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从微积分到集合论(1630-1910)(历史简介)——第2章——牛顿(Newton)和莱布尼兹(Neibniz)以及莱布尼兹传统(H.J.M.Bos)

news 2025/5/22 8:01:05

第 2 章 Newton，Leibniz和Leibniz传统分析

(Newton，Leibniz and the Leibnizian Tradition)

H. J. M. Bos

2.1 引言和相关数学家生平简介(Introduction and biographical summary)

2.2 Newton之流数微积分(Newton's fluxional calculus)

2.3 Leibniz的发现之主要思想(The principal ideas in Leibniz's discovery)

2.4 Leibniz创立微积分(Leibniz's creation of the calculus)

2.5 l’Hôpital的微积分教材版本 (l’Hôpital's textbook version of the differential calculus)

2.6 Johann Bernoulli的积分讲座(Johann Bernoulli's lectures on integration)

2.7 Euler对分析学的塑造 (Johann Euler's shaping of analysis)

2.8 两个著名问题：悬链线和捷线 (Two famous problems : the catenary and the brachistochrone)

2.8.1 悬链线问题

编辑

2.8.2 捷线问题(捷线，即最速降线)

2.9 理性力学 (Rational mechanics)

2.10 未决问题 (What was left unsolved : the foundational questions)

2.11 Berkeley对微积分基础的批判(Berkeley's fundamental critique of the calculus)

2.12 极限及其他解决基础问题的尝试(Limits and other attempts to solve the foundational questions)

2.13 总结(In conclusion)

2.1 引言和相关数学家生平简介(Introduction and biographical summary)

本章的出发点是微积分的“发明”，或者更确切地说是“多项发明”。Newton(1664-1666)和Leibniz(1675)各自独立地创立了无穷小微积分。他们的发明在概念和风格上截然不同，但都包含了我们如今认为对微积分至关重要的诸多内容，因此“微积分的发明”这一表述在两种情况下都是合理的。我将继续探讨微积分的后续发展，直到1780年左右。在这一发展中，Leibniz式的微积分(包括微分和积分)比Newton式的流数微积分(fluxional calculus)更为成功；因此，我将集中讨论前者。

在本章涵盖的时期内，许多伟大而又平凡的数学家都参与了微积分的发展。我将仅限于讲述其中的主要人物：Isaac Newton，剑桥大学的Lucas数学教授，后来担任伦敦铸币厂厂长；Gottfried Wilhelm Leibniz，Hanover公爵宫廷的历史学家和科学家；Jakob Bernoulli，Basle的数学教授；他的弟弟 Johann Bernoulli ，比他小十三岁，在Groningen担任教授后，于1705年在Basle接替 Jakob Bernoulli；Guillaume Francois Marquis de l’Hôpital侯爵，一位靠私人财产生活的法国贵族，也是一位才华横溢的数学家，对无穷小方法的新发展有着浓厚的兴趣；最后是Leonhard Euler，他师从Johann Bernoulli，之后进入了18世纪典型的科学机构——科学院。他于1730年至1741年担任圣彼得堡(现列宁格勒)科学院教授，并于1766年起直至去世；在此期间，他担任柏林科学院教授。

Isaac Newton的许多伟大思想，最终使他在数学和自然科学领域声名鹊起，都诞生于1664年至1666年间。当时，他是剑桥大学三一学院的研究生，但这两年里，他曾一度居住在林肯郡，因惧怕瘟疫而远离剑桥(参见Whiteside 1966a)。他关于引力的思想，后来得以阐释，并于1687年发表于他著名的《自然哲学的数学原理》(Principia，1687a)中，都诞生于这一时期。此外，他发表于1704年《光学》论文中的颜色理论、二项式级数定理以及流数微积分，我们将在第2.2节中对此进行更详细的讨论。

与引力和颜色一样，这些数学思想的出版也长期被推迟。牛顿确实撰写了几篇关于他在无穷微积分领域的发现的文章。1666年10月，他总结了两年间成果丰硕的发现，并将其写成了一篇关于流数(fluxions)的论文(1666a)；1669年，他撰写了一篇关于无穷级数的论文《论分析》(De analysi)(1669a)，该论文以手稿形式在皇家学会会员中流传；从1671年开始，他发表了一篇关于流数方法和无穷级数的论文(1671a)；大约在1693年，他撰写了一篇关于曲线求面积法的论文(1693a)。然而，1666年的论文和关于流数法的论文在他有生之年并未出版，《分析学》直到1711年才出版，而关于曲线求面积法的论文则出版于1704年。与此同时，1687年的《数学原理》首次向公众展示了他在无穷微积分中的方法，但这些还不足以展现他数学发现的广度和力量。

大约在世纪之交，关于Leibniz微积分的文献大量出版(我们将在下文2.5-2.8节中看到)，而关于Newton微积分的资料也足够证明，两人都在本质上相同的数学领域发现了新的方法。这引发了一场关于优先权的激烈争论，个人和民族自豪感，加上对相关数学知识的缺乏(至少在争论中参与程度较低的人看来是如此)，造成了令人不快的误解和影射，直到本世纪通过耐心的历史研究才得以澄清。历史研究的最终结果是，Leibniz比Newton更晚、独立地发现了他的微积分，并且他更早地发表了它。

1669年，Newton接替Isaac Barrow成为Lucas教授，但在17世纪90年代，他对自己在剑桥大学的职位感到不满。他经常访问伦敦，参加皇家学会的会议(他自1672年起成为皇家学会会员)，并作为剑桥大学选区的议员出席议会会议。1696年，他最终移居伦敦，受命出任铸币厂总监。1703年，他成为皇家学会会长，并一直担任该职位直至去世。1705年，他被授予爵位，进一步巩固了他作为英国最杰出科学家的地位。

到18世纪10年代，关于流数微积分的著作已大量出版，以至于该方法被其他人采用和应用。然而，Newton式微积分的进一步发展仍然局限于英国，并没有取得太大成就。其失败的原因在于：由于优先权之争，英国与欧洲大陆的分析发展隔绝；英国缺乏真正发展Newton微积分的数学家；以及过分强调对Newton微积分概念及其符号的忠诚，而这些概念和符号的通用性不如 Leibniz 的符号。

在欧洲大陆，Leibniz的发明引发了更为激烈的发展，我们今天要讨论的是17世纪70年代这一发展的起源。

Leibniz于1676年进入Hanover王朝任职之前，曾在Paris(巴黎)执行外交任务四年，这让他有充足的时间去追求他对数学、科学、历史、哲学以及其他诸多领域的兴趣。他结识了许多法国哲学家，并两次前往伦敦参加皇家学会。在巴黎的岁月是他的性格形成期。1672年抵达巴黎时，尽管他发表了一篇关于组合数学的短文，但他的数学知识仍然匮乏。他在家乡莱比锡的大学学习法律。当时居住在巴黎的Christiaan Huygens发现了Leibniz的数学才能，并指导了他早期的高等数学研究。Leibniz “数学成熟度的成长”(参见Hofmann 1949a)确实令人印象深刻；这促使他在1675年发现了微积分，并在随后的几年里对其进行了进一步的完善，并于1684-1686年发表了该理论。他还对数学的其他分支做出了贡献，例如代数(程的可解性、行列式)以及几乎所有其他人类学术领域，包括宗教、政治、历史、物理、力学、技术、数学、地质学、语言学和自然历史。他的许多成果当时并未立即发表，而是通过他与别人的书信往来(由于Leibniz在Hanover相对孤立的思想环境，他仅与一千多名学者有通信)进行交流，通过在期刊上发表短文(他是德国第一本科学期刊《Ada eruditorum》的创始人之一)，以及后来通过出版他的手稿(其中大部分这些资料他都保存了下来，现存于Hanover的Leibniz档案馆)，才逐渐为人所知。

Leibniz在1684年和1686年发表于《Ada eruditorum》杂志的两篇文章中阐述了他的微积分理论，但这并没有在数学界引起太大的轰动。这两篇文章相当短小，而且存在印刷错误，有些地方甚至故意含糊其辞，因此令人惊讶的是，在接下来的十年里，它们竟然还能被理解。

Jakob Bernoulli和 Johann Bernoulli 研究了1687年发表的文章，到1690年，他们在《Ada eruditorum》杂志上发表的文章表明，他们已经掌握了Leibniz的符号系统及其运用。他们都开始与 Leibniz 通信；Johann和Leibniz 之间的交流尤其密切，成果丰硕。1690年后，Bernoulli和Leibniz在《Ada eruditorum》杂志和其他期刊上发表了一系列文章，这些文章后来由 l’Hôpital 等人加入，向学术界表明，新微积分是不可忽视的。

然而，对于数学水平不如Bernoulli夫妇的人来说，从这些文章中学习微积分实际上非常困难。他们需要的是一本正经的微积分教科书。这样一本教科书问世了，尽管它只讲微积分，它出现在1696年，即l’Hôpital的《无限小量分析与理解曲线》(Analyse des infiniment petits pour Vintelligence des lignes courbes，1696a)。

Johann Bernoulli向l’Hôpital侯爵介绍了微积分。Bernoulli于1690年完成医学学业后，前往巴黎，在那里，他提出了一种利用微分法确定任意曲线曲率的方法，给学界留下了深刻的印象——而这个问题，用笛卡尔解析几何的方法几乎无法解决。l’Hôpital侯爵对此印象非常深刻，他以优厚的报酬邀请Bernoulli，为他讲授这种新方法。Bernoulli接受了邀请，并在巴黎和侯爵的乡间别墅分别进行了讲授。讲稿被记录下来，两人都保留了副本。大约一年后，Bernoulli离开了巴黎，但同意继续通过书信形式指导l’Hôpital侯爵。事实上，协议规定，Bernoulli将以丰厚的月薪，回答l’Hôpital 所有关于数学的问题，并将他所有的数学发现发送给l’Hôpital，并且不让任何其他人接触这些发现(参见《Bernoulli 通信录》，第144页)；这份协议极其古怪，也几乎谈不上光荣，它把Bernoulli的原创性完全交给l’Hôpital使用。从一开始，Bernoulli就没有完全遵守合同的字面意义，l’Hôpital很快意识到，他无法以这种方式束缚一位才华横溢的数学家。然而，当1696年l’Hôpital出版了他的教科书时，Bernoulli发现书中的大部分内容都取自他的讲课，而只是顺便提到了侯爵对Bernoulli的感激之情，他只能默默地生气，因为他受合同的约束。

l’Hôpital去世后，Johann Bernoulli曾试图让自己在《分析》中所作的贡献得到承认，但那时，由于与兄长就此类问题公开争吵，他在优先权问题上的可信度已非常低下。Jakob Bernoulli性格相当内向，但他对数学界人士的赞扬很敏感，并且不愿被才华横溢的弟弟所掩盖。另一方面，Johann则过于追求自己的成功，不愿顾及弟弟的感受。因此，文章中出现了一些含沙射影的言论，后来爆发了一场公开的争吵。直到1921年，Johann Bernoulli在巴黎发表的微积分讲座手稿被发现后，他才得以证明自己对《分析》大部分内容的所有权(参见Johann Bernoulli 1924a)。

尽管他们之间的关系紧张，但通过这些人的著作，Leibniz微积分得以广为人知，并证明了其威力。到了18世纪的第一个十年，其他数学家也致力于研究这种新的微积分，例如Jakob Hermann、Pierre Varignon、Niklaus Bernoulli(Johann Bernoulli 之侄)和Daniel Bernoulli(Johann Bernoulli之子)。Bernoulli家族在整个18世纪不断涌现出著名的数学家。

在早期，新微积分主要由一些联系松散的方法以及用这些方法解决的问题组成。将Leibniz微积分重塑为一套系统严密的数学知识体系的人是Leonhard Euler。Euler是18世纪中叶欧洲大陆数学的核心人物。他出版了大量关于数学、力学、光学、天文学、航海学、流体力学、火炮和造船等技术问题以及许多其他主题的书籍和文章。尽管他在1735年失去了一只眼睛，并在1766年完全失明，但他仍然保持着令人印象深刻的生产力。在学院任职期间，除了科学研究之外，他还参与了许多其他工作，例如为消防车和水泵等新发明的性能提供建议，以及为运河建设等技术企业提供建议，以及在普鲁士腓特烈大帝的无忧宫公园内建造水利工程。

Euler对微积分乃至整个分析学的最大影响，在于他创作的一系列伟大的教科书。在这些教科书中，他为分析学确立了明确的形式，并一直沿用到19世纪。这些教科书均以拉丁文写成，分别是：《无穷大分析导论》(Introduction of infinites：1748a)、《微分学教科书》(Institutiones calculi diffracticis：1755b)和《积分学教科书》(Institutiones calculi integralis：1768-1770a)。

正是这些人创造了微积分，并塑造了Leibniz的分析传统。我将在第2.3至2.8节中描述其中涉及的数学知识，但首先，我将在下一节中概述Newton微积分。

2.2 Newton之流数微积分(Newton's fluxional calculus)

如上所述，Newton在无穷微积分领域的主要数学发现可以追溯到1664年至1666年。(有关他在此期间成就的详细记录，请参阅《Newton论文集》(Papers)第一卷，第145-154页和《 $W\!or\!ks_{2}$ 》第1卷，第viii-xiii页。) 他通过自学迅速掌握了该领域现有理论的充分知识，尤其受益于阅读 Descartes 的van Schooten版的带注释的《几何学》(La géométrie)以及Wallis的著作。基于这些研究，他在这硕果累累的两年里发展了他的流数微积分。

Newton的发现复杂、深刻且涉及面广，其中可以区分出几个核心主题。这些主题包括：级数展开式(series expansions)、算法(algorithms)、微分和积分的互逆关系(译注：但并非一定互逆，有的函数可积但不可微)、变量随时间运动的概念，以及素数比和极限比的理论。尽管这些主题几乎贯穿于他所有关于无穷小量微积分的研究中，但我将分别论述它们。

Newton非常重视幂级数展开，因为它提供了一种可以将曲线的解析公式简化为另一种形式，在这种形式中的所有项都仅由一个常数乘以该变量的幂构成。因此，超越曲线(transcendental curves)(不允许代数方程)以及具有复杂方程的代数曲线都可以用更简单的方程(即使其项数无限)来表示。Newton认为这有两大优势。首先，级数展开使得将仅适用于简单方程的规则和算法应用于更广泛的曲线成为可能。特别是，关系式

(2.2.1) $\displaystyle \int{x^{n}dx} = \frac{1}{n+1}x^{n+1}$ (译注：此处忽略了常数项，对于类似情况，下同)

到17世纪60年代，该公式已以各种形式为人所知(参见1.10和1.11节）。它与幂级数展开式结合使用，可以给出几乎所有曲线求面积的级数表达式。其次，级数展开式通过舍弃高阶项，为公式的近似和简化提供了一种便捷的方法——他在将他的数学方法应用于物理问题时，巧妙地运用了这一特点。

Newton最著名的级数展开式是“二项式定理”(译注：两个单项之和的各种幂，即两个单项之和自乘若干次)，他在 1664-1665 年冬天发现了这个定理，它指出整数幂的著名二项式展开式

(2.2.2) $\displaystyle (a+x)^{n} = a^{n} + \frac{n}{1}a^{n-1}x + \frac{n(n-1)}{1.2}a^{n-2}x^{2} +... + x^{n}$ ，

可以推广到分数幂 $\alpha = p/q$ ，在这种情况下，二项式展开式

(2.2.3) $\displaystyle (a+x)^{\alpha} = a^{\alpha} + \frac{\alpha}{1}a^{\alpha-1}x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{1.2}a^{\alpha-2}x^{2} +...$

的右边是一个无穷级数。他发现了与圆 $y = (1-x^{2})^{1/2}$ 的平方问题有关的定理。他比较了公式 $(1-x^{2})^{0}\quad ,(1-x^{2})^{1/2}\quad,(1-x^{2})^{2/2}\quad,(1-x^{2})^{3/2}\quad,(1-x^{2})^{4/2} \quad,\quad...$ 。第一、第三、第五……公式不涉及根，因此相应曲线的求面积很容易求得：

(2.2.3)

$y=(1-x^{2})^0$ 的积分是 $x$ ，

$y=(1-x^{2})^{2/2}$ 的积分是 $x-\frac{1}{3}x^{3}$ ，

$y=(1-x^{2})^{4/2}$ 的积分是 $x-\frac{2}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}$ 。

在检查这些展开式中的系数时，牛顿注意到分母是奇数 1，3，5，7……，而分子在连续展开式中分别是 {1}，{1, 1}，{1, 2, 1}，{1, 3, 3, 1}……，也就是Pascal三角形中的数字。他知道这可以表示为 n 的连续整数值

(2.2.4) $\displaystyle \{ 1 , n , \frac{n(n-1)}{1.2} , \frac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3} ,... \}$ 。

然后，通过类比他猜测同样的表达式也应当适用于 n 为分数的情况。当 $n=\frac{1}{2}$ 时按此表达式得到：

$y = (1-x^2)^{1/2}$ 的积分(求面积)(quadrature)是

(2.2.5) $\displaystyle x - \frac{\frac{1}{2}x^{3}}{3} - \frac{\frac{1}{8}x^{5}}{5} - \frac{\frac{1}{16}x^{7}}{7} - \frac{\frac{5}{128}x^{9}}{9} - ...$ 。

然后，他发现，这种猜测或“插值(interpolating)”的例程，例如级数图 (2.2.4) 中的 (2.2.5) 的展开式，可以应用于曲线方程及其求积分，这样，他发现

(2.2.6) $\displaystyle (1-x^{2})^{1/2} =1 -\frac{1}{2}x^{2} - \frac{1}{8}x^{5}- \frac{1}{16}x^{6}-\frac{5}{128}x^{8} -...$ 。

他对插值程序的可靠性并不满意，于是用两种方法检验了 (2.2.6)。他证明，(2.2.6) 式的右边与其自身的乘积等于 $1-x^{2}$ (也就是说，乘积级数中所有其他系数均为零)，并且他发现，一种常见的开根方法(root extraction)，即“galley方法”，正式应用于 $1-x^{2}$ ，可以得到相同的级数。与开根方法相同，他使用长除法算法得到了级数展开式，例如：

(2.2.7) $\displaystyle \frac{1}{1+x} = 1 - x + x^{2} - x^{3} + x^{4} - ...$ ，

这提供了对双曲线(hyperbola) y = 1/(1 + x) 的求面积方法。他还通过假设二项式展开式适用于 n = -1 的情况，从而得到 (2.2.7)。

在《论数学分析》(De analysi)(1669a)中，Newton解释并运用了这些级数展开式的方法，并对于一个已知含有 x 和 y 的多项式方程

(2.2.8) $\displaystyle \sum a_{ij} x^{i} y^{i} = 0$ ，

提出了一个通用的计算附属级数

(2.2.9) $\displaystyle y = \sum b_{i} x^{i}$ 的第一个系数的计算规则。

(《论文集》，第 2 卷，222-247)。(译注：此处原文似乎表达不清，含糊其辞，不知何意？)

无论是按 Newton 发现二项式定理的方式，还是按级数展开的一般应用，我们现在写成的关系

(2.2.10) $\displaystyle \int{x^{n}}dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}{}$

都起着重要的作用。他在《论数学分析》的开篇就提到了“简单曲线的求面积法”：“法则1：若 $ax^{m/n} = y$ ，则 $( \quad na(m + n) x^{(m+n)/n} \quad )$ 等于面只 ABD” (同上，第 206-207页，见图 2.2.1 )。在该论文的后面，他给出了一个通用程序(法则1是其直接推导)，用于求曲线(如图2.2.1中的 AD)的求面积与其纵坐标之间的关系。该程序清楚地表明，Newton 认识到了积分和微分之间的互逆关系(尽管他当然没有使用这两个术语)。他通过一个例子解释了他的方法，但根据这个例子，该程序的普遍性就显而易见了。他的具体过程如下(同上，第242-245页)。在图 2.2.1中，设面积ABD = z，BD = y，AB = x；进一步设Bβ = o，并设 BK = v，使得面积 BDδβ = 面积BKHb = ov 。例如，考虑曲线

(2.2.11) $\displaystyle z = \frac{2}{3} x^{3/2}$ ，

即(移去根以得到一个多项式方程)

(2.2.12) $\displaystyle z^{2} = \frac{4}{9} x^{3}$ ；

然后另有

(2.2.13) $\displaystyle {(z+ov)}^{2} = \frac{4}{9} {(z+ov)}^{3}$ ，

展开得到

(2.2.14) $z^{2} + 2zov + o^{2} v^{2} = \frac{4}{9}(x^{3} + 3x^{2}o + 3xo^{2} + o^{3})$ 。

现在，从 (2.2.12) 式中去掉不带o的项，即两边相等的项，并将余数除以o，我们得到

(2.2.15) $2zov + ov^{2} = \frac{4}{9}(3x^{2} + 3xo + o^{2})$ 。

现在Newton取 Bβ 的值为“无穷小”，在这种情况下，如图所示，有v = y 且带有 o 的项消没：

(2.2.16) $2zv = \frac{4}{3} x^{2}$ 。

插入 (2.2.11) 中的 z 值，他得到

(2.2.17) $y=x^{1/2}$ 。

显然，该例程适用于 x 和 z 之间的所有多项式关系。其本质是计算 x 的任何代数函数 z 的导数(在本例中为 y)。

Newton清楚地认识到，求面积问题应该以相反的方式解决：通过计算所有代数z对应的y，他就能求得所有可求面积的曲线(y, x)。事实上，他计算了许多这样的可求面积曲线，并将它们写成详尽的列表，这些列表堪称最早的积分表(参见Newton《论文集》(Papers)第1卷，404-411页)。

上述例程的关键在于，用“微小的”对应增量 o 和 ov 代替方程中的 x 和 z。在研究最大值和最小值、切线和曲率(curvature)的确定时，Newton广泛运用了这种方法，并针对这些问题设计了各种算法，通过这些算法，他可以计算代数曲线上任意一点的切线斜率或曲率。(用现代术语来说，他开发了用于确定任何代数函数导数的算法。) 后来，他用流(fluents)和流数(fluxions)的形式重新表述了这些算法及其证明，我们将在讨论这些概念之后再回顾这些算法。(注：例如，参见Newton 1671a，载于《Newton论文集》，第 3 卷，第 72-73 页。)

“流(fluents)”和“流数(fluxions)”这两个术语表明了Newton在解析几何中对变量的概念：他将这些变量视为“流动的量”，即随时间变化的量。因此，当考虑图 2.2.1 中的曲线时，他会设想点 D 沿着曲线移动，而相应地，纵坐标 y、横坐标 x、z 或任何其他与曲线相关的变量都会增加或减少，或者一般来说会改变或“流动”。他将这些流动的量称为“流(fluents)”(与图中或当前问题中出现的常数相对)，并将它们随时间的变化率称为“流数”。在他早期的研究中，他用单独的字母表示流数；在 1671 年，他引入了点符号，其中流 x ，y，z 的流数分别为 $\dot{x}$ , $\dot{y}$ ， $\dot{z}$ 。

需要注意的是，流数随时间变化的方式是任意的。为了简单起见，Newton经常对变量的运动做一个额外的假设，假设其中一个变量(比如 x )做匀速运动，使得 $\dot{x}=1$ 。之所以能做出这样的假设，是因为人们感兴趣的不是流数本身的值，而是它们的比值，例如 $\dot{y}/{\dot{x}}$ ，它给出了正切的斜率。牛顿认为，通过这种随时间运动的量的概念，他能够解决在考虑变量对应增量时的“小”的固有的基本困难。这些增量小到我们可以忽略它们，但当我们想用它们除以它们时，它们又不等于零。在他解决这个问题的方法中，他的素数比和极限比理论(我们将在2.10节讨论)中，他的流量概念至关重要；通过这一概念，他几乎可以运用极限作为微积分的基础。

我们现在回到我们上述提到的算法。变量的相应增量可以按流数表达：现在令 o 为一个无穷小的时间元素，则相应的流 x ，y，z ，… 的流数增量分别为 $\dot{x}o \quad,\quad \dot{y}o \quad,\quad \dot{z}o \quad, \quad ...$ 。现在， $\dot{y}$ 对 $\dot{x}$ 的比率可以按下述例子中的一种明显的方式确定，这种方式 Newton 在1671a 中有给出(<<论文集>>，第 3 卷，第 79-81 页。) 令一条已知曲线具有方程

(2.2.18) $x^{3} - ax^{2} + axy - y^{3} = 0$ 。

分别将 $x+\dot{x}o$ 代入 x ， $y+\dot{y}o$ 代入 y ，得到

(2.2.19)

$\displaystyle ( x^{3}+ 3\dot{x}ox^{2} + 3\dot{x}^{2} o^{2}x +\dot{x}^{3} o^{3} )- (ax^{2} + 2a\dot{x}ox + a\dot{x}^{2} o^{2}) \\ \\ + (axy + a\dot{x}oy + a\dot{y}ox + a\dot{x}\dot{y}o^{2} ) \\\\ - (y^{3} + 3\dot{y}oy^{2} + 3\dot{y}^{2} o^{2}y + \dot{y}^{3} o^{3} ) = 0$ 。

从中删除掉 $x^{3} - ax^{2} + axy - y^{3}$ ，因为根据 (2.2.18) 其等于 0 ，再除以 o ，并抛弃 o 位于左边的项，从而得到

(2.2.20) $3\dot{x}x^{2} - 2a\dot{x}x + a\dot{x}y + a\dot{y}x - 3\dot{y}y^{2} = 0$ ,

据此不难求得 $\dot{y}$ 与 $\dot{x}$ 的比率为：

(2.2.21) $\displaystyle \frac{\dot{y}}{\dot{x}}=\frac{3x^{2}-2ax+ay}{3y^{2}-ax}$ 。

我们注意到，在结果在的分子和分母分别是函数 $f (x,y) = x^{3} - ax^{2} + axy - y^{3}$ 和函数方程(2.2.18) 的左边部分的偏导数 $f_{x}$ 和 $f_{y}$ (除了符号)。因此

(2.2.22) $\displaystyle \frac{\dot{y}}{\dot{x}}=-\frac{f_{x}}{f_{y}}$ 。

-----------------------------------图 2.2.1---------------------------------

事实上，正如我们之前提到的那样，这种关系隐含在Newton为解决切线、最大值和最小值以及曲率问题而制定的算法中。他甚至一度为此引入了特殊的符号(参见论文集，第1卷，第289-294页)，将曲线方程的左边记为 $\mathcal{X}$ (右边为零)。然后，他分别将我们记为 $xf_{x}$ 和 $yf_{y}$ 的部分记为 $\bullet \mathcal{X}$ 和 $\mathcal{X}\bullet$ (即所谓的“齐次偏导数”)，并使用了与曲率相关的其他高阶齐次偏导数的符号。然而，Newton 的 $\bullet \mathcal{X}$ 和 $\mathcal{X}\bullet$ 与现代偏导数之间的联系，不应在不加限定的情况下进行思考；他将它们正式定义为公式 $\mathcal{X}$ 的变型，并且他没有明确地将 $\mathcal{X}$ 视为两个变量的函数，该函数还假设方程中的零点以外的其他值。

凭借这些算法，以及我们在此无法深入探讨的进一步技巧，Newton得以解决他所提出的无穷微积分中的两个基本问题之一：已知流及其关系，求流数。

第二个问题是第一个问题的逆：给定流数关系，求流关系。换言之，用现代术语来说，就是已知一个微分方程，求它的解。这当然比第一个问题难得多。Newton对这个问题的思考远不止于公式化；他前面提到的积分表，是求解这个问题的一种方法，他还研究了各种微分方程(或者更确切地说，流数方程)。

正如我们在上一节中看到的那样，Newton微积分未能像Leibniz微积分那样产生影响。因此，限于本章的篇幅和组织结构，我们只能对流数微积分进行简短的总结，并在2.10节中对其基础进行一些评论，现在我们将注意力转向更成功的竞争对手——Leibniz 微积分。

2.3 Leibniz的发现之主要思想(The principal ideas in Leibniz's discovery)

位于Hanover 的 Leibniz档案馆中最珍贵的文献之一是一组日期为1675年10月25(注：Hofmann (1949a) 曾讨论过这些问题，Child (1920a) 也给出了英文翻译)，26，29日以及11月1日和11日的数学手稿。Leibniz 在这些手稿上记录了他当时在研究17世纪数学中最重要的问题(求解曲线面积的方法)时，或多或少涌现的想法。在研究过程中，他引入了符号“∫”和“d”，探索了它们在公式中遵循的运算规则，并运用这些规则将许多关于曲线求面积的几何论证转化为符号和公式。简言之，这些手稿记录了Leibniz “发明”微积分的过程。我们将在下文中更详细地讨论它们，但首先，我们将讨论在1675年那些决定性研究中引导他的三个主要思想。

第一个核心思想是哲学思想，即Leibniz的“特征”思想：概括一种通用的符号语言，通过这种语言，所有推理和论证过程都可以用符号和公式来记录；这些符号遵循一定的组合规则，从而保证论证的正确性。这一思想指导了他的大部分哲学思考；它也解释了他对数学符号的浓厚兴趣，以及他致力于将数学表述和方法转化为公式和算法的努力。因此，在研究曲线几何时，他感兴趣的是方法而不是结果，尤其在于如何将这些方法转化为可用公式执行的算法。简言之，他正在寻找一种用于解决无穷小几何问题的微积分方法。

第二个主要思想涉及差值序列(difference sequences)。在研究序列 $a_{1} \; ,a_{2} \; ,a_{3} \;, \;...$ 以及相应的差值序列 $b_{1 }= a_{1} - a_{2} \; ,b_{2} = a_{2} - a_{3} \; ,b_{3} = a_{3} - a_{4}\; ,\; ...$ 时，Leibniz 已经注意到

(2.3.1) $b_{1} + b_{2} + ...+ b_{n} = a_{1} - a_{n+1}$ 。

这意味着差值序列很容易求和，这一见解在解决Huygens于 1672 年向他提出的一个问题时得到了很好的运用：求级数 $\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} + ...$ 之和，这个分母正是所谓的“三角数(triangular numbers)” r(r + 1)/2 。他发现这个项可以写成差值的形式

(2.3.2) $\displaystyle \frac{2}{r(r+1)} = \frac{2}{r} - \frac{2}{r+1}$ ，

从而有

(2.3.3) $\displaystyle \sum_{r=1}^{n} \frac{2}{r(r+1)} = 2 - \frac{2}{n+1}$ 。

具体来说，该级数加到无穷大时，和为2 。这一结果促使他研究了一整套相关的和差序列方案，他将这些方案组合成所谓的“调和三角形(harmonic triangle)”(图2.3.1)，其中斜行是连续差值序列，因此它们的和可以很容易地从方案中读出(Leibniz著作，第5卷，第405页；比较Hofmann 1949a，12；1974a，20)。

--------------------------------------图 2.3.1：Leibniz的“调和三角形”。第 n 行中的数是

$\left [(n-1)\begin{pmatrix}n\\k \end{pmatrix} \right ]^{-1}$ 。

可以从该方案中读出总结，例如：

$\frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} + \frac{1}{60} + \frac{1}{105} + ... = \frac{1}{2}$ 。

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

这些结果并非全新，但它们确实让 Leibniz意识到，差值序列和和值序列的生成是互为逆运算的。当他将这一基本思想应用于几何学时，它的意义变得更加重大。图 2.3.2 中的曲线定义了一个等距纵坐标 y 的序列。如果它们的距离为 1个单位，则 y 的和值近似于曲线的所求面积，而两个相邻 y 的差近似于相应切线的斜率。此外，选择的单位 1 越小，近似值就越好。Leibniz得出结论，如果选择的单位可以无限小，则近似值将变得精确：在这种情况下，所求面积将等于纵坐标之和，而切线的斜率将等于纵坐标的差。这样，他从求和与求差的互逆性中得出结论，求面积和求正切也是互为逆运算。

--------------------------------图 2.3.2--------------------------------

因此，Leibniz的第二个主要思想，无论在1673年左右多么模糊，已经提出了一种关于纵坐标和(sums)与差(differences)的无穷小微积分，通过它可以确定求面积和切线，并且这些确定将以逆过程的形式进行。这一思想也使得以下观点变得合理：正如在序列中那样，差总是可以确定，而和却不能确定；同样，在曲线的情况下，切线总是容易求得，而求面积则不然。

第三个主要思想是在求面积变换中使用“特征三角形”。在研究Pascal的著作时，

Leibniz注意到图 2.3.3 中沿曲线画出的小三角形 cc 的重要性，因为它(大致)类似于由纵坐标、正切和次正切，或纵坐标、垂线和次垂线构成的三角形。这种构形出现在许多 17 世纪的数学著作中；Pascal对它的运用与圆有关。Leibniz认为它在寻找曲线求面积与其他量(如矩和重心)之间的关系方面具有普遍的用途。例如，三角形的相似性得出 $cc^{'} \times y = cd \times n$ ；因此

(2.3.4) $\sum cc^{'} \times y = cd \times n$ 。

左侧可以解释为曲线弧相对于 x 轴的总矩(total moment)(粒子相对于轴的矩是其重量乘以其到该轴的垂直距离)，而右侧可以解释为沿 x 轴绘制垂线所形成的面积。

--------------------------------图 2.3.3----------------------------------

作为Leibniz运用特征三角形的一个例子，以下是他推导的一种特殊的正交变换，他称之为“嬗(shàn)变 (transmutation)”(译注：变形，蜕变，更替)。基于充分的理由，Leibniz高度重视这一变换。(比较Hofmann 1949a，32-35(1974a，54-60)和《Leibniz著作》，第5卷，第401-402页)。在图 2.3.4 中，设曲线 $Occ^{'}\!C$ 已知，且在 c 处具有特三角形 $cdc^{'}$ 。其所求面积 $\overset{\frown}{OC}B$ ，带域 $bcc^{'}\!b^{'}$ 之后可以视为三角形 $Occ^{'}$ 补上三角形 OBC 之后的和：

(2.3.5) $\mathcal{Z} = \sum \bigtriangleup Occ^{'} + \bigtriangleup O\!BC$ 。

现在，

(2.3.6)

$\begin{array}{rlc}\bigtriangleup Occ^{'} =\! &\frac{1}{2}cc^{'} \times {Op}\\ \\ =\! &\frac{1}{2}cd \times {Os} \\ \\ =\! &\frac{1}{2}{bqq^{'}b^{'} } \end{array}$

( 上述第二步由于特征三角形 $cdc^{'}$ 相似于 $\bigtriangleup {Osp}$ ) 。

现在，对于 $Occ^{'}C$ 上的每一个 c ，我们都可以通过绘制切线确定s并取 bq = Os ，求得一个相应的q 。因此我们得到了一条新的曲线 $Oqq^{'}Q$ ，且根据 (2.3.5) 我们有：

(2.3.7) $\mathcal{Z}=\frac{1}{2}{\text{Area}(Oqq^{'}Q)}+\triangle {OC\!B}$ (Area表示面积) 。

这就是Leibniz的变换规则，它利用特征三角形，将一条曲线的求面积变换为另一条曲线的求面积，并通过取切线的过程与原曲线建立联系。该规则适用于已知新曲线的求面积，或已知新曲线与原曲线的求面积关系的情况。Leibniz发现，例如，对于一般的抛物线和双曲线(参见1.3节)，该规则很容易给出它们的求面积。他还将他的变换规则应用于圆的求面积，并在研究中发现了著名的等差级数：

(2.3.8) $\displaystyle \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \frac{1}{11} + ...$ 。

变换规则的成功也使他确信，他所寻求的求面积问题的解析演算必须用适当的符号和规则来涵盖像这样的变换。

--------------------------------图 2.3.4----------------------------------

Leibniz于1673年发现的变换规则，属于17世纪下半叶流行的几何学求面积问题处理方式。类似的规则和方法可以在Huygens、Barrow、Gregory等人的著作中找到。例如，Barrow的《几何学选集》(Lectiones geometricae)(1670a)包含大量求积变换规则，如果将其纯几何表述符号化并采用微积分的符号，就会呈现出各种微积分的标准算法。J. M. Child 在其1920a年著作中甚至以此为论据，将微积分的发明者归于Barrow，而不是Newton或 Leibniz 。然而，这种观点只有在完全忽略将Barrow的几何文本化描述转化为解析公式的影响时才能成立。Newton和Leibniz的发现之所以如此，其巨大优势在于方法的解析表达，以及由此而来的对其逻辑一致性和普遍性的理解。

最合适的办法就是用一个例子来说明这一优势。为此，我将把Leibniz的嬗变规则翻译成解析公式，并附上注释。

根据构造，曲线 $Oqq^{'}\!Q$ 的纵坐标(ordinate)是

(2.3.9) $z = y - x\frac{dy}{dx}$ (注意特征三角形的应用)。

这个嬗变指出，对于 $O\!B=x_{0}$ ，

(2.3.10) $\displaystyle \int_{0}^{x_{0}}ydx = \frac{1}{2} \int_{0}^{x_{0}}zdx + \frac{1}{2} x_{0} y_{0}$ 。

插入来自 (2.3.9)的 z ，我们求得

$\begin{array}{rlc}\displaystyle \int_{0}^{x_{0}}ydx &\!\!\! = \displaystyle \frac{1}{2} \int_{0}^{x_{0}}\left (y-x\frac{dy}{dx} \right )dx + \frac{1}{2} x_{0} y_{0} \\ \\ &\!\!\! = \displaystyle \frac{1}{2} \int_{0}^{x_{0}}{ydx}-\frac{1}{2}\int_{0}^{x_{0}}{x\frac{dy}{dx}dx}+\frac{1}{2}x_{0}y_{0} \end{array}$ 。

因此

(2.3.11) $\displaystyle \int_{0}^{x_{0}}ydx=\int_{0}^{x_{0}}x\frac{dy}{dx}dx={x_{0}}{y_{0}}$ ,

因此，我们将这个法则视为“分部积分”的一个特例。

除了积分范围 $(0, x_{0})$ 沿 ∫ 符号表示之外，上面使用的符号体系是由Leibniz于 1675 年发明的。这种符号体系相对于几何推导和规则表述的优势显而易见：曲线 $Oqq^{'}\!Q$ 的几何构造可以用一个简单的公式 (2.3.9) 来描述，而其形式体系本身就包含了法则的证明。(2.3.11) 可根据法则

(2.3.12) $d(x,y) = xdx + ydx$

立即可推断。这些优势，即通过符号化的规则实现的易操作性和透明度，构成了Leibniz方法优于其几何前辈的主要因素。

2.4 Leibniz创立微积分(Leibniz's creation of the calculus)

在Leibniz的1675年10月25日至11月11日的手稿中，详细记录了他对求面积问题的研究。我们发现，他从多个角度探讨了这个问题，其中之一就是运用骑士符号系统(Cavalierian symbolism)“omn.”来分析(即，通过公式的运用)求面积之间的各种关系。“omn.”是“omnes lineae”,“all lines”的缩写；在1.10节中，它用符号“𝒪”表示。

Leibniz在此研究的一个典型例子如下。在图 2.4.1 这样的图中，他构思了曲线 $\overset{\frown}{OC}$ 的纵坐标 y 的一个序列；连续纵坐标之间的距离是(无穷小的)单位。连续纵坐标的差值称为 w 。OBC 等于纵坐标 y 之和。类似 w × x 的矩形被解释为差值 w 相对于轴 OD 的矩(矩 = 权重 × 到轴的距离)。因此，面积 OCD 表示差 w 的总矩。 $\overset{\frown}{OBC}$ (说明：上面的弧覆盖 OBC，当是平台支持 LaTex 较弱，只能生成这样) 是 $\overset{\frown}{OCD}$ 在矩形 ODCB 内的补，因此 Leibniz 发现，“关于垂直于轴的直线的差值的矩等于项之和的补数”(Child 1920a, 20)。这个“项”是y。现在w是纵坐标序列y的差值序列；因此，反过来，y是“项”的和序列，这样我们可以消去y，只考虑序列w及其和序列，得到：“且项的矩等于和之补数”(同上)。这里的“项”是w。Leibniz将这个结果写成一个公式，用符号“Omn.”来表示他所谓的“和”。我们按照他给出的方式给出公式，并在这个称呼下添加解释；“⨅”是他表示等式的符号，“ult. x”代表“ultimus x”，即 x 中的最后一个，也就是 OB，他在我们用括号的地方使用了上划线和逗号(同上)：

(2.4.1)

(比较(2.4.1)式与(2.3.11)式的形式。) 他立即意识到，通过各种代换，可以从该公式得到其他求面积关系。例如，代入 xw = a，w = a/x 可得

(2.4.2) $\displaystyle \text{omn.a} \sqcap \text{ult}{.x} , \text{omn}.\frac{a}{x} - \text{omn. omn}. \frac{a}{x}$ 。

他将其解读为“根据双曲线的所求面积的对数之和的表达”(同上，71)。事实上，omn. a/x 是双曲线 y = a/x 的所求面积，而这个所求面积是一个对数，所以 omn. omn. a/x 是对数之和。

-------------------------------图 2.4.1-----------------------------------

在这些研究中，我们看到了 Leibniz试图通过适当的符号和记法来解析地处理求面积问题，以及对差值序列和和值序列之间互易关系的清晰认识和运用。在几天后的一份手稿中，这些洞见得到了进一步的推论。Leibniz从公式 (2.4.1) 开始，现在记为

(2.4.3) $\text{omn}.{ xl} \sqcap x \text{omn}.{l} - \text{omn}. \text{omn}.{l}$ 。

他强调了具有无穷小距离的纵坐标序列的概念：“ … l 被视为数列的一个项，x是

表示与它对应的 l 的位置或顺序的数字；或者，x是序数，l 是有序的事物”(同上，第80页)。他现在注意到了一条关于(2.4.3) 等公式中维度的法则，即，omn. 缀于直线前面(例如 l )得到一个面积(所求面积)；omn. 缀于面积前面(例如 xl 之前)得到一个体积，等等。这种维度同质性(译注：即齐次性)定律在笛卡尔曲线分析中是众所周知的，其中公式必须由所有相同维度的项组成。( 在 (2.4.3) 中，所有项都是三维的，在 $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ 中，所有项都是二维的；像 $a^{2}+a$ 这样的表达式若按维度解释则是不可接受的，因为它会表达为一个面积和一条直线之和。)

这种对维度同质性的考量似乎建议 Leibniz 使用单个字母来代替符号 “omn .”。 因为他继续写道：“将 omn 简记为 $\int$ 将会更实用，因此 $\int{l}$ 表示 $\text{omn}. l$ 或者所有 l 的和”(同上)。因此，就这样引入了符号 $\int$ 。在 Leibniz 的年代，符号 $\int$ 是手搞(或斜体印刷)中字母 “s” 的形式之一：它是单词 “summa(sum)”(译注：求和)的第一个字母。在引入这个符号之后，它立即将 (2.4.3) 写成了新的形式：

(2.4.4) $\int xl = l\int {x} - \int\int {l}$ ；

他注意到

(2.4.5) $\int{x}=\frac{1}{2}x^{2}$ 和 $\int{x^{2}}=\frac{1}{3}x^{3}$ (译注：此处忽略常数项C )，

并且他强调这些法则适用于“项之差与项本身之比小于任何指定量的序列”(同上)，即差值无穷小的序列。

再往下几行，我们还发现引入了符号“d”，它表示微分。它出现在一个精彩的论证中，可以表述如下：求面积问题其实就是对序列求和的问题，我们为此引入了符号 “，”

并且我们想要为此阐述一种演算，一套实用的算法。对序列求和，即对于已的 y 求 $\int{y}$ 的通式，通常是不可能的，但对于已知序列求差，总能求得一个表达式。求差值是求和演算的倒数演算，因此，我们可以通过推导差值的倒数演算来深入了解求和演算。引用 Leibniz 自己的话(同上，第82页)：

“已知 $l$ 及其与 $x$ 的关系，求 $\int {l}$ 。可通过相反的积分求得，即，假设 $\int{l}=ya$ 。令 $l = ya/d$ ；则正如 $\int$ 将会递增那样， $d$ 也会减少维度。但 $\int$ 意味着和，而 $d$ 意味着差。根据已知的 $y$ ，我们总是可以求得 $y/d$ 或 $l$ ，即 $y$ 的差。”

因此，引入“ $d$ ”符号(或者更确切地说是“ $1/d$ ”符号)，是因为 Leibniz 在维度上解释 $\int$ ，他必须将 “ $d$ ” 写在分母上：是一条线 $l$ ， $\int{l}$ 是一个面积(比如 $ya$ )(注意“ $a$ ”的作用是使其成为一个面积),差值一定又是线，因为我们必须将其写成 “ $ya/d$ ”。事实上，他很快就意识到，这是一个符号上的缺点，而 $\int$ 和 $d$ 在维度上可解释的优势并不能弥补这一缺点，因此他很快就用 “ $d/ya$ ”代替' $ya/d$ '，并从此将 “d ” 和 “ $\int$ ” 重新解释为无维度符号。然而，对维度的考虑确实引导了选择新符号体系的决定性步骤。

在手稿的其余部分，Leibniz探索了他的新符号体系，将旧的结果转化为新的符号体系，并研究了∫ 和d的运算法则。在这些研究中，他一度坚持d(uv)必须等于dudv的思想，但最终他找到了正确的法则

(2.4.6) $d(uv) = udv + vdu$ 。

另一个问题是，他在很长一段时间内仍将 $\int{xdx}\;,\int{x^{2}dx}\;,\;...$ (这是他后来改进的记法)写成 $\int{x}\;,\int{x^{2}}\;,\;...$ 。

1675年11月11日之后，许多关于微积分的修正工作仍在进行中；Leibniz 花了大约两年时间才完成。尽管如此，我们讨论的这些手稿包含了新的 Leibniz 式微积分的基本特征：微分和求和(译注：积分)的概念，符号 $d$ 和 $\int$ ，它们的互逆关系，以及它们在公式中的大多数使用规则。

让我们简要总结一下 Leibniz 这些概念的主要特征(参见 Bos 1974a，第12-35页)。一个变量 y 的微分是其两个连续纵坐标值之间的无穷小差值。也就是说，Leibniz 设想了相应的变量序列，例如图 2.4.2 中的 y 和 x 。这些序列连续项无限接近。dy 是两个连续纵坐标 y 之间的无穷小差，dx 是两个连续横坐标 x 之间的无穷小差。像 $\int{ydx}$ 这样的和(后来被Bernoulli兄弟称为“积分(integral)”) 是无穷小矩形 $y \times dx$ 之和。因此，曲线的求面积等于 $\int{ydx}$ (译注：这里应该指的是定积分，忽略了上下限)。

-------------------------------图 2.4.2-----------------------------------

Leibniz不太愿意将他的新微积分理论公之于众。当他最终决定这样做时，他面临的问题是，他的微积分理论涉及无穷小量，而这些无穷小量没有严格的定义，因此在数学中不太被接受。因此，他做出了一个激进但相当不幸的决定，提出了一个截然不同的微分概念，这个概念虽然不是无穷小，但满足相同的规则。因此，他在1684年 10 月首次发表于《Acta》杂志上的微积分论文《求最大值、最小值和切线的新方法》(A new method for maxima and minima as well as tangents)(1684a)中，他引入了一段固定的有限线段(见图2.4.3)，称为 $dx$ ，并将 C 点的 $dy$ 定义为满足以下比率的线段，即满足比率

(2.4.7) $y : \sigma = dy : dx$ ,

其中，σ 是次切线的长度，或者

(2.4.8) $\displaystyle dy = \frac{y}{\sigma} dx$ 。

按照这样定义，dy 也是一条有限线段。

Leibniz 提出了这些微分的微积分法则，并指出了一些应用。在两年后 (1686a) 发表的一篇文章中，他指出了∫ 符号的含义和用法。这种发表新方法的方式不利于其在数学界迅速而有效地推广。尽管如此，这种微积分还是被接受了，正如我们将在以下章节中看到的那样。

----------------------------------图 2.4.3--------------------------------

2.5 l’Hôpital的微积分教材版本 (l’Hôpital's textbook version of the differential calculus)

Leibniz的出版物并没有提供通往其新微积分艺术的便捷途径，Bernoulli兄弟的早期文章也是如此。尽管如此，一篇优秀的导论(至少是微分学的导论)却出人意料地迅速出现，即l’Hôpital的《分析学》(Analyse)(1696a)。

正如一本优秀的教材一样，《分析学》从变量及其微分的定义开始，并阐述了关于这些微分的假设。微分的定义如下：“一个变量连续增加或减少的无穷小部分，称为该变量的微分”(第一章)。为了进一步解释，l’Hôpital 引用了一张图(图 2.5.1)，其中，关于曲线 AMB，图中涉及的变量标识为：横坐标 AP = x ，纵坐标 PM = y，弦 AM = z, 弧 $\overset{\frown}{AM}=s$ ，以及所求面积 $\overset{\frown}{AM}P=\mathcal{Z}$ 。绘制第二个“无限接近”PM 的纵坐标 pm ，而所看到的这些变量的微分为：dx = Pp, dy = mR , dz = Sm, ds = Mm (弦Mm 和弧 Mm 视为重叠) 且 d𝒵 = MPpm 。l’Hôpital 解释道，“ $d$ ” 是一个特殊符号，仅用于表示记于其后的变量之微分。图中的小直线 Pp，mR ，… 必须视为“无穷小量”。他并没有回答是否这样的变量存在的问题，但是他在两个公设(postulates)中指出了它们的表现：

“公设一：假设两个量之差为无穷小，则可以无差别地互用；或者(这是同一件事)一个量，如果办增加或减少一个更小的量，则可以被认为保持不变。”

这意味着 AP 可以视为等于 Ap (或 x = x + dx )， MP 等于 mp (或 y = y + dy)，等等。

----------------------------------图 2.5.1-------------------------------------

第二公设断言，一条曲线可以看作是无数条无穷小直线的集合，或者等效地，看作具有无限多条边的折线(polygon)。第一条公设使 l’Hôpital 推导出了积分法则，例如，

(2.5.1)

$\begin{array}{rlc} d(xy)\!\! &= (x + dx)(y + dy) - xy \\ \\ &= xdy + ydx + dxdy \\ \\ &= xdy + ydx \end{array}$ 。

“因为相对于其它项 ydx 和 xdy 而言 dxdy 是一个无穷小量：因为若(比如)你将 ydx 和 dxdy 除以 dx ，你将得到商 y 和 dy ，后者比前者来说是无穷小”(同上，第1章第1节。) l’Hôpital 的微分概念略异于 Leibniz 。Leibniz的微分是变量连续值之间的无穷小差值。而 l’Hôpital 并不认为变量是一系列无限接近的值，而是连续增加或减少；微分是它们增加或减少的无限小的部分。

在后续章节中，l’Hôpital 解释了微分在曲线几何中的各种应用：切线、极值和曲率半径的确定，焦散线(caustics)、包络线(envelopes)以及曲线中各种奇点(singularities)的研究。关于切线的确定，他指出，公设2意味着图2.5.2中曲线的无穷小部分Mm 延长后，可以得到切线。因此，Rm:RM 或 dy:dx 等于 y:PT ，因此 PT = y(dx/dy) ，且一旦我们确定了 y(dx/dy) ，就可以构造切线(同上：第 2 章第 9 节)：

“现在，通过已知方程的差分(difference)，您可以获得 dx 的值，其项均包含 dy，如果你乘以 y 并除以 dy，你将获得完全由已知量表示的、无差异的次切线 PT 的表达式，这将使你能够绘制所需的切线 MT 。”

为解释这段话，我们考虑(例如)曲线 $ay^{2}=x^{3}$ 。“方程的差分”可通过对方程左右取微分而得到：

(2.5.2) $2aydy = 3x^{2}dx$ 。

现在可以根据 dy 来描述 dx :

(2.5.3) $\displaystyle dx = \frac{2ay}{3x^{2} }dy$ 。

因此

(2.5.4) $\displaystyle PT = y\frac{dx}{dy} = y\frac{2ay}{3x^{2}} = \frac{2ay^{2}}{3x^{2}}$ ，

这提供了切线构造法。

---------------------------------图 2.5.2-----------------------------------

“方程的差分”是一个真正的微分方程，即微分之间的方程。l’Hôpital认为，像“dy/dx”这样的表达式实际上是微分的商，而不是导数的单一符号。

2.6 Johann Bernoulli的积分讲座(Johann Bernoulli's lectures on integration)

在1742年(即在这些文字被写下五十多年后)，Johann Bernoulli在他的文集(Bernoulli 1691a)中发表了对 l’Hôpital 讲授的关于“积分方法”的讲座，并且他在脚注中指出，他在书中省略了关于微积分的讲座(译注：大概是文集中省去了已广为人知的这部分内容，而直接讲授其它相关内容)，因为这些内容现在在 l’Hôpital 的《分析学》中已经广为人知。他的讲座可以视为是：对1700年左右流行的关于积分及其在解决问题中的应用之观点的良好总结。

Bernoulli首先将积分定义为微分的逆：微分的积分是通过微分而产生的那些量。这种积分的概念——事实上，这个术语是由 Bernoulli 兄弟引入的——与Leibniz的观点不同，Leibniz认为积分是无穷小量的和。因此，在 Leibniz 看来， $\int{ydx}=\mathcal{Z}$ ，意味着无穷小矩形 $y \times dx$ 之和等于 𝒵 ；而对Bernoulli来说，它意味着 d𝒵 = ydx 。

Bernoulli 指出， $ax^{p}dx$ 的积分是 $(a/(p+1))x^{p+1})$

，并且他给出了求解积分的各种实用方法；其中之一是代换法，通过以下几个例子进行解释(1691a，讲座)：

“ 假设要求积分函数

$(ax + xx)dx \sqrt{(a+x)}$ 。

作代换 $\sqrt{a+x} = y$ ，我们将得到 x = yy – a ，因此，dx = 2ydy ，而整个量为

$(ax + xx)dx \sqrt{a+x} = 2y^{6}dy-2ay^{4}dy$ 。

不难直接积分此表达式；其积分是 $\frac{2}{7} y^{7} - \frac{2}{5}ay^{5}$ ，且代换掉 y 之后，我们求得积分为 $\frac{2}{7}(x+a)^{3}\sqrt{x+a} - \frac{2}{5}a(x+a)^{2}\sqrt{x+a}$ 。”

Bernoulli继续解释说，积分计算(integral calculus)的主要用途是求面积的平方。为此，必须将面积视为划分为无限小的部分(如图2.6.1所示的条带、三角形或四边形)。这些部分就是面积的微分；必须“通过确定的字母和唯一的一种不确定的字母”来求得它们的表达式(同上，第二讲)，即关于某个变量 u 的表达式 $f(u)du$ 。则所求的面积等于积分 $\int{f(u)du}$ 。

---------------------------------图 2.6.1----------------------------------

积分法的进一步应用是所谓的“逆切线法”(同上，第8讲)。这种方法(或者更确切地说，Bernoulli在此提到的问题类型)起源于17世纪；它涉及根据曲线切线的给定性质来确定曲线。他指出，切线的已知性质必须表示为一个包含微分的方程，即微分方程。从这个微分方程出发，必须利用积分法求得曲线本身的方程。他的第一个例子是(同上，第8讲；见图2.6.2)：

---------------------------------图 2.6.2----------------------------------

问题是，如果曲线 AB 的纵坐标 BD 总是等于给定直线 E 和切线 CD 的中点(即 E: BD = BD:CD)，那么它是什么样的曲线？令 E = a ，AD = x ，DB = y，则 CD = yy : a 。此时 dy:dx = y : CD = yy/a(即 CD = yy/a)；因此得到方程 ydx = yydy:a 或 adx = ydy ；对两边积分后，得到 $ax=\frac{1}{2}yy$ 或 2ax = yy；由此可见，所求曲线 AB 为参数为 2a 的抛物线。

在后续讲座中，Bernoulli解答了许多反正切问题。他投入了大量精力研究如何将问题的几何数据(通常为力学数据)转化为可处理的微分方程。他讲座中讨论的问题涉及曲线的校正(弧长的计算)、摆线(spirals)、对数螺线(cycloids)、焦散线(caustics)(光线在曲面上反射或折射时产生的线性焦点)、悬链线(catenary)(参见下文2.8节)以及被风吹动的船帆(sails)的形状等。

2.7 Euler对分析学的塑造 (Johann Euler's shaping of analysis)

在首批关于微积分的文章发表后的大约50年里，Leibniz微积分从一组松散的曲线问题方法发展成为一门连贯的数学学科：分析学。尽管许多数学家，例如，Jean le Rond d'Alembert ，Alexis Clairaut，Bernoulli家族的年轻一代等等，都为这一发展做出了贡献，但在很大程度上，它归功于一个人：Leonhard Euler。Euler不仅为分析学贡献了许多新发现和新方法，而且还通过他在2.1节中提到的三本伟大教科书，统一并规范了这一领域。

将分析塑造成一门连贯的数学分支学科，首先意味着要明确该学科的内涵。在Leibniz、老Bernoulli和 l’Hôpital时期，微积分由解决曲线问题的解析方法组成；其主要研究对象是这些问题中出现的几何变量。然而，随着问题变得越来越复杂，公式运算也越来越复杂，变量的几何起源也变得越来越遥远，微积分也就变成了一门仅仅涉及公式的学科。Euler强调了这一转变，他明确指出分析学是数学的一个分支，它研究解析表达式，尤其是函数的解析表达式。他(沿袭 Johann Bernoulli)对函数的定义如下：“一个变量的函数是一个解析表达式，它以该变量，数和常数以任何方式构成”(1748a，第1卷，第4段)。像 $x^{n}$ ， $(b+x)^{2}ax$ (其中，a 和 b 是常数)这样的表达式是 x 的函数。一般代数表达式，以及无穷级数，都视为函数。常数和变量可以是虚数或复数。

Euler在其《无穷分析导论》(Introduction to the analysis of infinites)(1748a)的第一部分中(译注：以下简称《导论》)，对这一广泛的函数领域进行了归类和整理。这部导论旨在概述分析学和解析几何中的概念和方法，为微积分的学习奠定基础。他巧妙地运用了这一概述，尽可能多地介绍了分析知识，而无需使用微分或积分。特别是，他引入了初等超越函数(transcendental functions)，对数，指数函数，三角函数及其逆函数，而无需借助积分——这绝非易事，因为对数传统上与双曲线的求积有关，而三角函数则与圆的弧长有关。(译注：文中是指 Euler 将这些内容引入分析学，但并不是说这些内容是 Euler 创立，对数是 Napier 创立的，不过将对数与指数的关系关联起来的却是Euler 。)

Euler在《导论》中不得不运用某种无穷小过程，即函数的幂级数展开(通过长除法，二项式展开或其他方法)，并在公式中代入无穷大或无穷小的数。这种方法的一个典型例子是 $a^{z}$ 的级数展开式的推导(1748a，第 1 卷，第 114-116 段)，他按如下方式进行。令 a > 1 ，且令 ω 为一个 “无穷小数，或者一个小到刚好不为零的分数”。则

(2.7.1) $a^\omega = 1 + \psi$ (对于某个无穷小的数 ψ ) 。

现在置

(2.7.2) $\psi = k\omega$ (其中 k 仅取决于 a )；则

(2.7.3) $a^{\omega} = 1 + k\omega$

和

(2.7.4) $\omega = \log{(1+k\omega)}$ ( 若对数以 a 为基 )。

Euler 证明，对于 a = 10 ，k 的可以(近似地)从公共对数表求得。这时他记为

(2.7.5) $a^{i\omega} = (1 + k\omega )^{i}$ (对于任意(实)数)，

因此，根据二项式展开式，有

(2.7.6) $\displaystyle a^{i}\omega = 1 +\frac{i}{1} k\omega + \frac{i(i-1)}{1.2} k^{2}\omega^{2} + \frac{i(i-1)(i-2)}{1.2.3}{} k^{3}\omega^{3} + ...$ 。

若 z 是任意有限正整数，则 i = z/w 是无穷大量，且将代换 w = z/i 代入 (2.7.6) 得到

(2.7.7) $\displaystyle a^{z} = a^{i\omega} = 1 + \frac{1}{1}kz + \frac{1(i-1)}{1.2i}k^{2} z^{2} + \frac{1(i-1)(i-2)}{1.2i.3i}k^{3}z^{3} + ...$ 。

但若 i 是无穷大，(i - 1)/ i = 1 ，(i - 2)/i = 1 ，如此等等，则我们得到

(2.7.8) $\displaystyle a^{z} = 1 + \frac{kz}{1} +\frac{k^{2}z^{2}}{1.2} + \frac{k^{3} z^{3}}{1.2.3} +\frac{k^{4}z^{4}}{1.2.3.4} + ...$ 。

若 a 的选择使得 k = 1 ，就出现了自然对数(natural logarithms)，Euler 给出了 a 的直至 23 位小数的值，并为此数引入了现在所熟悉的符号 e ，并记为(同上，第 123 节)：

(2.7.9) $\displaystyle e^{z} = 1 + \frac{z}{1} +\frac{z^{2}}{1.2} + \frac{z^{3}}{1.2.3} +\frac{z^{4}}{1.2.3.4} + ...$ 。

(译注：自然对数是由多位数学家先后努力发现的，Euler 将其用字母 e表示，并对其性质做了进一步的研究。)

在下一章中 Euler 处理了三角函数。他写下各种求和公式并相加：“ 因为 $(\sin{.z})^{2} +(\cos{.z})^{2}= 1$ , 根据因式分解，我们有 $(\cos{.z}+\sqrt{-1}.\sin{.z})(\cos{.z}-\sqrt{-1}.\sin{.z})$ ，这些因式虽然是虚数，但在比较和乘以弧时却非常有用”(同上，第 132 节)。他进一步求得

(2.7.10)

$\begin{array}{rlc} (\cos{y} \pm \sqrt{-1}.\sin{y})(\cos{z}\pm \sqrt{-1}.\sin{z}) \\ \\ =\cos{(y+z)} \pm \sqrt{-1}.\sin{(y+z)} \end{array}$

因此

(2.7.11) $(\cos{z} \pm \sqrt{-1}.\sin{z})^{n}=\cos{nz} \pm \sqrt{-1}.\sin{nz}$ ，

这种关系通常称为“de Moivre公式”, 因为它最先出现在Abraham de Moivre的作品中(见 Schneider 1968a ，第 237-247页 )。

通过展开 (2.7.11)，Euler得到了 $\cos{nz}$ 和 $\sin{nz}$ 的表达式。现在取 z 无穷小(因此 $\sin{z}=0$ 且 $\cos{z}=1$ )，nz = v 有限，因此 n 无穷大，他通过类似于上述的方法，

得出

(2.7.12) $\displaystyle \cos{v} = 1 - \frac{v^{2}}{1.2} + \frac{v^{4}}{1.2.3.4} - \frac{v^{6}}{1.2.3.4.5.6} + \dots$ ，

(2.7.13) $\displaystyle \sin{v} = v - \frac{v^{3}}{1.2.3} + \frac{v^{5}}{1.2.3.4.5} - \frac{v^{7}}{1.2.3.4.5.6.7} + \dots$ ，

(同上，第 134 节)。在后面的几段中(第138条)，我们发现，通过类似的方法，得出了以下恒等式：

(2.7.14) $\exp(\pm v\sqrt{-1}) = \cos{v} + \sqrt{-1}. \sin{v}$ ，

(2.7.15) $\cos{v}=\frac{1}{2}(\exp[v\sqrt{-1}]+\exp[-v\sqrt{-1}])$ ，

(2.7.15) $\sin{v}=\frac{1}{2\sqrt{-1}}(\exp[v\sqrt{-1}]-\exp[-v\sqrt{-1}])$ 。

Euler的《微积分教科书》(1755b)以两章有限差分的微积分开篇，随后引入了微积分，将其视为无穷小差分的微积分，从而回归到一种更接近Leibniz而非 l’Hôpital 的概念：“无穷分析……只不过是第一章阐述的差分法的一个特例，当无穷小的时候，这种特例发生，这在先前被认为是有限的差分”(1755b，第114段)。他认为无穷小量实际上等于零，但可以具有有限比；根据他的说法，等式0.n = 0意味着0/0在某些情况下可能等于n。

微积分研究的是这种零点比的值。Euler 进一步讨论了单变量或多变量函数的微分、高阶微分和微分方程。他还得到了等式

(2.7.17) $\displaystyle \frac{\partial^{2}V}{\partial{x}\partial{y}}=\frac{\partial^{2}V}{\partial{y}\partial{x}}$ ( 对于 x 和 y 的一个函数V )

(尽管没有使用这种符号，也没有获得完全严格的证明；1755b 及第 288 段及后续段落)。

在他的高阶微分的讨论中，Euler赋予微分系数 p ，q ，r，... 重要的地位，对于一个函数 $y = f (x)$ , 它们的关系定义如下：

(2.7.18) $dy = pdx$ ，

( 其中 p 是系数，为了获得 dy 用其乘以常量 dx ，因此 p 同样是 x 的一个函数)；类似地，

(2.7.19) $dp = qdx$ ( 因此， $ddy = q(dx)^{2}$ )，

(2.7.20) $dq = rdx$ ( 因此， $dddy = q(dx)^{3}$ )，… 。

这些微分系数虽然定义不同，但都等于函数 f 的一阶和高阶导数。在他的微积分教科书中，他用这些微分系数来处理高阶微分方程，从而在一定程度上为用导数取代微分作为微积分的基本概念铺平了道路。

三卷本的《微积分教程》(Textbooks on the integral calculus)(1768-1770a)为教科书的三部曲画上了圆满的句号。本书几乎完整地讨论了代数函数和初等超越函数的函数积分，讨论了各种定积分(包括现在称为β函数和γ函数的积分)，并给出了一系列求解常微分方程和偏微分方程的方法。

除了通过这些教科书确定了至少在接下来的五十年里分析的范围和风格之外，Euler还在许多其他方面对无穷小微积分做出了贡献。其中两项贡献值得特别强调。首先，他对变分法(variations)进行了透彻的论述，而变分法的起源可以追溯到Bernoulli对最捷线和等周问题的研究(见下文2.8节)。其次，他将分析应用于力学、天体力学、流体力学以及许多其他自然科学分支的研究，并确实发展出了许多新的分析方法，从而将这些学科转化为高度数学化的形式。在下一节中，我将分别描述上述每一种方法的一个例子。

2.8 两个著名问题：悬链线和捷线 (Two famous problems : the catenary and the brachistochrone)

在撰写微积分史时，人们通常会将大量注意力放在基本概念和方法上。这往往会掩盖一个事实：大多数数学家的大部分时间并非花在思考这些概念和方法上，而是花在运用它们解决问题上。事实上，在18世纪，“数学(mathematics)”一词的含义远不止微积分和分析，因为它涵盖了从算术、代数和分析到天文学、光学、力学、流体力学，再到火炮、造船和航海等技术学科。在本节中，我将讨论两个著名的问题，它们的求解得益于微积分和积分的新方法；在下一节中，我将讨论这些方法还带来了哪些新的成果。

2.8.1 悬链线问题

悬链线是一种悬挂的、完全柔性的绳索或链条(其名称源于 catena，意为“链条(chain)”)悬挂在两点上(见图 2.8.1)。对悬链线的兴趣始于Galileo，他认为其是一条抛物线。年轻的 Christiaan Huygens 于 1646 年证明这并非事实。悬链线的实际形状一直是个悬而未决的问题，直到 1691 年，Leibniz ，Johann Bernoulli和当时年纪大得多的Huygens将这个问题的解法提交给了Acta数学家协会(Jacbo Bernoulli，1690a，Johann Bernoulli，1691b，Huygens，1691a，Leibniz，1691a）。而前一年，Jacbo Bernoulli曾向数学家们提出过挑战，要求他们解答这个问题。发表的解法并未揭示其中的方法，但通过后来出版的手稿，这些方法才得以为人所知。Huygens以精湛的技艺运用了当时已是经典的17世纪无穷小数学方法，他竭尽全力才得到令人满意的解。Leibniz和Bernoulli运用新微积分，以一种更直接的方式求到了解。事实上，悬链线是曲线研究中新旧流派之间的一个试验案例，只是因为旧流派的拥护者是像Huygens这样的巨人，这个试验案例才正式被认为是平局。

-------------------------------------图 2.8.1--------------------------------

Johann Bernoulli在其 1691a 年著作的第12讲和第36讲中对其解法进行了简要概述，或许能帮助我们理解这一新方法是如何应用的。在图2.8.2中，令AB 为悬链线的一部分。

他运用力学原理推断出，在B点和A点施加的用于保持悬链线AB部分位置的力 $F_{0}$ 和 $F_{1}$ ，与将悬链线AB 的重量P 悬挂在E点(图中所示，AE 和BE 为无重物)上所需的力相同(在方向和量上)。AE和BE与曲线相切。此外，在 B 处的力 $F_{0}$ 和 A 沿链的位置选择无关； $F_{0} = A$ 是一个常量；根据力的组合我们有

(2.8.1) $P :F_{0} = s:a = dx:dy$ 。

因此

(2.8.2) $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{a}{s}$ 。

------------------------------------图 2.8.2----------------------------------

这是曲线的微分方程，尽管形式相当复杂，因为 x 和 y 隐含在弧长 s 中。通过巧妙的运算，Bernoulli得到了等效的微分方程

(2.8.3) $\displaystyle dy = \frac{adx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ 。

我不会在这里详细阐述他的论证，但可以通过逆向推导并根据 (2.8.3) 计算 ds 来看出其等价性：

(2.8.4) $\displaystyle ds = \sqrt{dy^{2}+dx^{2}} = \sqrt{\left (\frac{a^{2}}{x^{2}-a^{2}}+1\right )}dx = \frac{xdx}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$ 。

因此，通过积分得到

(2.8.5) $\displaystyle s = \int{\frac{xdx}{\sqrt{x^{2}-a^{2} }{}}} = \sqrt{x^{2}-a^{2}} = a\frac{dx}{dy}$ 。

再通过变量代换 $x \longrightarrow x + a$ Bernoulli 将 (2.8.3) 简化为

(2.8.6) $\displaystyle dy=\frac{adx}{\sqrt{x^{2}+2ax}}$ 。

需要进行这种代换才能将原点移到 B 。在微分方程 (2.8.6) 中，变量是分离的，因此其解为

(2.8.7) $\displaystyle y=\int{\frac{adx}{\sqrt{x^{2}+2ax}}}$ ，

剩下的问题就是求出右边的含义。当时，也就是在17世纪90年代初，Bernoulli还没有求得对数函数的解析形式来表达积分，就像我们现在这样(即，形如 $a\log{(a+x+\sqrt{x^{2}+2ax}\;)}$ )。相反，他给出了积分的几何解释，即曲线求面积。他指出，这个积分表示曲线

(2.8.8) $\displaystyle z=\frac{adx}{\sqrt{x^{2}+2ax}}$ ，

下的面积。但他也(通过变换，我们同样不会详细阐述)将积分解释为某条双曲线下的面积，甚至解释为抛物线的弧长。通过后两种解释，或者说，这种解释积分的方法称为“构造(constructions)”，他证明了悬链线的形状取决于双曲线的所求面积(我们也可以这么说：它只涉及超越函数，即对数)，而通过这一证明，这个问题按照17 世纪末的标准得到了充分解决。

2.8.2 捷线问题(捷线，即最速降线)

如果一个物体在重力作用下沿路径 y 运动，且无摩擦力或空气阻力(见图 2.8.3)，那么它从静止开始，从 A 点移动到 B 点需要一定的时间，比如 $T_{\gamma}$ 。 $T_{\gamma}$ 取决于 γ 的形式。捷线(字面意思：最短时间)是从 A 到 B 的 $T_{\gamma}$ 最小的曲线 $\gamma_{0}$ 。很容易看出，从 A 到 B 沿直线下落所需的时间并非最短，因此存在一个问题：确定捷线。

----------------------------------图 2.8.3------------------------------------

这个问题由 Johann Bernoulli 在1696年6月的《Bernoulli 学报》(Acta)(Bernoulli 1696a)中公开提出，后来又在另一本小册子中提出。几份解决方案出现在《Bernoulli学报》中，并于1697年5月发表(Johann Bernoulli 1697a，l’Hôpital 1697a，Leibniz 1697a 和Newton 1697a；参见 Hofmann 1956a，第35-36页)。Bernoulli自己的解决方案运用了类比论证：他发现这个问题可以归结为光线穿过介质的折射问题，该介质的密度(因此折射率)仅是高度的函数。Leibniz和Jacbo Bernoulli 首先考虑了两条连续直线段(见图2.8.4)，使得从P 到 Q 的 $T_{\gamma}$ 最小。这是一个依赖于一个变量的极值问题，因此可解。他们将这个问题扩展到三条连续的直线段，并将它们视为无穷小，得到了一个曲线的微分方程，并进行了求解。他们发现，捷线是一条通过A和B点的摆线(参见1.8节)，其垂直切线位于A点。Newton也得出了这个结论。

-----------------------------------图 2.8.4------------------------------------

捷线问题在数学史上意义重大，因为它是变分法的一个实例。它是一个极值问题，但其中寻求极值的量 ( $T_{\gamma}$ ) 并不取决于一个或有限个独立变量，而是取决于曲线的形状。

Jacbo Bernoulli在解决捷线问题后，提出了更多此类问题，即所谓的等周问题(isoperimetric problems)。在捷线问题中，所考虑的曲线类型包括通过A和B的曲线。等周问题考虑的是具有规定长度的曲线。例如，可以求出通过A和B且长度为l的曲线，该曲线与线段AB构成最大面积(见图2.8.5)。Jacbo Bernoulli 在寻找解决此类问题的方法方面取得了很大进展。Euler在其1744a年的论文中统一并概括了这些方法，从而将它们塑造成一个独立的分析分支。Lagrange在其1762a年的论文中为该学科的进一步发展做出了贡献，他引入了变分(variations)的概念，这门学科的现在名称——变分法(the calculus of variatons)——就源于此。有关其历史，请特别参阅 Woodhouse 1810a 和 Todhunter 1861a。

--------------------------------图 2.8.5---------------------------------

2.9 理性力学 (Rational mechanics)

悬链线问题和捷线问题是两个利用新方法得以解决的问题。这类问题还有很多，其根源也多种多样。对简单力学过程的直接观察，启发了以下问题：弹性梁(an elastic beam)在拉力作用下的形态(form)问题，振动弦(vibrating string)的问题(Taylor，Daniel Bernoulli ，d'Alembert，Euler 等人对此进行了研究；参见3.3节)以及被风吹动的帆的形态问题(Bernoulli兄弟在17世纪90年代初对此进行了讨论)。

更具技术含量的构造促使人们研究钟摆运动(pendulum motion)(Huygens首创),抛射体(projectiles)路径以及水在管道中的流动。天文学和哲学促使人们将天体运动作为数学研究的对象。数学本身也催生出各种问题：特殊微分方程推广问题，积分分类(例如椭圆积分)等等。某些类型的问题开始迅速形成具有统一数学方法的自洽领域(coherent fields)：变分法(the calculus of variations)，天体力学(celestial mechanics)，流体(动)力学(hydrodynamics)以及一般力学。稍后，概率论(Jacob Bernoulli 就此撰写了基础论文《猜想的艺术》(Ars conjectandi)，在他逝后出版，编号为1713a)也加入了这组数学化的科学或数学分支领域。

这里有必要多谈一谈力学的新分支(当时称之为“理性力学(rational mechanics)”，以区别于机械力学(machines))，它在18世纪获得了如今人们所熟知的数学化形式。Newton在其著作《自然哲学的数学原理》(译注，下面简称《数学原理》)(Philosophiae naturalis principia mathematica)(1687a)中奠定了这种数学化的基础。在书中，他阐述了Newton运动定律，并证明了引力与距离的平方成反比的假设，不仅能恰当地描述行星的运动，还能描述地球上下落和抛射物体的运动。除了其他许多成果外，他还在此详细论述了两个物体在相互引力作用下的运动，提出了关于“三体问题(three body problem)”的几个重要结果，并提出了关于阻力介质中抛射体运动的理论。然而，在《数学原理》之后，这些主题的数学化仍有许多工作要做。尽管Newton在《数学原理》中充分利用了他的新无穷小方法，但他发现并呈现其结果的方式却带有强烈的几何风格。因此，尽管他隐式地建立并求解了许多微分方程，无论是精确解还是通过级数展开近似解，但在《数学原理》中，我们很少发现它们以公式的形式写出。他的运动定律也没有以基本微分方程的形式表达出来使其成为力学研究的起点。

18世纪上半叶，在Jacbo Bernoulli，Johann Bernoulli和 Daniel Bernoulli，d'Alembert，Clairaut和Euler等人的努力下，这类研究的风格进一步数学化——即将方法转化为解析方法——并通过以数学公式(尤其是微分方程)表达的基本定律得以统一。其他领域也以这种方式展开，例如弹性体力学(mechanics of elastic bodies)( Johann Bernoulli于1694年发表了一篇关于该领域的奠基性论文)和流体动力学，Johann Bernoulli父子和Daniel Bernoulli父子分别撰写了关于该领域的早期论文(分别是1743a和1738a)。

伟大的分析力学(analytic mechanics)教科书，例如Euler的《力学》(Mechanica)(1736a), d'Alembert的《力学》(1743a)和Lagrange的《力学》(1788a)，都展现了力学逐渐数学化的过程。尽管Euler的《力学》具有很强的解析性，但Newton定律以微分方程(现称为“Newton方程”)的形式表述，却直到1752年在发表的一篇关于Euler的研究论文(参见Truesdell 1960a)中才首次出现。这些理性力学的分支学科非常抽象，研究的是高度简化的现实模型。因此，其研究成果的适用性往往不如人们所期望的那样。这些研究为自然科学发展了许多新的数学方法和理论框架，这些方法和框架直到很久以后才在更广泛的领域中得到证实。然而，人们对这些研究问题的兴趣并非完全源于自身。因此，火炮的射弹启发了人们对阻力介质中运动的研究；而Newton，Euler等许多人则研究了三体问题，特别是与月球在地球和太阳影响下的运动相关的问题。这一天文现象对航海至关重要，因为准确的月相表可以解决确定船舶在海上位置的问题(即所谓的“纵向问题”)。事实上，Euler对这个问题的理论研究，加上Johann Tobias Mayer的实用天文学知识，在十八世纪六十年代为航海事业提供了第一批足够精确的月相表，从而为确定海上位置提供了一种足够可靠的方法。

流体动力学的核心问题是流体从容器开口流出的问题，以及地球形状的问题。地球形状问题不仅具有哲学意义，也具有实践意义，因为Cartesian哲学预测地球的形状是沿轴线拉长的，而Newton哲学则认为地球是一个流体，受自身引力和自转离心力的影响，因此得出结论，地球在两极应该是扁平的。实际上，为了根据天文测定的地理经纬度计算实际距离，必须知道地球表面与精确球形的偏差。曾有多次探险活动，在地球不同地区测量子午线的一度偏差，这些探险的发现最终证实了Newton的观点。

2.10 未决问题 (What was left unsolved : the foundational questions)

整个18世纪未决问题是微积分的基础问题。这个问题的存在是众所周知的，考虑到微积分的基本概念——微分，人们声称它具有多么明显自相矛盾的性质，这一点也就不足为奇了。根据l’Hôpital的第一公设，微分可以增加一个量而不增加它本身。然而，这个公设对于推导微积分规则是必要的，因为对于常微分，必须舍弃高阶微分(或微分的幂或乘积)，同样，对于有限量，也必须舍弃常微分(参见(2.5.1))。此外，当 Bernoulli 取面积𝒵 的微分等于ydx时，他舍弃了带域顶部的小三角形(如图2.5.2中的MmR)，因为它相对于ydx是无限小的。因此，微分具有必然性，但显然是自相矛盾的性质。这引出了自Leibniz 以来许多数学家所观察到的微积分的基本问题：

常见问题1(FQ1)：无穷小量真实存在吗？

大多数Leibniz微积分的实践者都以某种方式确信问题 1 的答案是“是”，因此他们认为微积分规则已得到充分证明。然而，还有一种更复杂的方法来看待这个问题，例如Leibniz本人就采用了这种方法(参见 Bos 1974a, 第53-66页)。他对无穷小量的存在存有疑虑，因此他试图证明，通过将微分用作可能毫无意义的符号，并应用微积分规则，就能得到正确的结果。因此，他的基本问题是：

常见问题2：在微积分中使用无穷小量可靠吗？他没有得到满意的答案。

在Newton的流数微积分(参见2.2节)中，也存在一个基本问题。Newton声称他的微积分与无穷小量无关。他的基本概念是流数，即变量的变化速度，可以认为该速度随时间增加或减少。在流数微积分的实际应用中，流数本身并不重要(事实上它们是不确定的)，重要的是它们的比率。因此，曲线的正切可以通过以下论证来求得：纵坐标与次切线的比值等于纵坐标和横坐标的流数之比 ${y}/{\sigma}=\dot{y}/\dot{x}$ ( $\dot{y}$ 是 y 的流数， $\dot{x}$ 是 x 的流数；参见图 2.10.1)。

-----------------------------图 2.10.1-----------------------------------

他解释说，流数 $\dot{y}/\dot{x}$ 的比值等于 y 和 x 的增项或减项的“素数”或“终极”比率(参见 Newton 1693a； $W\!orks_{2}$ ，第1 卷，第141页)。也就是说，他设想了相应的 x 的增量 Bb 和 y 的增量 Ec，并考虑了 Ec/CE 的比率，其中 Ec 和 CE 都趋向于 0 或都从 0 开始递增。在第一种情况下，他谈论的是它们的终极比率，即它们恰好在归零或归无时所具有的比率；在后一种情况下，他谈论的是它们的素数比率，即它们从零或归无开始产生时所具有的比率。比率 $\dot{y}/\dot{x}$ 恰好等于这个渐逝增项的终极比率，或者等价于这个“新生(nascent)”增项的素数比率。

显然，这个论证中隐含着一个极限概念，但同样明显的是，目前的表述方式仍有疑点。因为只要增加项(augments)存在，它们的比率就不是它们的终极比率，而当它们不复存在时，它们就没有比率了。所以，这里也有一个基础问题，即：

常见问题3：素数或终极比率存在吗？

2.11 Berkeley对微积分基础的批判(Berkeley's fundamental critique of the calculus)

在18世纪早期，大多数研究微积分技术的数学家并不太关心基础问题。事实上，值得注意的是，关于微积分基础的首次深入讨论并非源于在推导或应用新技术时遇到的困难，而源于一位局外人的批判，批评数学家们自诩他们的科学建立在稳固的基础之上，因此能够获得真理。这位局外人就是著名哲学家George Berkeley主教(Bishop)，他批评的对象在其1734a的论文标题中明确指出：“《分析家；或一篇致一位异教徒数学家的演讲》，其中探讨了现代分析的对象、原则和推论是否比宗教奥秘和信仰要点更清晰地构思或更明显地推导出来(The Analyst; or a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician Wherein It Is Examined Whether the Object, Principles, and Inferences of the Modern Analysis are More Distinctly Conceived, or More Evidently Deduced, than Religious Mysteries and Points of Faith)”。

正如我们所见，Berkeley的确有道理。他用尖锐而引人入胜的语言，揭示了无穷小量，渐逝增量及其比率，高阶微分和高阶流数的模糊性(1734a，第4段)：

“正如我们的感官在感知极其微小的物体时会感到紧张和困惑，同样，我们源于感官的想象力，也同样难以清晰地构建关于时间中最小粒子或其中产生的最小增量的理念：更难以理解那些瞬间，或那些处于新生状态的流动量的增量，即它们在成为有限粒子之前的最初起源或开始存在的状态。而要想象这些新生的、不完美实体的抽象速度，似乎更加困难。但如果我没记错的话，这些速度的速度，第二、第三、第四和第五个速度等等，已经超越了所有人类的理解力。心灵越深入分析和追寻这些转瞬即逝的理念，就越迷失和困惑；那些物体，起初转瞬即逝、微小，很快就会消失得无影无踪。当然，在任何意义上，第二或第三流数似乎都是一个晦涩难懂的谜。初生速度的初生速度，初生增量的初生增量，即没有量级的事物：无论你从何种角度看待它，如果我没有误解，清晰的概念都将被发现不可能，无论是否如此，我都呼吁每一位有思想的读者去尝试。如果第二流数都不可想象，那么我们该如何看待第三、第四、第五流数，以此类推，永无止境？”

接下来是《分析家》最著名的引言：“这些流数是什么？这些渐逝增量的速度是什么？这些相同的渐逝增量又是什么？它们既不是有限的量，也不是无限小的量，更不是虚无。我们能不能称它们为逝去量的幽灵？”(第35段)。Berkeley还批评了处理小增量的逻辑矛盾，首先为了除以它们，假设它们不等于零；最后为了去除它们，又假设它们等于零。

Berkeley当然知道，尽管微积分的基本概念并不清晰，但它却能成功地得出正确的结论。他将这种成功解释为——这种成功使数学家们相信其科学的确定性——是由于微积分规则应用中隐含的错误补偿。例如，如果要确定一条正切，首先要假设其特征三角形与纵坐标、次正切和正切构成的三角形相似，但这会产生一个错误，因为这些三角形只是近似相似。随后，应用微积分规则来求比率 dy/dx，这又会产生一个错误，因为规则是通过舍弃高阶微分而推导出来的。这两个错误相互抵消，因此数学家们“虽然没有达到科学，但达到了真理。因为，当你蒙着眼睛前进，却不知道如何或通过什么手段到达真理时，这不能被称为科学”(1734a，第22段)。

2.12 极限及其他解决基础问题的尝试(Limits and other attempts to solve the foundational questions)

Berkeley的批判引发了一场关于微积分基础的旷日持久的争论。在提及这场争论中的一些论点之前，不妨回顾一下现代微积分是如何解决这个基础问题的。现代微积分关注函数，并且将函数 $f$ 与其导数 $f^{'}$ 关联起来，而导数也是一个函数，它通过极限的概念定义：

(2.12.1) $\displaystyle f^{'}(x) \underset{\text{Df}}{=} \lim_{h\rightarrow 0}{\left ( \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right )}$ 。

这一方法的初步构想是在18和19世纪制定的；它们在当时采用的各种解决基础问题的方法中发挥了不同的作用。列出这些初步构想是有启发的。它们是：

(1) 微积分关注的是函数(而非变量)；

(2) 选择导数(derivative)作为微分学的基本概念(而非微分)；

(3) 将导数视为函数；以及

(4) 提出极限的概念，特别是当明确指出自变量的行为时的函数极限(例发中，明确地表示为 $\lim_{h \rightarrow 0}{\left (p(h) \right )}$ ，而不仅仅是变量 p 的极限)。

在 Berkeley 判所提出的问题的各种解决方法中，我们已经看到了Euler所采用的方法：他确实将微积分设想为与函数相关的，但对他来说，其基本概念仍然是微分，他认为微分等于零，但与其他微分之间可以有有限的比率。显然，这仍然没有解答2.10节中的常见问题 3。事实上，Euler似乎并不太关心基本问题。

Berkeley的补偿误差思想被其他人用来表明，微积分并非盲目推进，而是精确地补偿相等的误差，从而沿着一条可靠且平衡的路径到达真理。这一思想由Lazare Carnot等人发展。另一种方法来自Joseph Louis Lagrange，他假设对于每一个函数 f 和每一个 x，都可以将 f (x + h) 展开成一个级数

(2.12.2) $f (x + h) = f (x) + Ah + Bh^{2} + Ch^{3} + \dots$ 。

因此，Lagrange 将导数函数 $f^{'}(x)$ 定义为等于 h 在这个展开式中的系数。这个思想最早发表于1772a年，后来通过Lagrange的《分析函数论》( Theorie des fonctions analytiques (Functions) )产生了一定的影响。作为基础问题的解答，这个思想并不完善(并非所有f (x + h)) 都能如此展开，即使如此，也存在收敛性问题)，但在其他方面，这种方法却卓有成效；它将微积分视为关于函数及其导函数的理论，而这些导函数本身也是函数。有关Carnot和Lagrange的更多详细信息，请参阅 3.3 和 3.4 节。

最终，解决基础问题最重要的方法是运用极限。Benjamin Robins在流数微积分中(参见其1761a，第2卷，第49页)以及 d'Alembert 在微积分中都提倡了这一点。Robins和d'Alembert认为变量的极限是这些变量可以任意接近的极限值。因此，d'Alembert在他与D.Diderot合编的《百科全书》(Encyclopédi )中一篇关于“极限”的文章(1765a)中解释了这一概念：“当一个量级(magnitude)可以在任何给定的量级(无论多小)内趋近于第一个量级，而第一个量级永远不能超过它所趋近的量级时，一个量级就被称为另一个量级的极限。”

------------------------------图 2.12.1--------------------------------------

在百科全书条目《微分》(1764a)中，d'Alembert以抛物线 $y^{2}=ax$ 为例，给出了冗长的解释。他的论证可以概括如下。从图 2.12.1 可知，MP/PQ 是 mO/OM 的极限。在公式中，mO/OM = a/(2y + z)，而在代数上，a/(2y + z) 的极限很容易看出是 a/(2y)。一个变量只能有一个极限，因此 MP/PQ = a/(2y)。此外，微积分规则还给出 dy/dx = a/(2y)，因此我们不能将 dy/dx 视为微分的比值或 0/0，而应将其视为有限差分 mO/OM比值的极限。

Robins和d'Alembert并非最早提出极限概念的人；事实上，它早已隐含在古希腊数学中，后来，例如Simon Stevin也非常接近地提出了它(参见其著作，第1卷，第229-231页)。在Robins和d'Alembert 推广使用这一概念解决基础问题之后的很长一段时间里，极限方法只是众多方法中的一种。极限方法的价值之所以花了这么长时间才得到认可，是因为Robins和d'Alembert考虑的是变量的极限。因此，这个概念仍然存在许多不明确之处(详见Baron 和Bos 1976a，第4单元)，只有将极限概念应用于明确指定了自变量行为的函数，才能消除这些不明确之处。

2.13 总结(In conclusion)

在Newton和Leibniz各自发现微积分之后的一个世纪里，尽管基础尚不牢固，分析学却以令人瞩目的方式发展，从而使得对自然科学的大部分内容进行数学处理成为可能。在这一发展过程中，分析学也经历了深刻的变化；因为Newton和Leibniz既不是现代微积分的发明者，也不是同一种微积分的发明者。最后，回顾一下这两个体系的主要特征、它们之间的差异以及它们与我们现在所熟悉的微积分形式的不同之处，将会很有帮助(参见Baron和Bos 1976a，第3单元，第55-57页 )。

Newton和Leibniz的演算都关注变量。然而，Newton认为这些量随时间变化，而Leibniz则认为它们在一系列无限接近的数值上变化。这导致了这两种演算在基本概念上的差异：Newton的基本概念是流数，即变量(相对于时间)的有限速度或变化率；而Leibniz的基本概念是微分，即序列中连续值之间无穷小的差值。

这两种微积分在积分的概念和基本定理的作用上也存在差异。对Newton来说，积分就是求给定流数的流量(fluent quantity)；因此，在他的微积分中，基本定理隐含在积分的定义中。Leibniz将积分视为求和；因此，对他来说，基本定理并非隐含在积分的定义中，而是求和与求差之间互为逆的关系的结果。然而，Bernoulli学派将Leibniz的积分重新解释为微分的逆函数，因此在整个18世纪，基本定理都隐含在积分的定义中。

Newton和Leibniz都研究无穷小量，并且意识到使用无穷小量所固有的逻辑困难。Newton声称，他的微积分可以通过素数比和极限比的概念建立起严谨的基础，这个概念类似于(但肯定不同于)极限的概念。

Leibniz非常重视符号，他为微积分选择的符号也比Newton的更巧妙。他使用 “ $d$ ” 和 “ $\int$ ” 这两个独立的字母来表示微分和积分作为算符的作用；此外，他的符号比Newton的符号更容易融入复杂的公式中。总的来说，Leibniz的微积分更具分析性；而Newton的微积分则更接近几何图形，并配有散文式的论证。

这些是这两个体系之间的主要区别。如果我们将它们与现代微积分进行比较，我们会注意到另外三个区别。首先，Newton和Leibniz的微积分关注的是变量，而现代微积分处理的是函数。其次，现代微积分中微分运算的定义与18世纪不同；它与一个函数——一个导函数，或称导数——相关，而这个函数是通过极限的概念来定义的。第三，与18世纪的微积分不同，现代分析对微积分的基础问题有一个普遍接受的方法，即通过实数的定义(而不是19世纪70年代之前必须作为分析基础的模糊的数量概念)，并使用定义明确的极限概念。下一章将详细描述这一未来的发展。

内容来源：

<<From the Calculus to Set Theory, 1630-1910>>（An Introductory History），I.Grattan-Guinness 等。

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