运筹说 第137期 | 对策论精品案例
在实际工作中，我们能发现对策论在经济管理中有着许多应用，本章节选取了一些典型案例，包括矩阵对策的纯策略问题和混合策略问题，进行详细讲解。
前两期我们学习了二人无限零和对策、多人非合作对策以及合作对策，本期小编将为大家介绍矩阵对策的纯策略问题和混合策略问题，讲解精品案例。
1.矩阵对策的纯策略
1.1纯策略的概念
在对策论中，纯策略是指局中人在对策中选择一个确定的行动或策略，并且在整个过程中都坚持执行该策略，而不考虑对手的动作或其他随机因素。纯策略是一种确定性的选择方式，局中人根据自己的偏好或利益最大化准则来选择最佳策略。
1.2例题展示
例1：（二人有限零和博弈问题）某服装厂需要在秋季决定冬季大衣的生产量。根据市场预测，冬季销量可能有三种情况：低迷状态下销售800件，正常状态下销售1200件，火爆状态下销售1500件。冬季生产成本是300元/件，冬季销售价格：低迷状态下350元/件（需打折促销），正常状态下400元/件，火爆状态下450元/件（可能缺货）。滞销成本：未售出的大衣需在季末以200元/件清仓处理。工厂有三个生产策略：策略A是生产800件，策略B是生产1200件，策略C是生产1500件。在不确定市场需求的情况下，服装厂应该选择哪个生产策略，才能在最坏情况下保证最大收益？
解：局中人Ⅰ为服装厂，局中人Ⅱ为市场需求，服装厂三个策略记为α1，α2，α3，市场需求三个策略分别记为β1，β2，β3。
如果将服装厂冬季生产大衣的实际收益（即销售所得减去生产成本与滞销成本 ）作为局中人 Ⅰ（服装厂）的赢得，可得服装厂的赢得矩阵如下表所示。
故 （α1，β1）为该对策的解，最优策略是生产800件，在最坏情况下（市场低迷）可确保4万元利润。
例2：现有甲、乙两个能源企业生产同一种太阳能光伏板，用于家庭和商业建筑的电力供应。随着环保意识的提高和可再生能源的发展，太阳能光伏板的市场需求不断增加，但市场竞争也越来越激烈。两个企业都想通过改革管理获取更多的市场销售份额。甲企业的策略措施有：（1）降低产品价格；（2）提高产品质量，延长保修年限；（3）推出新型太阳能光伏板产品。乙企业考虑的策略措施有：（1）增加广告费用；（2）增设维修网点，扩大维修服务；（3）改进产品性能。
假定市场份额一定，由于各自采取的策略措施不同，通过预测，今后两个企业的市场有份额变动情况如上表所示（正值为甲企业增加的市场占有份额，负值为减少的市场占有份额）。试通过对策分析，确定两个企业各自的最优策略。
因为maxminaij=minjmaxiaij=5，所以VG=5（对策值），即甲企业的最优策略是“推出新产品”，乙企业的最优策略是“改进产品性能”。
2.矩阵对策的混合策略
2.1 混合策略的概念
混合策略是参与对策的局中人以一定的概率值随机地选取的策略。在矩阵对策中，混合策略只有在没有鞍点的情况下才出现，因为在矩阵对策中没有鞍点时，参与对策的局中人无法有目的地选取对策来求得平衡局势，只有随机地从策略集合中选取策略，下面选取例题分别对混合策略求解的三种方法进行讲解。
2.2混合策略的解法
例3：（西南交大2012年考研题）某城市有两家油气公司相互竞争，公司 A有三个广告策略，公司 B也有三个广告策略，经计算，当双方采取不同的广告策略时，公司 A 所占市场份额增加的百分数如下表所示，把此问题表示成一个线性规划模型，并用单纯形法求解。
解：根据题目得该问题的赢得矩阵
设局中人Ⅰ的混合策略为x=（x1，x2，x3）T，设局中人Ⅱ的混合策略为y=（y1，y2，y3）T，则求局中人Ⅱ的最优策略规划问题为：
minjmaxiE(i,j)=minjv
其中，E(i,j) 是收益矩阵的元素，表示局中人Ⅰ选择i、局中人Ⅱ选择j时的收益，v是局中人Ⅱ选取不同策略（y1，y2，y3）时的对策值，该求解问题可化为两个互为对偶的线性规划问题：
令y’=y/v，利用变量代换与线性规划对偶性相关原理将min函数转换为max函数，即：
所以
用单纯形法求解问题：
最终的单纯形表为：
所有的检验数均≤0，且非基变量y3'的检验数＝0，所以有无穷多最优解，y1'=1/2，y2'=1/4，y3'=0，1/v=3/4，则v=4/3，因此局中人B最优混合策略为：（y1*，y2*，y3*）T=v（1/2，1/4，0）T=（2/3，1/3，0）T
因为局中人A最优混合策略与局中人B最优解互为对偶变量，所以可得局中人A最优混合策略为（x1*，x2*，x3*）T=v（1/4，0，1/2）T=（1/3，0，2/3）T
例4：（图解法求解）利用图解法求解下列矩阵对策，其中赢得矩阵A为:
解：（1）A可以看作
第1行优超于第2行，因此去掉第二行，得到：
设局中人Ⅱ的混合策略为（y，1-y）T，则：
根据最不利当中选取最有利的原则，局中人Ⅱ的最优选择就是如何确定，以便三个纵标值中的最大值尽可能地小。从图可知，AB为对策值。
为求出点y和对策的值VG，联立过B点两条线段α1和α3所确定的方程：
解得：
故局中人Ⅱ的最优策略为：（2/3，1/3）T
（2）：A可以看作
第1列优超于第2列，因此去掉第二列，得到A1：
A1第3行优超于第1行，故划去第1行，得A2:
设局中人Ⅱ的混合策略为（y，1-y）T，则：
从下图中可知，AB为对策值。
通过联立方程式：
解得：y=9/22，VG=-1/11
方程组法求解：
方程组法由于事先假定xi∗和yj∗ 均不为零，故当最优策略的某些分量为零时，方程组可能无解，因此，这种方法在超2*2矩阵的应用中有一定的局限性，一般不适用于超2*2矩阵对策 ，但对于2*2的矩阵，当局中人Ⅰ的赢得矩阵不存在鞍点（同时满足行最小值还有列最大的值）时，各局中人的最优混合策略中的 xi∗和yj∗均大于零。
例5：（方程组法求解）用方程组法求解下列矩阵对策的解
解：原对策矩阵对于一切的i=1，2，3，都有ai1≤ai3，所以局中人Ⅱ的纯策略β1优超于β3，可以删去第三列得到A1：
此时，A1对于一切的j=1，2，都有a2j≥a3j，所以局中人Ⅰ的纯策略α2优超于α3，可以删去第三行得到A2：
A2不存在鞍点，各局中人的最优混合策略中的 xi∗和yj∗均大于零，可用方程组法进行求解：
解得x1=1/3，x2=2/3，y1=2/3，y2=1/3，v=7/3，原对策矩阵的解为：X*=(1/3,2/3,0)T，Y*=(2/3,1/3,0)T，VG=7/3
3.总结
混合策略是指局中人以一定的概率分布选择不同的纯策略，与纯策略不同，混合策略下局中人不是简单地选择一个确定的策略，而是以一定的概率来选择不同的纯策略，从而达到一种随机性选择的效果，混合策略引入了随机性，使得局中人的策略选择具有一定的不确定性。
在对策论中，纯策略和混合策略都是用来描述玩家在对策中的策略选择，但它们的性质和应用场景有所不同，混合策略通常用于解决复杂的对策情况，而纯策略则更适用于简单的对策情况。
以上就是精品案例的全部内容了，通过本期学习，大家是否学会了纯对策与混合对策的经典求解方法呢？下一期小编将带大家进行相关方法的代码实现，敬请关注！
作者 | 马书良 李遵兵
责编 | 邱宇
审核 | 徐小峰
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