大数定理（LLN）习题集 · 答案与解析篇
大数定理（LLN）习题集 · 答案与解析篇
与题目篇一一对应。若有多种解法仅给出主流答案，读者可自行扩展。
1. 概念与判断题
1.1 基本表述
弱大数定理 (WLLN, Kolmogorov 形式)
若 (X_1,X_2,\dots) i.i.d.，(E[X_1]=\mu) 且 (\operatorname{Var}(X_1)<\infty)，则
[
\overline{X}n:=\frac1n\sum{k=1}^{n}X_k \xrightarrow{P} \mu.
]
1.2 弱 vs 强
| 比较 | 弱 LLN | 强 LLN |
|---|---|---|
| 极限方式 | 收敛概率 (in probability) | 几乎处处收敛 (a.s.) |
| 常见条件 | i.i.d. 且二阶矩有限 | i.i.d. 且一阶矩有限（Kolmogorov 1933） |
| 推出关系 | SLLN ⇒ WLLN | 反之不成立 |
1.3 是否满足 LLN
a) 满足强、弱大数（独立同分布，(E[X]=0))；