CQF预备知识：一、微积分 -- 1.4.6 莱布尼茨法则详解
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📖 数学入门全解
本系列教程为CQF(国际量化金融分析师证书)认证所需的数学预备知识，涵盖所有需要了解的数学基础知识，旨在帮助读者熟悉核心课程所需的数学水平。
教程涵盖以下四个主题：
- 微积分
- 线性代数
- 微分方程
- 概率与统计
1.4.6 莱布尼茨法则详解
一、基本概念
莱布尼茨法则是计算两个函数乘积的 n n n阶导数的公式，可视为乘积法则的高阶推广。设函数 y = u ( x ) v ( x ) y=u(x)v(x) y=u(x)v(x)，则有：
y ( n ) = D n ( u v ) = ∑ r = 0 n ( n r ) u ( r ) v ( n − r ) y^{(n)} = D^n(uv) = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} u^{(r)} v^{(n-r)} y(n)=Dn(uv)=r=0∑n(rn)u(r)v(n−r)
其中：
-
( n r ) \binom{n}{r} (rn)为组合数，计算式为：
( n r ) = n ! r ! ( n − r ) ! \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!} (rn)=r!(n−r)!n!
-
u ( r ) u^{(r)} u(r)表示 u u u的 r r r阶导数
-
v ( n − r ) v^{(n-r)} v(n−r)表示 v v v的 n − r n-r n−r阶导数
二、推导模式
通过低阶导数观察规律：
-
一阶导数：
y ′ = u ′ v + u v ′ y' = u'v + uv' y′=u′v+uv′
-
二阶导数：
y ′ ′ = u ′ ′ v + 2 u ′ v ′ + u v ′ ′ y'' = u''v + 2u'v' + uv'' y′′=u′′v+2u′v′+uv′′
-
三阶导数：
y ′ ′ ′ = u ′ ′ ′ v + 3 u ′ ′ v ′ + 3 u ′ v ′ ′ + u v ′ ′ ′ y''' = u'''v + 3u''v' + 3u'v'' + uv''' y′′′=u′′′v+3u′′v′+3u′v′′+uv′′′
可见系数遵循组合数规律，可通过数学归纳法严格证明。
三、核心公式
对任意正整数 n n n，有：
D n ( u v ) = ∑ r = 0 n ( n r ) D r u ⋅ D n − r v D^n(uv) = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} D^r u \cdot D^{n-r} v Dn(uv)=r=0∑n(rn)Dru⋅Dn−rv
其中：
- 当 r = 0 r=0 r=0时， D 0 u = u D^0 u = u D0u=u
- 当 r = n r=n r=n时， D n v = v ( n ) D^n v = v^{(n)} Dnv=v(n)
四、应用步骤
- 选择函数：将原函数分解为 u ( x ) u(x) u(x)和 v ( x ) v(x) v(x)
- 计算导数：
- 对 u ( x ) u(x) u(x)求导直至出现零导数
- 对 v ( x ) v(x) v(x)求导找到通项公式
- 代入公式：将各阶导数代入莱布尼茨公式
- 合并项：提取公共因子，整理表达式
五、示例解析
求 y = x 3 e a x y = x^3 e^{ax} y=x3eax的 n n n阶导数：
步骤1：分解函数
设：
u = x 3 , v = e a x u = x^3, \quad v = e^{ax} u=x3,v=eax
步骤2：计算导数
| 导数阶数 | u ( r ) u^{(r)} u(r) | v ( n − r ) v^{(n-r)} v(n−r) |
|---|---|---|
| r = 0 r=0 r=0 | x 3 x^3 x3 | a n e a x a^n e^{ax} aneax |
| r = 1 r=1 r=1 | 3 x 2 3x^2 3x2 | a n − 1 e a x a^{n-1} e^{ax} an−1eax |
| r = 2 r=2 r=2 | 6 x 6x 6x | a n − 2 e a x a^{n-2} e^{ax} an−2eax |
| r = 3 r=3 r=3 | 6 6 6 | a n − 3 e a x a^{n-3} e^{ax} an−3eax |
| r ≥ 4 r \geq4 r≥4 | 0 0 0 | / |
步骤3：代入公式
y ( n ) = ( n 0 ) x 3 a n e a x + ( n 1 ) 3 x 2 a n − 1 e a x + ( n 2 ) 6 x a n − 2 e a x + ( n 3 ) 6 a n − 3 e a x \begin{align*} y^{(n)} &= \binom{n}{0} x^3 a^n e^{ax} + \binom{n}{1} 3x^2 a^{n-1} e^{ax} \\ &\quad + \binom{n}{2} 6x a^{n-2} e^{ax} + \binom{n}{3} 6 a^{n-3} e^{ax} \end{align*} y(n)=(0n)x3aneax+(1n)3x2an−1eax+(2n)6xan−2eax+(3n)6an−3eax
步骤4：化简表达式
提取公共因子 e a x e^{ax} eax：
y ( n ) = e a x [ x 3 a n + 3 n x 2 a n − 1 + 3 n ( n − 1 ) x a n − 2 + n ( n − 1 ) ( n − 2 ) a n − 3 ] y^{(n)} = e^{ax} \left[ x^3 a^n + 3n x^2 a^{n-1} + 3n(n-1)x a^{n-2} + n(n-1)(n-2) a^{n-3} \right] y(n)=eax[x3an+3nx2an−1+3n(n−1)xan−2+n(n−1)(n−2)an−3]
六、关键特征
- 对称性： u u u和 v v v的导数阶数之和恒为 n n n
- 组合系数：反映导数项的分布方式数量
- 终止条件：当某一函数的高阶导数为零时可提前终止计算
七、应用场景
- 多项式与指数函数的乘积求导
- 三角函数与多项式组合求导
- 任何需要计算乘积函数高阶导数的场景
风险提示与免责声明
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