光纤克尔非线性效应及其在光通信系统中的补偿教程-3.2 克尔效应
需要结合上一期的文章,光纤克尔非线性效应及其在光通信系统中的补偿教程-3.1 非线性极化性
光纤中的非线性效应源于三阶感性 χ ( 3 ) \chi^{(3)} χ(3)。 光纤中非线性效应的主要来源之一是由 χ ( 3 ) \chi^{(3)} χ(3)引起的非线性折射,即克尔效应(Kerr effect),这种现象是指折射率与光强有关。 假设入射到光纤纤芯上的电磁场只有 Ex 和 Hy 分量。 那么,对于中心对称的介电材料,方程(1)中的张量方程可简化为 方程(2):这里涉及了张量的运算,可以参考这篇文章:张量的运算
方程(1)
方程(2)
其中, χ x x x x ( 3 ) \chi^{(3)}_{xxxx} χxxxx(3) 是四阶张量 χ ( 3 ) \chi^{(3)} χ(3)的一个分量。 推导如下:
中心对称的介电材料说明,
偶数阶的极化率:偶数阶的极化率等于奇数阶的张量
源于下图,坐标变换:
假设入射光场是单色波,其值为:
要找到 E x 3 E^3_{x} Ex3,首先要找到 E x E_x Ex的实部,即:
在没有特殊相位匹配技术的情况下,上图第二个式子中的三次谐波项可以忽略不计。
补充一下相位匹配的知识:
在弱电场条件下,介质是线性极化
在强电场下,这个公式产生了高阶项:
直观表现上就是下图:
输入一个 ω \omega ω频率的光,由于2阶感性 χ 2 \chi^{{2}} χ2的存在,激发了 2 ω 2\omega 2ω频率的光。由于在中心对称介质中,
所以, 2 ω 2\omega 2ω频率的光由于2阶感性为0的原因无法被激发,能被激发的就是3阶感性,3阶感性 χ ( 3 ) \chi^{(3)} χ(3)只有xxxx,yyyy,zzzz这三个方向不为0,即下图中所示,每一个黄色方框都是一个3×3的矩阵:
下图红色框标出不取0的位置:
在黄色框构成的3×3矩阵中,(1,1),(2,2),(3,3)存在不取0的数值,在(1,1)矩阵的(1,1),在(2,2)矩阵的(2,2),在(3,3)矩阵的(3,3)位置处的元素不为0。
所以, χ x x x x \chi_{xxxx} χxxxx、 χ y y y y \chi_{yyyy} χyyyy、 χ z z z z \chi_{zzzz} χzzzz对应的EEE为 E x x x E_{xxx} Exxx、 E y y y E_{yyy} Eyyy、 E z z z E_{zzz} Ezzz对应的单位矢量分别为 e x ⃗ \vec{e_x} ex、 e y ⃗ \vec{e_y} ey、 e z ⃗ \vec{e_z} ez(三点积是并乘后3次缩并,结果张量为4+3-6=1阶张量,即 e x ⃗ \vec{e_x} ex、 e y ⃗ \vec{e_y} ey、 e z ⃗ \vec{e_z} ez三个方向)。 E x x x = E x E x E x E_{xxx}=E_xE_xE_x Exxx=ExExEx,所以:
这里认为可以省略的三次谐波项是:
为什么可以省略呢?
因为电场表达式不仅有时间相位,还有空间相位:
所以,对于电场的表达式,我们可以写成:
方程(3)
在电磁场传播途中:
对于产生的三倍频光,如果希望他们可以在传播路径上积累,就需要第一段产生的三倍频光与第二段产生的三倍频光相干。即方程(3)中的关于空间的
这一项匹配。满足什么条件可以匹配呢?只考虑空间维度下,如下图所示
如上图所示,满足三倍频光积累的条件(相位匹配)较为苛刻,所以我们往往可以忽略三次谐波项。
设频率为 w 时的偏振为:
那么
根据上文的公式:
由这些实部的表达出发可以得到:
其中, χ e f f \chi_{eff} χeff是包括线性和非线性磁感应强度在内的有效磁感应强度
我们可以将电场密度 D 表示为:
我们可以这样写:
一般来说,我们可以将电通量密度表示为:
其中,εr 是相对介电常数。 我们可以将 εr 表示为
由于相对介电常数 ϵ r \epsilon_r ϵr 和折射率 n 的关系是 n 2 = ε r n_2 = ε_r n2=εr,因此我们可以写道:
其中,n0 是线性折射率,而 上式 的第二项代表折射率的非线性贡献。
我们可以表示:
术语 n2 称为克尔系数。 对于硅基光纤,n2 的典型值介于 1.2 × 10-20 m2 W-1 和 3.2 × 10-20 m2 W-1 之间。 从 公式 可知,折射率 n 的非线性部分与光强度 ∣ E 0 ∣ 2 |E_0|^ 2 ∣E0∣2成正比。 这种效应被称为克尔效应。