机器人手臂的坐标变换：一步步计算齐次矩阵过程 [特殊字符]

大家好！今天我们来学习如何计算机器人手臂的坐标变换。别担心，我会用最简单的方式解释这个过程，就像搭积木一样简单！

一、理解问题

我们有一个机器人手臂，由多个关节组成。每个关节都有自己的坐标系，我们需要计算从世界坐标系(W)到末端执行器(P₃)的完整变换。

二、已知参数

• α = 30° (绕Z轴旋转)
• β = 20° (第一个关节绕X轴旋转)
• γ = 30° (第二个关节绕X轴旋转)
• L₁ = 2 (第一个连杆长度)
• L₂ = 3 (第二个连杆长度)
• L₃ = 4 (第三个连杆长度)

三、计算步骤

1. 世界坐标系(W)到基座(P₀)的变换 M₀

这是绕Z轴旋转30°的变换：
[
M_0 = \begin{bmatrix}
R_z(30°) & T \
0 & 1
\end{bmatrix}
]

计算旋转部分R_z(30°):
[
R_z(30°) = \begin{bmatrix}
\cos30° & -\sin30° & 0 \
\sin30° & \cos30° & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0.866 & -0.5 & 0 \
0.5 & 0.866 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
]