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MIMO 检测(3)--最大SINR准则(MRC、IRC)

news 2025/7/6 5:41:42

1，IRC

假设单流的接收信号如下表示，其中 $h$ 为 $N{r}\times 1$ 维， $\mathbf{y}$ 表示 $N{r}\times 1$ ， $s_{i}$ 表示干扰信号， $z$ 表示高斯白噪声。

$\begin{bmatrix} y_{1}\\y_{2} \\ y_{3} \\ y_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} h_{1}\\h_{2} \\ h_{3} \\ h_{4} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1}\\x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} s_{1}\\s_{2} \\ s_{3} \\ s_{4} \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} z_{1}\\z_{2} \\ z_{3} \\ z_{4} \end{bmatrix}$

$\mathbf{y=hx+ s+z}$

令 $\mathbf{u=s+z}$ ，则可表示 $\mathbf{y=hx+u}$ 。最大SINR 准则的目标是寻找一个 $\mathbf{w}$ 在 $\mathbf{E\{xx^H\}=I}$ , $E\{uu^H\}=R_{uu}$ 下使得：

$\mathbf{\underset{w\neq 0}{maxSINR}=\frac{\left | w^Hhx \right |^2}{\left | w^Hu \right |^2}=\frac{(w^Hhx)(w^Thx)^H}{(w^Hu)(w^Hu)^H}}$

$\mathbf{=\frac{w^Thxx^Hh^Hw}{w^Huu^Hw}=\frac{E(w^Thxx^Hh^Hw)}{E(w^Huu^Hw)}=\frac{w^ThE(xx^H)h^Hw}{w^HE(uu^H)w}=\frac{w^Thh^Hw}{w^HR_{uu}w}=\frac{\left | w^Hh \right |^2}{w^HR_{uu}w}}$

所以最终代价函数为 $\mathbf{\underset{w\neq 0}{maxSINR}=\frac{\left | w^Hh \right |^2}{w^HR_{uu}w}}$ 。

$\mathbf{\underset{w\neq 0}{argmin}=w^HR_{uu}w \\st \quad w^Hh=1}$

使用拉格朗日进行优化： $\mathbf{L(w,\lambda)=w^HR_{uu}w + \lambda(w^Hh-1)}$

$\mathbf{\frac{\partial L}{\partial w^H}=2R_{uu}w+\lambda h=0}$

$\mathbf{\widehat{w}=-R_{uu}^{-1}h\frac{\lambda}{2}}$ 同时 $\mathbf{w^Hh=1}$ 则： $\mathbf{\widehat{\lambda}=-2(h^HR_{uu}^{-1}h)^{-1}}$ 。注意： $\mathbf{h}$ 为类向量所以 $h^HR_{uu}^{-1}h$ 为一个标量。忽略标量则 $\mathbf{\widehat{w}=-R_{uu}^{-1}h}$ 。

$\widehat{w}=\begin{bmatrix} r_{11} &r_{12} &r_{13} &r_{14} \\ r_{21}&r_{22} &r_{23} &r_{24} \\ r_{31}&r_{32} &r_{33} &r_{43} \\ r_{41}&r_{42} &r_{43} &r_{44} \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} h_{1}\\h_{2} \\ h_{3} \\ h_{4} \end{bmatrix}$