《计算机组成原理》第 6 章 - 计算机的运算方法

目录

🔢 6.1 无符号数和有符号数

🔵 6.1.1 无符号数

🔵 6.1.2 有符号数

📊 6.2 数的定点表示和浮点表示

🔵 6.2.1 定点表示

🔵 6.2.2 浮点表示

🔵 6.2.3 定点数和浮点数的比较

🔵 6.2.4 举例

🔵 6.2.5 IEEE 754 标准

 6.3 定点运算

🔵 6.3.1 移位运算

🔵 6.3.2 加法与减法运算

🔵 6.3.3 乘法运算

🔵 6.3.4 除法运算

🌊 6.4 浮点四则运算

🔵 6.4.1 浮点加减运算

🔵 6.4.2 浮点乘除运算

🔵 6.4.3 浮点运算所需的硬件配置

🤖 6.5 算术逻辑单元

🔵 6.5.1 ALU 电路

🔵 6.5.2 快速进位链

📚 总结

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🔢 6.1 无符号数和有符号数

🔵 6.1.1 无符号数

定义：没有符号位的数，所有二进制位表示数值大小（如 8 位无符号数范围：0~255）。
代码示例：Java 实现无符号数加法

public class UnsignedNumberDemo {public static void main(String[] args) {// 8位无符号数相加（模拟溢出）byte a = (byte) 200; // 二进制：11001000（无符号值200）byte b = (byte) 100; // 二进制：01100100（无符号值100）// 无符号加法（需手动处理溢出）int sum = (a & 0xFF) + (b & 0xFF); // 0xFF转为无符号数if (sum > 0xFF) { // 超过8位无符号范围System.out.println("溢出！无符号和：" + sum);} else {System.out.println("无符号和：" + sum); // 输出：300（实际溢出为44，需注意二进制截断）}}
}

说明：通过0xFF掩码将有符号字节转为无符号数运算，手动检测溢出。

🔵 6.1.2 有符号数

定义：最高位为符号位（0 正 1 负），常用补码表示负数。
代码示例：Python 实现补码转换

def int_to_twos_complement(n, bits=8):"""将整数转为指定位数的补码二进制字符串"""if n < 0:return bin((1 << bits) + n)[2:].zfill(bits)  # 负数补码计算else:return bin(n)[2:].zfill(bits)  # 正数补码即原码# 示例：-5的8位补码
print(int_to_twos_complement(-5))  # 输出：11111011

📊 6.2 数的定点表示和浮点表示

🔵 6.2.1 定点表示

定义：小数点固定（通常在符号位后或最低位后），分为纯整数和纯小数。
案例：定点数乘法（假设小数点后 4 位）

public class FixedPointMultiplication {public static void main(String[] args) {int a = 0b10101100; // 假设为定点数：1.0101100（-0.671875）int b = 0b01101000; // 0.671875int product = a * b; // 直接整数乘法int shift = 8; // 小数点后总位数（假设各4位）int result = product >>> shift; // 右移取整数部分（逻辑右移）System.out.println("定点乘积补码：" + Integer.toBinaryString(result));}
}

🔵 6.2.2 浮点表示

结构：阶码（指数）+ 尾数（小数），如：
浮点数 = 尾数 × 基数^阶码
代码示例：IEEE 754 单精度浮点数解析

import structdef float_to_binary(f):"""将浮点数转为IEEE 754单精度二进制字符串"""bits = struct.unpack('!I', struct.pack('!f', f))[0]return bin(bits)[2:].zfill(32)# 示例：解析浮点数3.5
print(float_to_binary(3.5))  # 输出：01000000111000000000000000000000

🔵 6.2.3 定点数和浮点数的比较

特性	定点数	浮点数
范围	固定，需手动扩展位数	范围大，自动适应大小
精度	固定小数位	尾数决定精度
硬件复杂度	低	高（需阶码对齐逻辑）

🔵 6.2.4 举例

场景：计算1000.5 + 0.25（浮点运算）

1. 对阶：0.25阶码提升至与1000.5相同
2. 尾数相加：1.0000000001 + 0.00000000001 = 1.00000000011
3. 规格化：结果为1.00000000011 × 2^10

🔵 6.2.5 IEEE 754 标准

单精度（32 位）：

• 符号位：1 位
• 阶码：8 位（偏移量 127）
• 尾数：23 位（隐含最高位 1）

 6.3 定点运算

🔵 6.3.1 移位运算

逻辑移位：无符号数移位，空位补 0。
算术移位：有符号数移位，符号位不变，负数补 1。
Java 代码：算术右移模拟

public class ShiftOperation {public static void arithmeticShiftRight(int num, int bits) {int sign = num >> 31; // 取符号位for (int i = 0; i < bits; i++) {num = (num >> 1) | (sign << 31); // 符号位填充}System.out.println("算术右移结果：" + num);}
}

🔵 6.3.2 加法与减法运算

补码加法：[A+B]补 = [A]补 + [B]补
Python 实现：补码加法（处理溢出）

def twos_complement_add(a, b, bits=8):"""补码加法，返回结果及溢出标志"""sum_val = a + bmask = (1 << bits) - 1overflow = (sum_val & (1 << (bits-1))) != ((a & (1 << (bits-1))) ^ (b & (1 << (bits-1))))return sum_val & mask, overflow# 示例：-5 + 3（8位补码）
result, overflow = twos_complement_add(-5, 3)
print(f"结果：{result}，溢出：{overflow}")  # 输出：-2（补码11111010），无溢出

🔵 6.3.3 乘法运算

原码一位乘：符号位异或，数值位累加移位。
Java 模拟：原码乘法

public class OriginalMultiplication {public static int multiply(int a, int b) {int sign = (a < 0 ^ b < 0) ? -1 : 1; // 符号位long absA = Math.abs((long)a);long absB = Math.abs((long)b);long product = 0;while (absB > 0) {if ((absB & 1) == 1) product += absA;absA <<= 1;absB >>= 1;}return sign == 1 ? (int)product : (int)(-product);}
}

🔵 6.3.4 除法运算

补码不恢复余数法：根据余数符号决定加减除数。
流程图：

🌊 6.4 浮点四则运算

🔵 6.4.1 浮点加减运算

步骤：对阶 → 尾数加减 → 规格化 → 舍入 → 溢出判断
代码框架：

class FloatAdder:def add(self, float_a, float_b):# 解析阶码和尾数exp_a, mantissa_a = self.parse_float(float_a)exp_b, mantissa_b = self.parse_float(float_b)# 对阶if exp_a > exp_b:mantissa_b >>= (exp_a - exp_b)else:mantissa_a >>= (exp_b - exp_a)exp_a = exp_b# 尾数相加sum_mantissa = mantissa_a + mantissa_b# 规格化while (sum_mantissa & 0x8000) == 0:  # 左规sum_mantissa <<= 1exp_a -= 1while (sum_mantissa & 0x10000):     # 右规sum_mantissa >>= 1exp_a += 1return self.pack_float(exp_a, sum_mantissa)

🔵 6.4.2 浮点乘除运算

乘法：尾数相乘，阶码相加；除法：尾数相除，阶码相减。

🔵 6.4.3 浮点运算所需的硬件配置

• 阶码运算单元：处理指数加减
• 尾数运算单元：处理小数乘除
• 移位器：实现对阶和规格化

🤖 6.5 算术逻辑单元

🔵 6.5.1 ALU 电路

功能：实现算术运算（加减乘除）和逻辑运算（与或非异或）。
Verilog 示例：4 位 ALU

module alu (input [3:0] a, b,input [1:0] op,  // 00:加 01:减 10:与 11:或output reg [3:0] result,output carry
);always @* begincase(op)2'b00: {carry, result} = a + b;2'b01: {carry, result} = a - b;2'b10: result = a & b;2'b11: result = a | b;default: result = 0;endcase
endendmodule

🔵 6.5.2 快速进位链

原理：提前计算进位生成信号（G）和传递信号（P），减少进位延迟。

📚 总结

   本章围绕计算机运算核心，从数的表示（无符号 / 有符号、定点 / 浮点）到具体运算（加减乘除、移位），再到硬件实现（ALU、进位链），完整呈现了计算机运算方法的体系。通过代码示例和图表，可帮助读者深入理解理论并动手实践。

   💡 提示：文中代码可在 IDE 中直接运行，建议结合单步调试观察二进制变化，加深对底层运算的理解。