CQF预备知识：一、微积分 -- 1.6.1 不定积分详解

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

📖 数学入门全解

本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。

教程涵盖以下四个主题：

• 微积分
• 线性代数
• 微分方程
• 概率与统计

1.6.1 不定积分详解

一、基本定义

1. 不定积分的概念

   设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，若存在可导函数$F(x)$满足：

   $$\frac{d}{dx}F(x)=f(x)(x\in I)$$

   则称$F(x)$为$f(x)$在区间$I$上的原函数。所有原函数的集合记作：

   $$\int f(x)dx=F(x)+C$$

   其中：

   • $\int$ 称为积分号
   • $f(x)$ 称为被积函数
   • $dx$ 表示积分变量
   • $C$ 为积分常数

2. 积分常数的必要性

   对于任意常数$C$，有：

   $$\frac{d}{dx}[F(x)+C]=\frac{d}{dx}F(x)+\frac{d}{dx}C=f(x)+0=f(x)$$

   这说明：

   • 不同的原函数之间仅相差一个常数
   • 必须用$C$表示积分结果的所有可能性

二、基本积分公式

1. 幂函数积分

   当$n\ne -1$时：

   $$\int x^{n}dx=\frac{1}{n+1}{x}^{n+1}+C$$

   特殊情形：

   $$\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C(n=-1)$$

2. 指数函数积分

   当$a\ne 0$时：

   $$\int e^{ax}dx=\frac{1}{a}{e}^{ax}+C$$

3. 三角函数积分

   $$\int \cos (ax)dx=\frac{1}{a}\sin (ax)+C$$

   $$\int \sin (ax)dx=-\frac{1}{a}\cos (ax)+C$$

三、积分线性性质

1. 基本定理

   对于任意常数$\alpha ,\beta$，有：

   $$\int [\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx$$

2. 应用示例

   例1 多项式积分：

   $$\begin{array}{rl}\int (A{x}^2+B{x}^3)dx& =A\int x^{2}dx+B\int x^{3}dx\\ & =A\left(\frac{1}{3}{x}^3\right)+B\left(\frac{1}{4}{x}^4\right)+C\\ & =\frac{A}{3}{x}^3+\frac{B}{4}{x}^4+C\end{array}$$

   例2 混合函数积分：

   $$\begin{array}{rl}\int \left(3e^x+\frac{2}{x}\right)dx& =3\int e^{x}dx+2\int \frac{1}{x}dx\\ & =3e^x+2\ln |x|+C\end{array}$$

四、注意事项

1. 积分常数不可省略：即使积分后出现多个常数项，最终只需写一个$C$

2. 变量一致性：被积函数与微分变量必须一致，例如$\int f(x)dt$是错误的写法

3. 特殊限制条件：

   • 幂函数积分中$n\ne -1$
   • 指数函数积分中$a\ne 0$
   • $\int \frac{1}{x}dx$的结果包含绝对值符号

五、几何意义

不定积分表示一族曲线，这些曲线在横坐标相同的点处有相同的切线斜率。例如：

• $y=\frac{1}{3}{x}^3+C$ 是$y=x^2$的所有积分曲线
• 不同$C$值对应曲线上下的平移

风险提示与免责声明
本文内容基于公开信息研究整理，不构成任何形式的投资建议。历史表现不应作为未来收益保证，市场存在不可预见的波动风险。投资者需结合自身财务状况及风险承受能力独立决策，并自行承担交易结果。作者及发布方不对任何依据本文操作导致的损失承担法律责任。市场有风险，投资须谨慎。