(泛函分析)线性算子连续必有界的证明

定理：

设 $X$ 和 $Y$ 是赋范线性空间，$T:X\to Y$ 是一个线性算子。若 $T$ 在某一点 $x_0\in X$ 处连续，则 $T$ 是有界的（即存在常数 $M>0$，使得对所有 $x\in X$，都有 $\Vert Tx{\Vert }_Y\le M\Vert x{\Vert }_X$）。

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证明思路：

我们从 $T$ 在某点 $x_0$ 连续入手，利用线性性质推导出 $T$ 的有界性。

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第一步：利用连续性

假设 $T$ 在 $x_0\in X$ 处连续。根据连续性的定义，对于任意 $\epsilon >0$，存在 $\delta >0$，使得当 $\Vert x-x_0\Vert <\delta$ 时，有：
$$\Vert T(x)-T(x_0){\Vert }_Y<\epsilon .$$

特别地，取 $\epsilon =1$，则存在 $\delta >0$，使得当 $\Vert x-x_0\Vert <\delta$ 时，有：
$$\Vert T(x)-T(x_0){\Vert }_Y<1.$$

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第二步：构造单位球中的向量

考虑单位球中的向量 $u\in X$，满足 $\Vert u\Vert =1$。令：
$$x=x_0+\frac{\delta }{2}u.$$
显然：
$$\Vert x-x_0\Vert =\Vert \frac{\delta }{2}u\Vert =\frac{\delta }{2}<\delta ,$$
所以由前面的结论得：
$$\Vert T(x)-T(x_0){\Vert }_Y<1.$$

又因为 $T$ 是线性的，有：
$$T(x)=T\left(x_0+\frac{\delta }{2}u\right)=T(x_0)+\frac{\delta }{2}T(u),$$
因此：
$${\Vert T(x)-T(x_0)\Vert }_Y={\Vert \frac{\delta }{2}T(u)\Vert }_Y=\frac{\delta }{2}\Vert T(u){\Vert }_Y<1.$$

于是得到：
$$\Vert T(u){\Vert }_Y<\frac{2}{\delta }.$$

由于 $u$ 是任意的单位向量（$\Vert u\Vert =1$），这说明：
$$\underset{\Vert x\Vert =1}{\sup }\Vert Tx{\Vert }_Y\le \frac{2}{\delta }.$$

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第三步：推出有界性

现在我们得到了对所有单位向量 $x$，有：
$$\Vert Tx{\Vert }_Y\le M:=\frac{2}{\delta }.$$

对于任意非零 $x\in X$，令 $u=\frac{x}{\Vert x\Vert }$，则 $\Vert u\Vert =1$，于是：
$$\Vert Tx{\Vert }_Y=\Vert T(\Vert x\Vert u){\Vert }_Y=\Vert x\Vert \cdot \Vert Tu{\Vert }_Y\le \Vert x\Vert \cdot M.$$

即：
$$\Vert Tx{\Vert }_Y\le M\Vert x{\Vert }_X,\forall x\in X.$$

这就证明了 $T$ 是有界的。

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结论：

如果一个线性算子在某个点处连续，则它在整个空间上是有界的。

反过来，如果一个线性算子是有界的，那么它也是连续的（事实上，在整个空间上一致连续）。因此，在赋范线性空间中，线性算子的连续性与有界性是等价的。