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C++ 数学算法全解析（二）：解方程与三角函数实用指南

news 2025/7/1 12:03:45

C++ 数学算法全解析（二）：解方程与三角函数实用指南

前文：
简单数学之C++（一）

🌟 核心内容速览

方程求解技巧
三角函数基础
几何应用实例
编程实现要点

一、方程求解：从简单到复杂的破题之道

1.1 一元一次方程（小明买苹果）

问题：3斤苹果花了15元，每斤多少钱？
方程：3x = 15 → x = 5

// 通用解法
double solveLinear(double a, double b) {if(a == 0) return NAN; // 不是有效方程return -b / a;
}
// 示例：3x-15=0 → solveLinear(3, -15) = 5

1.2 一元二次方程（抛物线与x轴交点）

通用公式：
一般来说，抛物线的方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是常数。要求抛物线与x轴交点，即找到满足y = 0的x值。将y = 0代入抛物线方程，得到：ax^2 + bx + c = 0。然后，可以使用一元二次方程的求根公式来解这个方程。
求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

void solveQuadratic(double a, double b, double c) {double delta = b*b - 4*a*c;if(delta < 0) cout << "无实根";else if(delta == 0) cout << "x=" << -b/(2*a);else {double sqrt_d = sqrt(delta);cout << "x1=" << (-b+sqrt_d)/(2*a) << " x2=" << (-b-sqrt_d)/(2*a);}
}
/* 示例：x²-5x+6=0 → x1=3, x2=2 */

1.3 方程组求解（鸡兔同笼问题）

问题：笼子里有10个头，30只脚，问鸡兔各几只？
方程：
鸡 + 兔 = 10
2鸡 + 4兔 = 30

void solveEquations() {// 代入法实现for(int chicken=0; chicken<=10; ++chicken){int rabbit = 10 - chicken;if(2*chicken + 4*rabbit == 30){cout << "鸡：" << chicken << " 兔：" << rabbit;break;}}
}
// 输出：鸡5只，兔5只（典型问题特殊解）

二、三角函数：角度与边长的神奇纽带

2.1 基本概念

正弦：对边/斜边（sinθ = a/c）
余弦：邻边/斜边（cosθ = b/c）
正切：对边/邻边（tanθ = a/b）

2.2 角度与弧度转换

const double PI = 3.141592653589793;// 角度转弧度
double deg2rad(double degrees) {return degrees * PI / 180;
}// 弧度转角度
double rad2deg(double radians) {return radians * 180 / PI;
}
// 示例：30° = π/6 ≈ 0.5236弧度

2.3 常见三角函数计算

#include <cmath>// 计算直角三角形斜边
double hypotenuse(double a, double b) {return sqrt(a*a + b*b);
}// 已知角度和对边求斜边
double getHypotenuse(double angle_deg, double opposite) {return opposite / sin(deg2rad(angle_deg));
}

三、几何应用：编程解决实际问题

3.1 三角形面积计算（海伦公式）

double triangleArea(double a, double b, double c) {double p = (a+b+c)/2; // 半周长return sqrt(p*(p-a)*(p-b)*(p-c));
}
// 示例：边长3,4,5 → 面积6

3.2 正弦定理应用（求未知边）

公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R

double findSideByAngle(double knownSide, double knownAngle, double targetAngle) {return knownSide * sin(deg2rad(targetAngle)) / sin(deg2rad(knownAngle));
}
/* 示例：
已知：边a=5对应角30°，求边b对应角60°
结果：5 * sin60° / sin30° = 5*(√3/2)/(1/2)=5√3≈8.66 */

3.3 余弦定理应用（求三角形角度）

公式：c² = a² + b² - 2ab cosC

double findAngle(double a, double b, double c) {double cosC = (a*a + b*b - c*c) / (2*a*b);return rad2deg(acos(cosC));
}
// 示例：边长3,4,5 → 角度90°

四、编程实现注意事项

4.1 精度处理技巧

// 比较浮点数相等不能直接用==
bool isEqual(double a, double b) {return fabs(a - b) < 1e-9;
}// 避免除以零
double safeDivide(double num, double denom) {if(fabs(denom) < 1e-9) return NAN;return num / denom;
}

4.2 实战案例：太阳高度角计算

double sunElevation(double objectHeight, double shadowLength) {// tanθ = 物体高度 / 影子长度double angle_rad = atan(objectHeight / shadowLength);return rad2deg(angle_rad);
}
/* 示例：
旗杆高6米，影长8米 → arctan(6/8)=36.87° */