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机器学习算法——KNN

news 2025/6/7 2:51:28

一、KNN算法简介

1.KNN思想

（1）K-近邻算法

根据你的“邻居”来推断你是什么类别
KNN算法思想：如果一个样本在特征空间（训练集）中的k个最相似的样本中的大多数属于某一个类别。则该样本也属于这个类别

（2）样本相似性

样本都是属于一个任务数据集的，样本距离越近则越相似
计算样本距离
- 欧氏距离： $\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$

（3）分类问题处理流程

距离计算: 使用欧氏距离计算未知样本到每个训练样本的距离
排序规则: 将所有训练样本按距离从小到大排序
K值选择: 选取距离最近的K个样本（K值由程序员预先设定）
表决机制: 统计K个样本中多数类别，将该类别作为未知样本的预测结果

（4）回归问题处理流程

距离计算: 使用欧氏距离计算未知样本到每个训练样本的距离
排序规则: 将所有训练样本按距离从小到大排序
K值选择: 选取距离最近的K个样本（K值由程序员预先设定）
表决机制: 对K个样本的标签值（目标值）取平均值，作为未知样本预测的值

（5）K值设置

a. K值过小

异常值敏感：当K=1时，若最近邻是异常值，预测结果会完全错误
模型复杂度：K值减小会使模型变复杂，容易发生过拟合
学习偏差：会学到训练集中不该学的噪声特征，如当K=1时可能错误学习异常点的特征

b. K值过大

样本均衡问题：当K=N（训练样本总数）时，预测结果总是训练集中最多的类别
模型简化：K值增大会使模型变得过于简单，导致欠拟合

c. K值选择的经验法则

二分类问题：避免选择2的倍数（如2、4等）
三分类问题：避免选择3的倍数（如3、6等）
五分类问题：避免选择5的倍数

d. K值调优方法

交叉验证网格搜索

通用方法：适用于所有算法的超参数调优
实现方式：通过交叉验证评估不同K值表现，网格搜索寻找最优参数
注意事项：调优过程需考虑计算成本与模型性能的平衡

二、KNN算法API

1.KNN分类API

# 1.工具包
from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier# 2.数据（特征处理）
x = [[0],[1],[2],[3],[4]]
y = [0,0,1,1,1]# 3.实例化
model = KNeighborsClassifier(n_neighbors=3) # 二分类，避免设置成2的倍数# 4.训练
model.fit(x,y)# 5.预测
print(model.predict([[5]])) # 输出[1]

多维特征处理
- 特征可以是任意维度，如三维特征: $ X = [[0, 2, 3], [1, 3, 4], [3, 5, 6]]$
- 预测时输入特征维度必须与训练数据一致
变量命名:
- 模型实例可命名为estimator或model
- 预测结果通常保存到变量如myret
注意事项
- 分类和回归使用不同API，不能混用
- 输入数据必须是二维数组格式，即使单个样本也要用双层括号
- 特征工程可以插入在数据准备和模型训练之间
- 预测结果打印使用print函数查看

2.KNN回归API

# 1.工具包
from sklearn.neighbors import KNeighborsRegressor# 2.数据（特征工程）
x = [[0],[1],[2],[3]]
y = [0.1,0.2,0.3,0.4]  # 目标值是连续的# 3.实例化
model = KNeighborRegressor(n_neighbors=3)# 4.训练
model.fit(x,y)# 5.预测
print(model.predict([[5]])) # 输出[0.3]

三、距离度量

1.欧氏距离

$\sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i-y_i)^2}$

2.曼哈顿距离

别称：城市街区距离(City Block distance)
几何意义：在横平竖直的街区道路中，从一个点到另一个点需要行走的最短路径长度
二维公式：点 $a (x 1, y 1)$ 与 $b (x 2, y 2)$ 间距离为 $d_{12}=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|$
n维公式： $d=\sum^n|x_i-x_j|$
计算原理：对应坐标相减取绝对值后求和

3.切比雪夫距离

计算公式: 二维平面两点 $a(x_1,y_1)$ 与 $b(x_2,y_2)$ 间的切比雪夫距离为

$d_{12} = \max(|x_1 - x_2|, |y_1 - y_2|)$
移动特性: 相比只能沿 $x y$ 方向走的曼哈顿距离，切比雪夫距离允许沿45度对角线方向移动，这是其核心改变。

4.闵可夫斯基距离

- 统一形式：可将欧氏距离和曼哈顿距离统一为闵可夫斯基距离
  
  $d_{12} = \sqrt[p]{\sum_{k=1}^n |x_{1k}-x_{2k}|^p}$
- 参数关系：
  - 当 $p = 1$ 时为曼哈顿距离
  - 当 $p = 2$ 时为欧氏距离
  - 当 $p\to\infty$ 时为切比雪夫距离

5.其他距离

余弦距离、马式距离（不通用）

四、特征预处理

1.原因

当特征的单位或大小相差较大，或某特征的方差比其他特征大出几个数量级时，会影响（支配）目标结果，使模型无法有效学习其他特征。

2.归一化

定义：将原始数据通过线性变换映射到指定范围（默认[0,1]）的方法。
基本公式： $⁡X^{\prime} = \frac{x - \min}{\max - \min}$
扩展公式：若需映射到 $[mi, m x]$ 范围，则

$X^{\prime\prime} = X^{\prime} * (mx - mi) + mi$
特点与适用场景
- 异常值敏感：受最大值最小值影响大，若存在异常值（如年龄特征出现200岁）会显著影响归一化结果。
- 适用场景：适合取值范围固定且无异常值的数据（如图像像素值固定为0-255）。
- 不适用场景：不适合大规模数据或存在异常值的情况。
API

# 1.导入工具包
from sklearn.preprocessing import MinMaxScaler# 2.数据（只有特征）
x = [[90,2,10,40],[60,4,15,45],[75,3,13,46]]# 3.实例化
process = MinMaxScaler()# 4.fit_transform处理
data = process.fit_transform(x)

3.标准化

通过对原始数据进行标准化，转换为均值为0，标准差为1的标准正态分布的数据
公式： $x^{\prime}=\frac{x-mean}{\sigma}$ （ $\sigma为特征的标准差$ ）
少量的异常值对于平均值的形象并不大，鲁棒性更强，优先选择
API

# 1.导入工具包
from sklearn.preprocessing import StandardScaler# 2.数据（只有特征）
x = [[90,2,10,40],[60,4,15,45],[75,3,13,46]]# 3.实例化
process = StandardScaler()# 4.fit_transform处理
data = process.fit_transform(x)print(data)
print(process.mean_)
print(process.var_)