【神经网络与深度学习】激活函数的可微可导

引言：
在深度学习领域，激活函数扮演着至关重要的角色。它不仅影响神经网络的非线性建模能力，还直接关系到梯度计算的稳定性。在优化过程中，我们通常要求激活函数具有良好的数学性质，其中可微性是一个关键条件。相比简单的可导性，可微性更进一步，它确保函数在某一点及其邻域内具有平滑性，使得梯度计算更加稳定，从而提升模型的收敛速度和数值稳定性。本文将深入探讨为什么可微性比可导性更重要，并分析其对反向传播算法的影响。

在深度学习中，我们通常要求激活函数是可微的，而不仅仅是可导的。可微性不仅意味着函数在某一点上有导数存在，还要求该导数在该点的邻域内是连续的，即函数表现出平滑的变化。而可导性仅要求函数在某个点上可以计算导数，却不保证其在局部范围内的平稳性。

在反向传播算法中，神经网络的梯度计算依赖于激活函数的导数。通过链式法则，梯度从输出层逐步传递到输入层。如果激活函数只是可导的，而其导数在某些点上发生突变或不连续，梯度计算可能出现剧烈变化，导致优化过程不稳定，甚至影响模型的收敛性。

因此，为了确保梯度下降算法和反向传播算法能够顺利执行，同时提升模型的数值稳定性和优化效率，我们通常要求激活函数是可微的。

总结

• 可微性：不仅要求函数在某一点上可以计算导数，还要求其在该点的邻域内是平滑的，导数连续。
• 可导性：仅要求函数在某一点上有导数存在，并不保证导数的连续性。

在深度学习中，选择可微的激活函数能够避免梯度计算的不稳定性，确保模型在训练过程中收敛良好，并提高整体数值稳定性。这也是为什么常见的激活函数，如ReLU, Sigmoid 和 Tanh，都具有良好的可微性特征，使其成为深度学习中的首选方案。