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CQF预备知识：Python相关库 -- NumPy 基础知识 - 线性代数 numpy.linalg

news 2025/6/4 22:34:58

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

NumPy 线性代数（`numpy.linalg`）

NumPy 线性代数函数依赖于 BLAS 和 LAPACK，以提供标准线性代数算法的高效底层实现。这些库可能由 NumPy 自身使用其参考实现的 C 版本提供，但在可能的情况下，更倾向于使用能够利用专门处理器功能的高度优化库。此类库的示例包括 OpenBLAS、MKL™ 和 ATLAS。由于这些库是多线程的，并且依赖于处理器，因此可能需要环境变量和外部包（例如 threadpoolctl）来控制线程数量或指定处理器架构。

SciPy 库也包含一个 linalg 子模块，并且 SciPy 和 NumPy 子模块提供的功能存在重叠。SciPy 包含一些在 numpy.linalg 中找不到的函数，例如与 LU 分解和 Schur 分解相关的函数、计算伪逆的多种方法以及矩阵超越函数（如矩阵对数）。在两个库中都存在的某些函数，在 scipy.linalg 中具有增强的功能。例如，scipy.linalg.eig 可以接受第二个矩阵参数，用于求解广义特征值问题。然而，NumPy 中的某些函数具有更灵活的广播选项。例如，numpy.linalg.solve 可以处理“堆叠”数组，而 scipy.linalg.solve 只接受单个方阵作为其第一个参数。

注意：本页中提到的“矩阵”是指一个 2D numpy.array 对象，而不是一个 numpy.matrix 对象。后者即使在线性代数中也不再推荐使用。更多详细信息，请参阅矩阵对象文档。

`@` 运算符

在 NumPy 1.10.0 中引入的 @ 运算符是计算两个二维数组之间矩阵乘积的首选方法。numpy.matmul 函数实现了 @ 运算符。

矩阵和向量乘积

函数	描述
`dot(a, b[, out])`	两个数组的点积
`linalg.multi_dot(arrays[, out])`	在单个函数调用中计算两个或多个数组的点积，同时自动选择最快的求值顺序
`vdot(a, b, /)`	返回两个向量的点积
`vecdot(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])`	两个数组的向量点积
`linalg.vecdot(x1, x2, /[, axis])`	计算向量点积
`inner(a, b, /)`	两个数组的内积
`outer(a, b[, out])`	计算两个向量的外积
`matmul(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])`	两个数组的矩阵乘积
`linalg.matmul(x1, x2, /)`	计算矩阵乘积
`matvec(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])`	两个数组的矩阵 - 向量点积
`vecmat(x1, x2, /[, out, casting, order, ...])`	两个数组的向量 - 矩阵点积
`tensordot(a, b[, axes])`	沿指定轴计算张量点积
`linalg.tensordot(x1, x2, /[, axes])`	沿指定轴计算张量点积
`einsum(subscripts, *operands[, out, dtype, ...])`	对操作数评估爱因斯坦求和约定
`einsum_path(subscripts, *operands[, optimize])`	通过考虑中间数组的创建，评估 einsum 表达式的最低成本收缩顺序
`linalg.matrix_power(a, n)`	将方阵提升到整数次幂 `n`
`kron(a, b)`	两个数组的克罗内克积
`linalg.cross(x1, x2, /[, axis])`	返回 3 元素向量的叉积

分解

函数	描述
`linalg.cholesky(a[, /, upper])`	Cholesky 分解
`linalg.qr(a[, mode])`	计算矩阵的 QR 分解
`linalg.svd(a[, full_matrices, compute_uv, ...])`	奇异值分解
`linalg.svdvals(x, /)`	返回矩阵（或矩阵堆叠）`x` 的奇异值

矩阵特征值

函数	描述
`linalg.eig(a)`	计算方阵的特征值和右特征向量
`linalg.eigh(a[, UPLO])`	返回复数厄米特（共轭对称）或实对称矩阵的特征值和特征向量
`linalg.eigvals(a)`	计算一般矩阵的特征值
`linalg.eigvalsh(a[, UPLO])`	计算复数厄米特或实对称矩阵的特征值

范数和其他数字

函数	描述
`linalg.norm(x[, ord, axis, keepdims])`	矩阵或向量范数
`linalg.matrix_norm(x, /[, keepdims, ord])`	计算矩阵（或矩阵堆叠）`x` 的矩阵范数
`linalg.vector_norm(x, /[, axis, ...])`	计算向量（或向量批次）`x` 的向量范数
`linalg.cond(x[, p])`	计算矩阵的条件数
`linalg.det(a)`	计算数组的行列式
`linalg.matrix_rank(A[, tol, hermitian, rtol])`	使用 SVD 方法返回数组的矩阵秩
`linalg.slogdet(a)`	计算数组的行列式的符号和（自然）对数
`trace(a[, offset, axis1, axis2, dtype, out])`	返回数组的对角线和
`linalg.trace(x, /[, offset, dtype])`	返回矩阵（或矩阵堆叠）`x` 的指定对角线和

解方程和矩阵求逆

函数	描述
`linalg.solve(a, b)`	解线性矩阵方程，或线性标量方程组
`linalg.tensorsolve(a, b[, axes])`	解张量方程 `a x = b` 求 `x`
`linalg.lstsq(a, b[, rcond])`	返回线性矩阵方程的最小二乘解
`linalg.inv(a)`	计算矩阵的逆
`linalg.pinv(a[, rcond, hermitian, rtol])`	计算矩阵的（Moore-Penrose）伪逆
`linalg.tensorinv(a[, ind])`	计算 N 维数组的“逆”

其他矩阵运算

函数	描述
`diagonal(a[, offset, axis1, axis2])`	返回指定对角线
`linalg.diagonal(x, /[, offset])`	返回矩阵（或矩阵堆叠）`x` 的指定对角线
`linalg.matrix_transpose(x, /)`	转置矩阵（或矩阵堆叠）`x`

异常

异常	描述
`linalg.LinAlgError`	由线性代数函数引发的通用 Python 异常

多个矩阵上的线性代数运算

多个线性代数例程能够同时对多个矩阵进行计算，如果这些矩阵被堆叠到同一个数组中。

这在文档中通过输入参数说明来表示，例如 a : (..., M, M) array_like。这意味着，如果给定一个输入数组 a.shape == (N, M, M)，它将被解释为一个“堆叠”的 N 个矩阵，每个矩阵的大小为 M×M。类似的说明也适用于返回值，例如行列式有 det : (...)，在这种情况下，它将返回一个形状为 det(a).shape == (N,) 的数组。这可以推广到更高维数组上的线性代数运算：多维数组的最后 1 个或 2 个维度被解释为向量或矩阵，具体取决于每个运算。