —— 比如对称性 —— 禁止简并基态间的相互耦合）。但在量子场论中通常假定体系的空间体积趋于无穷，这时不同真空态之间的相互耦合趋于零，严格的对称性自发破缺只发生在这种情形下。
2. Goldstone 定理也可以从几何上来理解：$V=V({\phi }_a)$（$a=1,\dots ,N$）可以看成是一个 N 维曲面，真空态对应于该曲面的一个极小值点，而该点处每一个独立的平坦方向（即二阶导数为零的方向）对应于一个无质量标量粒子。另一方面，每一个这种独立的平坦方向对应于一个可以使真空态移到邻近点的连续对称变换，这种连续对称变换所表示的正是被真空态所破缺的对称性。这就表明无质量标量粒子与这种自发破缺的对称性一一对应。另外再补充一点：Nambu 曾在 1960 年提出过类似于 Goldstone 定理的想法，但未引起足够重视。
3. 这里有一个很有意思的问题，那就是既然真正的对称性自发破缺是由量子有效势 $V_{\text{eff}}$ 而非经典势函数 $V$ 所决定的，那么在经典势函数 $V$ 不具有简并真空态（从而不会产生对称性自发破缺）的情况下，是否有可能通过体现在有效势 $V_{\text{eff}}$ 中的纯量子效应产生对称性自发破缺呢？答案是肯定的。如果哪位读者独立地想到这一点，并且有相应的理论基础，且早生几十年的话，就有可能作出一个非常重大的理论发现，那便是 1973 年由美国物理学家 Sidney Coleman（1937-2007）与 Erick Weinberg（1947-）所发现的如今被称为 Coleman-Weinberg 机制（Coleman-Weinberg mechanism）的对称性破缺机制。
4. 一般来说，粒子物理学中的规范对称性指的就是 “定域” 规范对称性。不过在本节中，为突出 “定域” 所起的作用，我们有时会特意注明。
5. 用技术性的语言来说，在 Higgs 机制中对应于 Goldstone 粒子的那些自由度可以被定域规范变换所消去（必须注意的是：“定域” 二字在这里至关重要，整体的连续变换是不具有这种能力的）。从规范理论的角度讲，这相当于选取了一种被称为幺正规范（unitary gauge）的特殊规范。这种特殊规范的选取造成定域规范对称性的破缺，从而使原本受定域规范对称性所限必须无质量的规范粒子可以获得质量。人们有时把这种机制形象地描述为：规范粒子通过 “吃掉” Goldstone 粒子而获得质量。另外要说明的是，这里所介绍的由 Higgs 等人提出的、被粒子物理标准模型所吸收的其实只是 Higgs 机制的一种最简单的实现形式 —— 但似乎恰好就是自然界所采用的形式。
6. 电弱统一理论中的规范对称性破缺方式是 SU (2)×U (1) 破缺为 U (1)，由此产生的三个 Goldstone 粒子通过 Higgs 机制使四个规范粒子中的三个（即 $W^{\pm }$ 和 Z）获得质量，剩下的一个（即光子）则维持了无质量。
7. 更确切地讲，标准模型中的 Yukawa 耦合是形如 $-\lambda {\bar{\psi }}_L{\psi }_R\varphi -\text{h.c.}$ 的项，其中 $\psi$ 为质量本征态（不同于弱本征态），L 与 R 分别代表左右手征部分，h.c. 代表厄密共轭。Yukawa 耦合是费米子场与标量场之间唯一的可重整耦合。

（四）

九、量子色动力学

与 Goldstone、Higgs 等人在对称性自发破缺方面的研究几乎同时，物理学家们在研究强相互作用上也取得了重大进展。1961 年，美国物理学家 Murray Gell-Mann（1929-2019）与以色列物理学家 Yuval Neeman（1925-2006）彼此独立地提出了强子分类的 SU (3) 模型（注一）。这一模型不仅对当时已知的强子给出了很好的分类，而且还预言了当时尚未发现的粒子，比如 ${\Omega }^{-}$（注二）。但这一模型有一个显著的缺陷，那就是 SU (3) 的基础表示（fundamental representation）似乎不对应于任何已知的粒子。1964 年，Gell-Mann 与美国物理学家 George Zweig（1937-）提出了夸克（quark）模型，将夸克作为 SU (3) 基础表示所对应的粒子，强子则被视为是由夸克组成的复合粒子（注三）。

在夸克模型中，为了给出正确的强子性质，夸克必须具有实验上从未发现过的量子数，比如分数电荷，这在当时是令人不安的。对此，Gell-Mann 也深感困惑，只能用 “夸克存在但不是真实的”（they exist but are not real）这样诡异的语言来搪塞。夸克模型的另一个麻烦是，夸克是费米子，而某些强子却似乎包含三个处于同一量子态的夸克，从而违反了 Pauli 不相容原理（Pauli exclusion principle）。关于这一点，1965 年美国物理学家 Oscar W. Greenberg（1932-）、韩国物理学家 Moo-Young Han（1934-）和 Nambu 先后提出了一个解决方案，那就是引进一个新的三值量子数以保证那些夸克具有不同的量子态。Nambu 甚至粗略地设想了以这一量子数为基础构造 Yang-Mills 理论，但这些工作并未引起重视。1972 年，Gell-Mann 等人在实验的引导下重新考虑了这一被 Gell-Mann 称之为色荷（color charge）的新量子数，以及以之为基础的 Yang-Mills 理论，这一理论被称为量子色动力学（quantum chromodynamics, QCD）。由于色荷是一个三值量子数，因此量子色动力学的规范群被选为了 SU (3)。

在量子色动力学的发展过程中，20 世纪 60 年代末的一系列所谓 “电子 - 核子深度非弹性散射”（deep-inelastic electron-nucleon scattering）实验起了很大的作用。这些实验不仅证实了核子内部存在着点状结构，而且还显示出这些点状结构之间的相互作用在高能 —— 即近距离 —— 下会变弱。这些点状结构被美国物理学家 Richard Feynman（1918-1988）称为 “部分子”（parton），它们中的一部分后来被证实就是夸克（另一部分是后面会提到的胶子），而部分子之间的相互作用在高能 —— 即近距离 —— 下变弱的行为则被称为渐近自由（asymptotic freedom）。渐近自由为实验上从未观测到孤立夸克这一事实提供了一种很好的说明：那就是当夸克彼此远离时，它们之间的相互作用会越来越强，最终从真空中产生出足以中和它们所带色荷的粒子。我们在实验上能够分离出的任何粒子 —— 比如强子 —— 都只能是这种色荷中和之后的产物，而不可能是孤立的夸克（注四）。由于这一原因，渐近自由很快被视为描述夸克相互作用的理论所必须具备的性质。

1973 年，美国物理学家 Hugh David Politzer（1949-）、Frank Wilczek（1951-）和 David Gross（1941-）等人发现 Yang-Mills 理论具有渐近自由性质（注五）。在当时已知的所有四维可重整场论中，Yang-Mills 理论是唯一具备这一性质的理论，这对 Gell-Mann 等人提出的量子色动力学是一个很强的支持。那时候，人们对 Yang-Mills 理论本身的研究也已取得了系统性的进展：1967 年，苏联物理学家 Ludvig Faddeev（1934-2017）和 Victor Popov（1937-1994）完成了 Yang-Mills 理论的量子化；1971 年，荷兰物理学家 Gerard 't Hooft（1946-）证明了 Yang-Mills 理论的可重整性。在这一系列工作的基础上，量子色动力学顺理成章地成为了标准模型中描述强相互作用的基本理论。这一理论中对应于 SU (3) 生成元的八个载力子被称为胶子（gluon），它们都是无质量的。

看到这里，有些读者可能会问：我们是不是离题了？量子色动力学中总共只有两类粒子：胶子与夸克。其中胶子是无质量的，而夸克虽然有质量，但其质量 —— 与标准模型中其它费米子的质量一样 —— 却是由电弱统一理论中的规范对称性自发破缺产生的，与量子色动力学无关。既然如此，量子色动力学与质量起源这一主题又能有什么关系呢？应该说，这是一个很合理的疑问。但量子色动力学的奇妙之处就在于，它形式上异常简洁 —— 一个简简单单的规范群，一个平平常常的耦合常数，差不多就是全部的家当 —— 但内涵却惊人地丰富。它宛如一坛绝世的佳酿，越品就越是回味无穷。在谈论质量起源问题的时候，人们往往把注意力放在 Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论上 —— 因为 Higgs 机制在登场伊始就打出了质量产生机制的响亮广告。但事实上我们将会看到，看似与质量起源问题无关的量子色动力学对这一问题有着非常独特而精彩的回答，而且从某种意义上讲，这一回答才是标准模型范围内的最佳回答。

我们先来看看量子色动力学的 Lagrangian：

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\text{Tr}\left(G^{\mu \nu }{G}_{\mu \nu }\right)+\sum \bar{q}\left(i{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }-m_q\right)q$$

其中，$q$ 为夸克场；$G_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }-ig\left[A_{\mu },A_{\nu }\right]$ 为规范场强；$D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ig{A}_{\mu }$ 为协变导数；$A_{\mu }$ 为规范势；$m_q$ 为夸克 $q$ 的质量；$g$ 为耦合常数；式中的求和遍及所有的夸克种类。自然界已知的夸克种类 —— 也称为 “味”（flavor）—— 共有六种。其中，u（上夸克）、d（下夸克）、s（奇夸克）被称为轻夸克，质量分别约为 2.3 MeV、4.8 MeV 和 95 MeV；c（粲夸克）、b（底夸克）、t（顶夸克）被称为重夸克，质量分别约为 1.3 GeV、4.2 GeV 和 173 GeV。这其中，轻夸克的质量是在约 2 GeV 的能标上定义的，重夸克的质量则是在其自身质量标度上定义的（注六）。这些质量参数本身在标准模型范围内是不能约化的，但由这些夸克所组成的强子的性质，在很大程度上可以由量子色动力学来描述，这其中就包括强子的质量。

在接下来的几节中，我们就来看一下量子色动力学对强子质量的描述，以及这种描述在何种意义上可以被视为是对质量起源问题的回答。

十、同位旋与手征对称性

我们知道，可见物质的质量主要来自于质子和中子，其中质子由两个 u 夸克及一个 d 夸克组成，而中子由一个 u 夸克及两个 d 夸克组成。在下面的叙述中，我们将只考虑这两种夸克。由于这两种夸克的质量远小于包括质子和中子在内的任何强子的质量，作为近似，我们先忽略它们的质量。这时量子色动力学的 Lagrangian 为：

$$\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\text{Tr}\left(G^{\mu \nu }{G}_{\mu \nu }\right)+i\bar{u}{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }u+i\bar{d}{\gamma }^{\mu }{D}_{\mu }d$$

显然（请读者自行验证），这一 Lagrangian 在以下两个整体 SU (2) 变换：

$$\psi \to \exp \left(-i{t}^a{\theta }^a\right)\psi ;\psi \to \exp \left(-i{\gamma }^5{t}^a{\theta }^a\right)\psi$$

下是不变的。这其中，$\psi =(u,d{)}^{\top }$，$t^a$ 是 SU (2) 的生成元（即 Pauli 矩阵的 1/2）。这两个存在于 u 夸克和 d 夸克之间的对称性分别被称为同位旋对称性与手征对称性（chiral symmetry），记为 SU (2)_V 与 SU (2)_A。这其中，同位旋对称性 SU (2)_V 只要夸克质量彼此相等（不一定要为零）就存在，而手征对称性 SU (2)_A 只有在夸克质量全都为零时才具有（这一情形因此而被称为手征极限）。这一点与我们在第六节中提到的无质量量子电动力学的手征对称性类似。除此之外，这一 Lagrangian 还存在一个显而易见的整体 U (1)_V 对称性，它对应于重子数守恒，与夸克是否有质量，以及质量是否彼此相等都无关。

综合起来，忽略夸克质量的上述 Lagrangian 具有整体 SU (2)_V × SU (2)_A × U (1)_V 对称性（注七）。在这些对称性中，同位旋对称性 SU (2)_V 与手征对称性 SU (2)_A 所对应的守恒流分别为：

$$V^{\mu a}=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{t}^a\psi ;A^{\mu a}=\bar{\psi }{\gamma }^{\mu }{\gamma }^5{t}^a\psi$$

显然，在宇称变换下，$V^{\mu a}$ 是矢量（vector），$A^{\mu a}$ 则是轴矢量（axial vector）。它们对应的荷 $(Q_V{)}^a=\int V^{0a}{d}^{3}x$ 与 $(Q_A{)}^a=\int A^{0a}{d}^{3}x$ 分别为标量（scalar）及赝标量（pseudoscalar）（注八）。

如果同位旋与手征对称性都是严格的对称性，那么 $(Q_V{)}^a$ 将生成强子谱中自 20 世纪 60 年代起逐步引导人们发现量子色动力学的同位旋对称性；而 $(Q_A{)}^a$ 则将生成所谓的手征对称性，它要求每一个强子都伴随有自旋、重子数及质量与之相同，而宇称却相反的粒子 —— 那样的对称性在强子谱中并未被发现过。

对此，最容易想到的解释是：由于 u 夸克和 d 夸克实际上并不是无质量的，因此手征对称性本就不可能严格成立。事实上，不仅手征对称性不可能严格成立，由于 u 夸克和 d 夸克的质量彼此不同，连同位旋对称性也不可能严格成立。但是，考虑到 u 夸克和 d 夸克的质量相对于强子质量是如此之小，相应的对称性在强子谱中似乎起码应该近似地存在。对于同位旋对称性来说，情况的确如此（否则就不会有早年那些强子分类模型了）（注九）。但手征对称性却哪怕在近似意义上也根本不存在。举个例子来说，手征对称性要求介子三重态 $\rho (770)$ 与 $\sigma (1260)$ 互为对称伙伴（请读者自行查验这两组介子的量子数），但实际上这两者的质量分别约为 775 MeV 和 1230 MeV，相差悬殊（作为对比，同位旋伙伴的质量差通常都在几个 MeV 以下），连近似的对称性也不存在。

初看起来，事情似乎出了麻烦，但物理学家们却从这一麻烦中找到了一条探究低能量子色动力学的捷径。正所谓 “山重水复疑无路，柳暗花明又一村”。

注释

1. Gell-Mann 将这一模型称为八正道（eightfold way），这一名称取意于佛教术语，所代表的是 SU (3) 分类模型中的八维表象。
2. ${\Omega }^{-}$ 于 1964 年被发现，它不仅量子数与理论预言完全一致，质量也非常接近理论的预期。
3. 当时 Gell-Mann 是加州理工学院（California Institute of Technology）的教授，Zweig 则是该校的研究生，他们虽在同一学校，但提出夸克模型是彼此独立的。夸克这一名称是 Gell-Mann 所取，来自于爱尔兰作家 James Joyce（1882-1941）的小说《芬尼根的守灵夜》（Finnegans Wake）；Zweig 提议的名字也很幽默，是 “Aces”—— 即扑克牌中的 “爱斯”。对 Zweig 来说，十分苦涩的经历是：同样标新立异的理论，Gell-Mann 的文章应杂志编辑的亲自邀请发表在了欧洲核子中心（CERN）的新杂志《Physics Letters》上，而人微言轻的 Zweig 的文章却遭到拒稿而未能及时发表。Zweig 后来转行离开了物理界。
4. 这一点也适用于胶子或任何不处于色单态的粒子组合。不过要注意的是，它的严格数学证明是极其困难的。事实上，它是美国克莱数学研究所（Clay Mathematics Institute）悬赏百万美元征解的七大数学难题之一的 “Yang-Mills 与质量隙”（Yang-Mills and Mass Gap）问题的一部分。不过许多物理学家对从数学上严格证明这一点并无太大兴趣，Weinberg 就曾经表示：“这一点肯定是正确的，因此我和其他一些人一样很乐意把证明留给数学家去做”[参阅本人译作《标准模型简史（下）》]。
5. Politzer 等人因此而获得了 2004 年的 Nobel 物理学奖。比他们稍早，Gerard 't Hooft 也有过同样的发现，可惜没有发表 [参阅本人的译作《规范理论的重整化（下）》]。
6. 补充说明两点：1. 定义夸克质量所用的重整化方案（renormalization scheme）是 $\overline{\text{MS}}$。2. 夸克的 “轻” 和 “重” 是相对于量子色动力学中的特征能标 ${\Lambda }_{QCD}$（约为 200-300 MeV）来区分的。
7. 有读者可能会问：既然有 U (1)_V，是不是也有 U (1)_A？在经典层次上答案是肯定的，但是在量子世界里，U (1)_A 会被反常（anomaly）所破坏。
8. 感兴趣的读者请利用场量的宇称变换性质 P: $\psi (t,x)\to {\gamma }^0\psi (t,-x)$ 自行证明 $V^{\mu a}$ 与 $A^{\mu a}$ 的变换性质 P: $V^{\mu a}(t,x)\to V_{\mu }^a(t,-x)$ 与 P: $A^{\mu a}(t,x)\to -A_{\mu }^a(t,-x)$。另外要注意的是，这里所说的矢量、轴矢量、标量、赝标量都是依据时空变换性质区分的，与那些量在 SU (2) 内禀空间内的变换性质无关。
9. 由于 s 夸克也是轻夸克，因此我们的讨论可以扩展至包括 s 夸克，这是强子分类中存在 SU (3) 近似对称性的原因 —— 请注意这个 SU (3) 是 “味” 对称性而不是 “色” 对称性。不过由于 s 夸克的质量较大，SU (3) 对称性的近似程度比 SU (2) 对称性要差。

（五）

十一、手征对称性自发破缺

手征对称性 SU (2)_A 是量子色动力学 Lagrangian 中的（近似）对称性，却在现实世界中完全找不到对应，这究竟是什么原因呢？应该说，要猜测一下是不困难的，因为当时物理学家们已经知道对称性可以自发破缺。如果量子色动力学中的手征对称性是自发破缺的，显然就会出现这种 Lagrangian 具有（近似）手征对称性，现实世界却并不买账的现象。但是，猜测归猜测，要想在理论上严格证明这一点 —— 哪怕只是在物理学而不是数学的标准下严格证明 —— 却是极其困难的。

有读者可能会问：对称性自发破缺在电弱统一理论中用得好好的，为什么在量子色动力学中却变得 “极其困难” 了呢？这是因为在电弱统一理论中对称性自发破缺是由人为引进的 Higgs 场产生的，我们有一定的自由度来选择对称性破缺的方式。但量子色动力学并不包含这种人为引进的 Higgs 场，因此，在量子色动力学中，整体 SU (2)_V × SU (2)_A × U (1)_V 对称性是否自发破缺？如果破缺，是否恰好是手征部分 SU (2)_A 破缺，即破缺到 SU (2)_V × U (1)_V？都只能由理论本身来决定，而不是我们可以擅自假设的，正是这一特点使问题变得 “极其困难”（注一）。更麻烦的是，手征对称性的破缺 —— 如果出现的话 —— 乃是一种出现在量子色动力学的强相互作用区域 —— 即低能区域 —— 的现象。对于理论研究来说，这无疑是雪上加霜。

另一方面，对称性自发破缺的存在与否及具体方式由理论本身所决定，虽然为量子色动力学带来了一个 “极其困难” 的理论问题，同时却也是它的一个极大的理论优势。因为电弱统一理论之所以只是对质量起源问题的一个不尽人意的回答，一个很重要的原因就是 Higgs 场以及它与费米场之间的相互作用 —— 即 Yukawa 耦合 —— 都是人为引进的，从而都是所谓的自由参数（free parameter）。而量子色动力学没有那种类型的自由参数，因此它与观测之间的对比更为严酷：如果成功，将是极具预言能力的成功，因为自由参数越少，预言能力就越强；但如果失败，也将是无力回天的失败，因为自由参数越少，回旋余地也就越小。

那么量子色动力学究竟能不能实现从 SU (2)_V × SU (2)_A × U (1)_V 到 SU (2)_V × U (1)_V 的对称性自发破缺呢？目前在理论上还是一个待解之谜。1979 年，'t Hooft 通过对规范理论中的反常（anomaly）进行分析，得到了一个结果：即如果所考虑的整体对称性是 SU (3)_V × SU (3)_A × U (1)_V，那它就必须自发破缺。可惜的是，一来量子色动力学中的 SU (3) 对称性远比 SU (2) 对称性粗糙，二来这一结果并未告诉我们具体哪一部分对称性会自发破缺。1980 年，美国物理学家 Sidney Coleman（1937-2007）与 Edward Witten（1951-）提出了在某些合理的物理条件下，当色的数目 $N_C$ 趋于无穷时，手征对称性必须自发破缺。这一结果虽然抓准了手征对称性，但可惜量子色动力学中色的数目 $N_C$ 不仅不是无穷，而且还很小（$N_C=3$）。1984 年，伊朗裔美国物理学家 Cumrun Vafa（1960-）与 Witten 证明了未被非零夸克质量项所破缺的同位旋对称性（请读者想一想，在现实世界里这一对称性由什么群来表示？）不会自发破缺。可惜这一证明虽然表明特定的同位旋对称性不会自发破缺，却未能对手征对称性是否一定会自发破缺提供说明。

虽然上述理论研究没有一个能够证明量子色动力学中的 SU (2)_V × SU (2)_A × U (1)_V 整体对称性必定会自发破缺到 SU (2)_V × U (1)_V，但它们都与这一破缺方式相容这一事实，无疑还是大大增强了人们的信心。在物理学上，严格证明是一种美妙的东西，但有时却可望不可及，物理学家们的工作往往并不总是依赖于它。迄今为止，虽然尚未有人能够给出量子色动力学中手征对称性自发破缺的严格证明，但从这一破缺方式已经得到的大量间接证据来看，它的证明应该只是时间问题。物理学家们更感兴趣的是：如果手征对称性自发破缺，我们可以从中得到什么推论？有关这一点，人们做过不少细致研究。那些研究获得了极大的成功，不仅给出了被称为 “手征微扰理论”（chiral perturbation theory）的描述低能量子色动力学的所谓 “有效场论”（effective field theory），而且得到了一系列与实验相吻合的漂亮结果。这一切也反过来为手征对称性的自发破缺提供了进一步的间接证据。

下面我们就来看看由手征对称性自发破缺导致的推论之中与质量起源问题有密切关系的部分。

十二、赝 Goldstone 粒子的质量

我们在第七节中介绍过，对称性自发破缺的最重要的推论之一，是存在无质量的标量粒子，即 Goldstone 粒子，它们与自发破缺的对称性所对应的荷具有相同的宇称及内禀量子数。对于手征对称性来说，荷是 $(Q_A{)}^a$，它在时空中是一组赝标量，在内禀空间中则是一个矢量，因此相应的 Goldstone 粒子的宇称为负，同位旋则为 1。自然界里满足这些特征的强子中质量最轻的是 $\pi$ 介子（${\pi }^{-}$、${\pi }^0$ 和 ${\pi }^{+}$）。如果手征对称性是自发破缺的，$\pi$ 介子就应该是这一破缺所对应的 Goldstone 粒子（注二）。但是，Goldstone 粒子是无质量的，$\pi$ 介子却是有质量的，这一矛盾该如何解决呢？

我们知道，在理想的对称性自发破缺情形下，体系的实际真空态可以是一系列简并真空态中的任何一个。但是，量子色动力学中的手征对称性破缺却并非理想情形下的破缺，因为量子色动力学的 Lagrangian 含有手征对称性的明显破缺项 —— 即夸克的质量项。由于这种明显破缺项的存在，实际真空态的选取就不再是任意的了，明显破缺项的存在将会对实际真空态起到一个选择作用。这就好比一根立在桌上的筷子，如果桌子是严格水平的，它向任何一个方向倒下都是同等可能的，但如果桌子是倾斜的，它就会往倾斜度最大（梯度最大）的方向倒。用数学的语言来说（符号的含义与第七节相同），如果 $V_1({\phi }_a)$（$a=1,\dots ,N$）表示对称性的明显破缺项，那么，它所选出的真空态将满足下列条件：

$${\Delta }_a(\phi )\left(\frac{\partial V_1}{\partial {\phi }_a}\right)=0$$

这一条件被称为真空取向条件（vacuum alignment condition）。另一方面，明显破缺项的存在也破坏了 Goldstone 定理成立的条件，由此导致的结果是 Goldstone 粒子有可能具有非零质量，这样的粒子被称为赝 Goldstone 粒子（pseudo-Goldstone particle）。真空取向条件是确定赝 Goldstone 粒子质量的重要条件。

赝 Goldstone 粒子的出现消除了 $\pi$ 介子的非零质量与 Goldstone 粒子的零质量之间的定性矛盾。但在定量上，$\pi$ 介子与赝 Goldstone 粒子的质量是否吻合呢？我们现在就来看一看。

如前所述，对于量子色动力学中的手征对称性来说，对称性的明显破缺项为质量项，它可以改写成（请读者自行验证）：

$$V_1=\frac{1}{2}(m_u+m_d)\bar{\Psi }\Psi +\frac{1}{2}(m_u-m_d)(\bar{u}u-\bar{d}d)$$

其中，$\bar{\psi }\Psi =\bar{u}u+\bar{d}d$。上式的特点是：第一项只破坏手征对称性，第二项则破坏同位旋对称性。研究表明，在这些特点的基础上进一步考虑到不存在同位旋对称性的自发破缺这一限制，可以得到赝 Goldstone 粒子的质量为（这一结果也可以从手征微扰理论得到）：

$$M_{\pi }^2=\frac{1}{2}(m_u+m_d)\frac{⟨0|\bar{\Psi }\Psi |0⟩}{F_{\pi }^2}$$

其中，$F_{\pi }$ 是一个量纲为能量的常数，由

$$⟨0|A^{\mu a}(x)|{\pi }^b(p)⟩=i{p}^{\mu }{F}_{\pi }{\delta }^{ab}{e}^{-ipx}$$

定义。$F_{\pi }$ 被称为 $\pi$ 衰变常数（pion decay constant），可以由 $\pi$ 介子的衰变来确定，原则上也可以从理论上计算出，其数值约为 92.4 MeV（注三）。$⟨0|\bar{\psi }\psi |0⟩$ 是一个量纲为能量三次方的参数，被称为手征凝聚（chiral condensation），目前人们对它的计算还比较粗略，结果大致为 $⟨0|\bar{\Psi }\Psi |0⟩\approx -(270\text{ MeV}{)}^3{n}_f$，其中 $n_f$ 为参与凝聚的夸克种类，对于我们所考虑的情形 $n_f=2$（即只有 u 夸克和 d 夸克参与凝聚）（注四）。$m_u+m_d$ 通常取为 8-9 MeV。由此可以得到（请读者自己计算一下）：$M_{\pi }\approx 140\text{ MeV}$。这几乎正好就是 $\pi$ 介子的质量（${\pi }^{-}$ 的质量约为 140 MeV；${\pi }^0$ 的质量约为 135 MeV）。当然，上述估算是相当粗略的，不能因为数值上的吻合而高估它的精度。但结合了格点量子色动力学（lattice QCD）计算的大量更为细致的研究表明，这种吻合并非偶然（注五）。

现在让我们再次回到主题 —— 质量的起源 —— 上来。我们看到，量子色动力学计算出了作为赝 Goldstone 粒子的 $\pi$ 介子的质量。如果我们想知道 $\pi$ 介子的质量起源，这可以算是一种回答。可惜的是，这种回答与我们在第六节中介绍的电磁自能具有相同的缺陷，那就是它正比于在理论中无法约化的外来参数：夸克质量。一旦外来参数不存在（即夸克质量为零），这一回答就会失效（因为答案也将为零）。因此，量子色动力学对 $\pi$ 介子及其它赝 Goldstone 粒子质量的计算虽然很漂亮，从回答本原问题的角度看却仍不足以令人满意。

十三、一个 93 分的答案

但是，当我们把目光转到更复杂，同时也更具现实意义的强子 —— 比如质子和中子（以下合称核子）—— 的质量时，却会看到量子色动力学的确为质量起源问题提供了一个非常精彩的回答。

计算核子或其它重子的质量是一个相当困难的低能量子色动力学问题，通常的做法是利用巨型计算机进行格点量子色动力学计算。但是，由于技术上的限制，人们在这类格点量子色动力学计算中采用的 u 夸克和 d 夸克的质量一度要比它们的实际质量高出 5 倍左右，由此得到的核子质量通常也要比实际值高出 30% 以上。不过近几年，随着技术的演进，格点量子色动力学计算所采用的夸克质量已逐渐降低，甚至已有一些研究者开始采用实际质量。

另一方面，与格点量子色动力学计算中夸克质量的 “不可承受之重” 截然相反，在我们前面提到的手征微扰理论中，夸克的质量却是越轻越好，甚至最好是零。显然，如果我们能在这两种极端之间作某种调和，借助手征微扰理论对格点量子色动力学的计算进行适当的外推，就有可能得到更接近现实世界的结果。这正是物理学家们在计算核子质量时采用的手段。这种借助手征微扰理论对格点量子色动力学计算进行外推的方法被称为手征外推（chiral extrapolation）。利用手征外推得到的核子质量为：

$$m_N=m_0-4c_1{M}_{\pi }^2+O(M_{\pi }^3)$$

其中，$m_0=880\text{ MeV}$，$c_1=-1{\text{ GeV}}^{-1}$，$M_{\pi }^2$ 是 $\pi$ 介子的质量平方，如上节所述，正比于夸克质量。若干更高阶的项也已被计算出，这里就不细述了。将有关数据代入这一公式，我们可以得到（请读者自己计算一下）：$m_N=954\text{ MeV}$，它与实际的核子质量（质子约为 938 MeV；中子约为 940 MeV）相当接近。不仅如此，系统的计算（包括来自部分高阶项的贡献）还给出了许多其它重子的质量，比如：$m_{\Sigma }=1192\text{ MeV}$（实验值约为 ${\Sigma }^{+}$：1189 MeV；${\Sigma }^0$：1193 MeV；${\Sigma }^{-}$：1197 MeV）；$m_{\Lambda }=1113\text{ MeV}$（实验值约为 1116 MeV）；$m_{\Xi }=1319\text{ MeV}$（实验值约为 ${\Xi }^0$：1315 MeV；${\Xi }^{-}$：1321 MeV），都与实验有不错的吻合（注六）。这些结果表明，量子色动力学的确可以用来计算重子质量。

那么，从回答本原问题的角度看，这些计算是否令人满意呢？

从上面所引的核子质量公式中我们可以看到，上述核子质量有一个不同于赝 Goldstone 粒子质量的至关重要的特点，那就是它在手征极限 —— 即夸克质量为零 —— 时不为零，而等于 $m_0\approx 880\text{ MeV}$。这个数值约为核子质量的 93%，它完全是由量子色动力学所描述的相互作用所确定的（注七）。这表明，即便不引进任何外来的夸克质量，量子色动力学仍能给出核子质量的绝大部分。由于宇宙中可见物质的质量主要来自核子质量，因此宇宙中可见物质质量的绝大部分都可以在不引进夸克质量的情况下，由纯粹的量子色动力学加以说明。从这个意义上讲，量子色动力学为质量起源问题提供了一个独特而精彩的回答。这一回答不像电弱统一理论那样带有比所要解释的质量参数还要多的可调参数，因而非常符合回答本原问题的需要。不过，由于它只能给出核子质量的 93%，因此我们粗略地给它打 93 分。在标准模型的范围内，这是迄今所知的最佳回答。

93 分虽然是一个高分，但终究不是满分。为了寻找更接近满分的答案，我们不得不重新回到标准模型中不能约化的那些质量 —— 包括使量子色动力学丢掉 7 分的夸克质量 —— 上来。那些质量究竟来自何方？究竟还能不能约化？这些问题的答案 —— 如果有的话 —— 就只能到标准模型之外去寻找了。

注释

1. 虽然从实验上观测到的强子谱来看，量子色动力学中的 SU (2)_V × SU (2)_A × U (1)_V 对称性几乎肯定是破缺成了 SU (2)_V × U (1)_V（即手征对称性被破缺了），但这并不意味着量子色动力学的真空一定能够实现这一破缺方式。相反，能否实现这一破缺方式在很大程度上可以视为是对量子色动力学的检验。
2. $\pi$ 介子的质量远小于其它强子的质量，这一点很早就引起了人们的注意。为了解释这一现象，早在量子色动力学出现之前的 1960 年，Nambu 就提出可能存在一种极限情形（相当于后来的手征极限），在其中 $\pi$ 介子是对称性自发破缺所产生的无质量粒子。中国物理学家周光召（1929-）也于 1961 年提出过类似的想法。
3. 不同的文献对 $F_{\pi }$ 有不同的定义，彼此相差一个常数因子 2 或 $\sqrt{2}$。
4. 这一结果在定性上是可以预期的，因为它大致等于量子色动力学中除夸克质量外的唯一能标 ${\Lambda }_{QCD}$ 的三次方。感兴趣的读者可以（定性地）思考这样一个问题：在不考虑夸克质量的情况下，量子色动力学 Lagrangian 中唯一的参数是无量纲的耦合常数，那么像 ${\Lambda }_{QCD}$ 这样的能标是从何而来的？
5. 需要指出的是，对夸克质量的估计本身就在一定程度上运用了 $\pi$ 介子（及其它几种介子）的质量。因此孤立地看，这里所谓的 “吻合” 带有循环论证的意味。但是人们对强子质量的计算是大量而系统的，涉及的粒子种类远远多于轻夸克的数目，当我们把所有这些计算综合起来看，这种 “吻合” 就不再是循环论证，而成为了很强的自洽性检验（consistency check）。这一点也适用于后文所述的对重子质量的计算。
6. 这些数值对比来自本文写作之初所参阅的文献，是大约十年前的研究结果。感兴趣的读者可以查阅一下新近文献，看是否有更好的结果。
7. 这个质量对应于一个由无质量的夸克和胶子组成的束缚态的质量。撇开计算上的复杂性不论，定性地讲，量子色动力学对这一质量的确定其实并不玄妙，它与量子力学对氢原子结合能的确定相类似 —— 当然，氢原子在零质量极限下是不存在的。量子色动力学所具有的这种 “质量隙”（mass gap）现象是高度非平凡的。另外，这个质量完全由相互作用所决定，在这一点上它有点类似于 Mach 早年的想法。只不过 Mach 设想的相互作用来自遥远的星体，而量子色动力学计算涉及的是微观世界的相互作用。感兴趣的读者可以思考一下：无质量的粒子为什么可以组成有质量的束缚态？

---

via：

• 质量的起源 (一)
  https://www.changhai.org/articles/science/physics/origin_of_mass/1.php
• 质量的起源 (二)
  https://www.changhai.org/articles/science/physics/origin_of_mass/2.php
• 质量的起源 (三)
  https://www.changhai.org/articles/science/physics/origin_of_mass/3.php
• 质量的起源 (四)
  https://www.changhai.org/articles/science/physics/origin_of_mass/4.php
• 质量的起源 (五)
  https://www.changhai.org/articles/science/physics/origin_of_mass/5.php