中级统计师-统计学基础知识-第五章 相关分析

第一节 相关关系

1. 函数关系 vs 相关关系

• 函数关系

  • 定义：变量间存在严格确定性的对应关系（如 $y=f(x)$）
  • 例子：本金 $x$ 与利息收入 $y=x+0.027x$
  • 特点：一一对应，变动完全由自变量决定

• 相关关系

  • 定义：变量间存在非确定性的依存关系（如身高与体重）
  • 特点：受多种因素影响，无法用单一函数描述
  • 例子：
    • 父母收入与子女收入
    • 广告费与销售量

2. 经典例题

【多选题】 下列现象具有相关关系的有（ABD）。
A. 降雨量与农作物产量
B. 人的身高与体重
C. 人口自然增长与机械变动
D. 广告费与销售量
E. 存款利率与利息

解析：C项（人口自然增长与机械变动）统计独立；E项（存款利率与利息）为函数关系。

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第二节 相关关系的展示——散点图

• 作用：直观展示两变量间的分布趋势（线性/非线性、方向、强度）
• 类型：
  • 正相关（点向右上方延伸）
  • 负相关（点向右下方延伸）
  • 无相关（点随机分布）
• 示例：身高与体重散点图显示正相关趋势。

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第三节 相关关系的度量与性质

1. Pearson相关系数（$r$）

• 公式：
  $$r=\frac{\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x-\bar{x}{)}^2}\sqrt{\sum (y-\bar{y}{)}^2}}$$
• 性质：
  • 范围：$r\in [-1,1]$
  • 方向：
    • $r>0$：正相关
    • $r<0$：负相关
  • 强度分级（经验法则）：
    • $|r|\ge 0.8$：高度相关
    • $0.5\le |r|<0.8$：中度相关
    • $0.3\le |r|<0.5$：中低度相关
    • $|r|<0.3$：低度相关

2. 重要说明

• $r=0$ 仅表示无线性相关，可能存在非线性关系（如抛物线分布）。
• 示例：身高与体重数据计算得 $r=0.83$，属高度正相关。

3. 经典例题

【单选题】 相关程度最高的是（C）。
C. 平均流通费用率与商业利润率的相关系数为 $-0.95$
解析：绝对值最大（$0.95>0.92$），负号仅表示方向。

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第四节 相关关系的检验

1. 检验步骤（$t$检验）

• 原假设 $H_0$：总体相关系数 $\rho =0$（无线性相关）
• 备择假设 $H_1$：$\rho \ne 0$（存在线性相关）
• 检验统计量：
  $$t=|r|\sqrt{\frac{n-2}{1-r^2}}\sim t(n-2)$$
• 决策：
  • 若 $|t|>t_{\alpha /2}(n-2)$ 或 $p\le \alpha$，拒绝 $H_0$
  • 适用性：适用于大样本和小样本

2. 经典例题

【判断题】 相关系数检验只能用于大样本（×）。
解析：$t$检验适用于所有样本量。

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第五节 相关关系与因果关系

1. 核心观点

• 相关 ≠ 因果
  • 示例：冰激凌销量与溺水死亡数正相关（共同原因：夏季高温）
  • 统计工具主要探求相关关系，因果关系需更复杂分析（如控制混杂变量）。

2. 注意事项

• 高相关可能是由于：
  • 直接因果
  • 共同原因
  • 偶然性
• 经典例题：吸烟与肺癌高度相关，但需考虑年龄、遗传等混杂因素。

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总结图示

概念	要点
函数关系	严格确定，$y=f(x)$
相关关系	非确定性，用散点图和 Pearson 系数度量
检验	$t$检验判断总体相关性，原假设 $\rho =0$
因果关系	需排除混杂变量，相关仅为必要条件非充分条件