有理函数积分的一般方法

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🎯 有理函数积分的一般方法 —— 部分分式分解法（Partial Fraction Decomposition）

有理函数积分的一般方法是通过 部分分式分解 将复杂的有理函数拆解成更简单的分式，然后逐项积分。以下是系统的求解步骤：

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🔹 1. 有理函数的标准形式

有理函数的一般形式为：

$$R(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$$

其中 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 是多项式，且满足 $\mathrm{deg}(P)<\mathrm{deg}(Q)$。

若 $\mathrm{deg}(P)\ge \mathrm{deg}(Q)$，需先进行 多项式除法。

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🔹 2. 部分分式分解类型

根据分母 $Q(x)$ 的因式分解形式，将有理函数拆解为部分分式之和：

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✅ (1) 分母为线性因式（无重根）

若

$$Q(x)=(x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)$$

则有：

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{x-a_1}+\frac{A_2}{x-a_2}+\cdots +\frac{A_n}{x-a_n}$$

积分结果：

$$\int \frac{A}{x-a}dx=A\ln |x-a|+C$$

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✅ (2) 分母含重根（重复线性因式）

若

$$Q(x)=(x-a{)}^k$$

则分解为：

$$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a{)}^2}+\cdots +\frac{A_k}{(x-a{)}^k}$$

积分结果：

$$\int \frac{A}{(x-a{)}^m}dx=\{\begin{array}{ll}A\ln |x-a|+C& \text{若 }m=1,\\ \frac{A}{(1-m)(x-a{)}^{m-1}}+C& \text{若 }m>1.\end{array}$$

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✅ (3) 分母含不可约二次因式（无实根）

若 $Q(x)$ 包含二次不可约因式，如：

$$x^2+bx+c(\Delta =b^2-4c<0)$$

则对应部分分式为：

$$\frac{Ax+B}{x^2+bx+c}$$

积分方法：

• 通过配方将分母化为 $(x+d{)}^2+e^2$ 的形式；

• 使用换元法或直接套用公式：

  $$\int \frac{Ax+B}{x^2+bx+c}dx=\frac{A}{2}\ln |x^2+bx+c|+\frac{2B-Ab}{\sqrt{4c-b^2}}\arctan \left(\frac{2x+b}{\sqrt{4c-b^2}}\right)+C$$

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✅ (4) 分母含重复二次因式

若 $Q(x)$ 包含 $(x^2+bx+c{)}^k$，则设为：

$$\frac{A_{1}x+B_1}{x^2+bx+c}+\frac{A_{2}x+B_2}{(x^2+bx+c{)}^2}+\cdots +\frac{A_{k}x+B_k}{(x^2+bx+c{)}^k}$$

积分方法：

• 对高次项使用递推公式或三角换元法。

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🔹 3. 积分步骤总结

1. 多项式除法
   若 $\mathrm{deg}(P)\ge \mathrm{deg}(Q)$，则：

   $$\frac{P(x)}{Q(x)}=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(Q)$$

   其中 $S(x)$ 为多项式，可直接积分，剩余部分继续分解。

2. 分解分母 $Q(x)$

   • 将 $Q(x)$ 分解为线性因式或不可约二次因式的乘积。

3. 设部分分式

   • 根据分母形式，设定待定系数（如 $A,B,C$ 等）。

4. 解待定系数

   • 通分后比较分子系数，解线性方程组。

5. 逐项积分

   • 对每一部分使用基本积分公式或换元法积分。

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🔹 4. 示例讲解

📌 例1：

计算

$$\int \frac{x+1}{x^2-5x+6}dx$$

• 分母分解：

  $$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$$

• 设部分分式：

  $$\frac{x+1}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3}$$

• 解系数：
  解得 $A=-3$，$B=4$

• 积分结果：

  $$\int \left(\frac{-3}{x-2}+\frac{4}{x-3}\right)dx=-3\ln |x-2|+4\ln |x-3|+C$$

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📌 例2：

计算

$$\int \frac{1}{x^3+x}dx$$

• 分母分解：

  $$x^3+x=x(x^2+1)$$

• 设部分分式：

  $$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$$

• 解系数：
  解得 $A=1$，$B=-1$，$C=0$

• 积分结果：

  $$\int \left(\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}\right)dx=\ln |x|-\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$$

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🔹 5. 特殊情况与补充说明

• 高次或复杂因式的分母：
  可考虑使用 奥斯特罗格拉德斯基方法（Ostrogradsky’s Method） 简化过程。

• 无法解析分解的函数：
  可转向 数值积分方法。

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✅ 结语：
通过系统应用部分分式分解法，绝大多数有理函数的积分问题都可以被有效求解。

如果你需要自动代入、计算某个具体函数积分，欢迎随时提出。

当然可以。以下是一个 同时包含所有部分分式分解类型 的综合例题，并附上详细的分步解析：

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✅ 例题：

计算以下积分：

$$\int \frac{x^5+2x^4+3x^3+4x^2+5x+6}{(x-1{)}^2(x+2)(x^2+1{)}^2}dx$$

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🎯 第一步：检查并化简

观察原式：

• 分子次数 = 5

• 分母次数 = $2+1+4=7$

  $$\mathrm{deg}(x-1{)}^2=2,\mathrm{deg}(x+2)=1,\mathrm{deg}((x^2+1{)}^2)=4$$

  总体满足 $\mathrm{deg}(P)<\mathrm{deg}(Q)$，无需多项式除法。

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🎯 第二步：设部分分式形式

分母分解为：

• $(x-1{)}^2$：重复线性因式
• $(x+2)$：线性因式
• $(x^2+1{)}^2$：重复不可约二次因式

对应的部分分式设为：