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LLM大模型中的基础数学工具—— 约束优化

news 2025/8/24 22:13:01

Q26: 推导拉格朗日乘子法 $L(x, \lambda) = f(x) + \lambda g(x)$ 的 KKT 条件

拉格朗日乘子法与 KKT 条件是啥？

拉格朗日乘子法是解决约束优化问题的利器。比如，想最小化函数 $f(x)$ ，同时满足约束 $g(x) \leq 0$ ，就构造拉格朗日函数 $L(x, \lambda) = f(x) + \lambda g(x)$ （ $\lambda \geq 0$ 是乘子）。KKT 条件是解这类问题的核心规则，包含以下几点：

梯度为零： $\nabla_x L(x, \lambda) = 0$ ，即 $\nabla f(x) + \lambda \nabla g(x) = 0$ ，表示在最优解处，目标函数梯度与约束函数梯度成比例。
原始可行性： $g(x) \leq 0$ ，确保解在约束范围内。
对偶可行性： $\lambda \geq 0$ ，乘子非负。
互补松弛： $\lambda g(x) = 0$ ，意味着要么 $\lambda = 0$ （约束不起作用），要么 $g(x) = 0$ （约束刚好满足）。

在 LLM 中的使用

在 LLM 的模型压缩中，既要最小化模型大小 $f(x)$ ，又要保证精度 $g(x) \leq 0$ （如精度下降不超过阈值）。通过 KKT 条件找到最优压缩参数，确保在精度约束下模型最小。例如，剪枝时确定保留哪些连接，使模型变小同时精度达标。

代码示例（简单约束优化）：

import numpy as np  
# 目标函数 f(x) = x²  
# 约束 g(x) = x - 1 ≤ 0  
def lagrangian(x, lam):  return x**2 + lam * (x - 1)  
# 假设λ=0，检查x=0是否满足  
x = 0  
g = x -1  
lam = 0  
print(f"x={x}, g(x)={g}, λg(x)={lam*g}")  
if lam * g ==0 and g <=0:  print("满足KKT条件")

解释：代码中，若 $\lambda =0$ ， $x=0$ 满足 $g(x) = -1 \leq0$ ，且 $\lambda g(x)=0$ ，符合互补松弛。这说明无约束解 $x=0$ 也满足约束，是最优解。LLM 中类似逻辑用于约束下的参数优化。

Q27: 分析投影梯度下降（Projected Gradient Descent）的可行性保持条件

投影梯度下降是啥？

投影梯度下降处理约束优化，先梯度下降更新参数，再将参数投影回可行域。可行性保持条件确保每次迭代后参数仍在可行域内。例如，可行域是 $\|x\| \leq R$ ，更新 $x_{t+1} = x_t - \eta \nabla f(x_t)$ 后，投影 $\Pi(x_{t+1})$ 使 $\| \Pi(x_{t+1}) \| \leq R$ 。

可行性保持条件

可行域需是凸集（如球体、矩形），保证投影唯一。
投影操作 $\Pi(x)$ 满足 $\Pi(x) \in$ 可行域。例如，若可行域 $x \geq0$ ，投影为 $\max(0, x)$ 。

在 LLM 中的使用

LLM 训练中，对参数范数约束（如 $\|w\| \leq R$ ）防止过拟合。每次参数更新后，投影到范数球内。例如，训练 BERT 时，限制权重矩阵范数，投影确保权重在可行域，提升模型稳定性。

代码示例（简单投影梯度下降）：

import torch  
# 可行域 x ≥0  
x = torch.tensor([-1.0], requires_grad=True)  
eta = 0.1  
f = x**2  
f.backward()  
with torch.no_grad():  x -= eta * x.grad  x_proj = torch.max(torch.zeros(1), x)  # 投影  
print(f"更新后x: {x.item()}, 投影后x_proj: {x_proj.item()}")

解释：代码中 x 初始为 - 1，梯度下降更新后，投影 $\max(0, x)$ 确保 $x \geq0$ ，保持可行性。LLM 中类似投影操作，确保参数在约束范围内，优化更稳定。

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