《信号与系统》第 5 章 离散时间傅里叶变换

5.0 引言

第4章研究了连续时间傅里叶变换，并研究了这种变换的许多特性，这些特性使傅里叶分析方法在分析和理解连续时间信号与系统的性质时具有很大的价值。这一章将介绍并研究离散时间傅里叶变换，这样就完整地建立了傅里叶分析方法。

在第3章讨论傅里叶级数时，曾看到在连续时间和离散时间信号分析中存在着很多相类似的地方，并且在分析途径上也是并行的；然而，也有一些重大的差别。例如，在3.6节里，离散时间周期信号的傅里叶级数表示是一个有限项级数；而连续时间周期信号则要求用一个无穷项级数来表示。这一章将会看到，连续时间和离散时间傅里叶变换之间也存在着相应的差别。
这一章将基本上与第4章所采用的办法相同，即充分利用连续时间和离散时间傅里叶分析之间的类似性来展开讨论。具体而言，首先为了建立离散时间非周期信号的傅里叶变换表示，而将周期信号的傅里叶级数表示进行推广，接着采用与第4章相平行的做法，分析离散时间傅里叶变换的性质和特点。这样做不仅加深了对连续时间和离散时间所共有的傅里叶分析基本概念的理解，而且还对比了它们之间的差别，以更加突出对它们各自独特性质的理解。

5.1 非周期信号的表示：离散时间傅里叶变换

5.1.1 离散时间傅里叶变换的导出

在4.1节的式(4.2)和图4.2中曾经看到，一个连续时间周期方波的傅里叶级数可以看成一个包络函数的采样值，并且随着这个方波周期的增大，这些样本变得愈来愈密。这一性质就使人想到一个非周期信号x(t)可以这样来表示，即首先产生一个周期信号~x(t)，使~x(t)在一个周期内等于x(t)，然后随着这个周期趋于无限大，~x(t)就会在一个愈来愈大的时间间隔上等于x(t)，这样对~x(t)的傅里叶级数表示也就收敛于x(t)的傅里叶变换表示。在这一节，对离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，将采用与在连续时间情况下完全类似的步骤进行。

考虑某一序列x[n]，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数N和N，在-N≤n≤N，范围以外，x[n]=0。

图5.1(a)示出这种类型的一个信号。由这个非周期信号可以构成一个周期序列刘[n]，使得对~x[n]来说x[n]是它的一个周期，如图5.1(b)所示。随着所选周期N的增大，~x[n]就在一个更长的时间间隔内与x[n]一样，而当N→∞时，对任意有限n值来说，有~x[ n ]=x[n ]。

现在来考虑元~x[n]的傅里叶级数表示式。由式(3.94)和式(3.95)有

5.1.2 离散时间傅里叶变换举例

5.1.3 关于离散时间傅里叶变换的收敛问题

5.2 周期信号的傅里叶变换

5.3 离散时间傅里叶变换性质

5.3.1 离散时间傅里叶变换的周期性

5.3.2 线性性质

5.3.3 时移与频移性质

5.3.4 共轭与共轭对称性

5.3.5 差分与累加

5.3.6 时间反转

5.3.7 时域扩展

5.3.8 频域微分

5.3.9 帕斯瓦尔定理

5.4 卷积性质

5.4.1 举例

5.5 相乘性质

5.6 傅里叶变换性质和基本傅里叶变换对列表

5.7 对偶性

5.7.1 离散时间傅里叶级数的对偶性

5.7.2 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶性

5.8 由线性常系数差分方程表征的系统

5.9 小结

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