光纤克尔非线性效应及其在光通信系统中的补偿教程-3.2 克尔效应

需要结合上一期的文章，光纤克尔非线性效应及其在光通信系统中的补偿教程-3.1 非线性极化性

光纤中的非线性效应源于三阶感性${\chi }^{(3)}$。 光纤中非线性效应的主要来源之一是由${\chi }^{(3)}$引起的非线性折射，即克尔效应（Kerr effect），这种现象是指折射率与光强有关。 假设入射到光纤纤芯上的电磁场只有 Ex 和 Hy 分量。 那么，对于中心对称的介电材料，方程（1）中的张量方程可简化为 方程（2）：这里涉及了张量的运算，可以参考这篇文章：张量的运算

方程（1）

方程（2）

其中，${\chi }_{xxxx}^{(3)}$ 是四阶张量 ${\chi }^{(3)}$的一个分量。 推导如下：


中心对称的介电材料说明，

偶数阶的极化率：偶数阶的极化率等于奇数阶的张量

源于下图，坐标变换：

假设入射光场是单色波，其值为：

要找到 $E_x^3$，首先要找到 $E_x$的实部，即：

在没有特殊相位匹配技术的情况下，上图第二个式子中的三次谐波项可以忽略不计。

补充一下相位匹配的知识：
在弱电场条件下，介质是线性极化

在强电场下，这个公式产生了高阶项：

直观表现上就是下图：

输入一个$\omega$频率的光，由于2阶感性${\chi }^2$的存在，激发了$2\omega$频率的光。由于在中心对称介质中，

所以，$2\omega$频率的光由于2阶感性为0的原因无法被激发，能被激发的就是3阶感性，3阶感性${\chi }^{(3)}$只有xxxx,yyyy,zzzz这三个方向不为0，即下图中所示，每一个黄色方框都是一个3×3的矩阵：

下图红色框标出不取0的位置：

在黄色框构成的3×3矩阵中，(1,1),(2,2),(3,3)存在不取0的数值，在(1,1)矩阵的(1,1)，在（2，2）矩阵的(2,2)，在（3，3）矩阵的(3,3)位置处的元素不为0。
所以，${\chi }_{xxxx}$、${\chi }_{yyyy}$、${\chi }_{zzzz}$对应的EEE为$E_{xxx}$、$E_{yyy}$、$E_{zzz}$对应的单位矢量分别为$\overrightarrow{e_x}$、$\overrightarrow{e_y}$、$\overrightarrow{e_z}$（三点积是并乘后3次缩并，结果张量为4+3-6=1阶张量，即$\overrightarrow{e_x}$、$\overrightarrow{e_y}$、$\overrightarrow{e_z}$三个方向）。$E_{xxx}=E_x{E}_x{E}_x$，所以：

这里认为可以省略的三次谐波项是：

为什么可以省略呢？
因为电场表达式不仅有时间相位，还有空间相位：

所以，对于电场的表达式，我们可以写成:
方程（3）

在电磁场传播途中：

对于产生的三倍频光，如果希望他们可以在传播路径上积累，就需要第一段产生的三倍频光与第二段产生的三倍频光相干。即方程（3）中的关于空间的

这一项匹配。满足什么条件可以匹配呢？只考虑空间维度下，如下图所示

如上图所示，满足三倍频光积累的条件（相位匹配）较为苛刻，所以我们往往可以忽略三次谐波项。

设频率为 w 时的偏振为：

那么

根据上文的公式：

由这些实部的表达出发可以得到：

其中，${\chi }_{eff}$是包括线性和非线性磁感应强度在内的有效磁感应强度
我们可以将电场密度 D 表示为：

我们可以这样写：

一般来说，我们可以将电通量密度表示为：

其中，εr 是相对介电常数。 我们可以将 εr 表示为

由于相对介电常数${ϵ}_r$ 和折射率 n 的关系是 $n_2={\epsilon }_r$，因此我们可以写道:

其中，n0 是线性折射率，而 上式 的第二项代表折射率的非线性贡献。
我们可以表示：


术语 n2 称为克尔系数。 对于硅基光纤，n2 的典型值介于 1.2 × 10-20 m2 W-1 和 3.2 × 10-20 m2 W-1 之间。 从 公式 可知，折射率 n 的非线性部分与光强度 $|E_0{|}^2$成正比。 这种效应被称为克尔效应。