定积分和不定积分

1. 背景与引入

历史背景与重要性

积分学起源于17世纪对面积、体积及运动规律的研究，由牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）独立发展形成体系。它与微分共同构成微积分的核心，解决了“如何求变化率的反过程”和“如何计算不规则形状的累积量”两大问题。在数学中，积分是分析连续变化的基础工具；在机器学习中，它支撑了概率分布建模、损失函数优化等关键环节。

实际问题与类比

• 定积分：假设你站在一个不规则形状的池塘边，如何估算它的蓄水量？直接分割成矩形或三角形显然不现实。定积分的思想正是通过无限细分区间并累加微小矩形面积，逼近复杂曲线下的总量。
• 不定积分：想象一辆行驶的汽车，已知速度表显示的瞬时速度随时间变化的函数$v(t)$如何求出汽车的位置函数$s(t)$这需要找到速度的“逆向运算”——即从变化率反推原始量，这正是不定积分的核心。

这两个问题看似不同，却通过微积分基本定理紧密关联：定积分的结果（面积）可通过不定积分的原函数计算，从而将“求和”转化为“找原函数”。

学习目标

学完本节后，你将能够：

1. 理解定积分与不定积分的直观意义及其数学定义；
2. 用定积分解决面积、累积量等实际问题（如计算概率密度曲线下的面积）；
3. 掌握不定积分与导数的关系，为后续学习梯度下降、概率模型等机器学习算法打下基础。

2. 核心概念与定义

定积分（Definite Integral）

定义：
设函数$f(x)$在区间 $[a,b]$ 上有定义，若将区间分割为$n$个子区间，每个子区间宽度为$\Delta x_i$任取点$x_i^{\ast }$属于第$i$个子区间，当分割无限细化时，和式${\sum }_{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x_i$的极限存在且唯一，则称该极限为$f(x)$在 $[a,b]$ 上的定积分，记作：
$${\int }_a^{b}f(x)dx$$
通俗解释：
定积分是“无限分割后累加局部近似值”的过程。想象用无数张薄纸片（近似面积）堆叠出不规则物体的体积，或用无数微小矩形逼近曲线下的面积。
几何意义：
定积分的值等于函数图像与$x$轴在区间 $[a,b]$ 上围成的“有向面积”（上方为正，下方为负）。

例子：

• 物理场景：已知汽车速度函数$v(t)$从时间$t=a$到$t=b$的总路程为${\int }_a^b|v(t)|dt$
• 直观类比：计算一个不规则形状的巧克力蛋糕的重量，可将其切分为极薄的片，每片近似为矩形，累加质量。

不定积分（Indefinite Integral）

定义：
若函数$F(x)$满足$F^{\prime }(x)=f(x)$则称$F(x)$为$f(x)$的原函数，其全体形式记为：
$$\int f(x)dx=F(x)+C(C\text{ 为任意常数})$$
通俗解释：
不定积分是导数的“逆运算”，即从变化率反推原始函数。例如，已知物体的加速度函数，通过积分可得到速度函数。
几何意义：
不定积分表示一族曲线，这些曲线的斜率（导数）在任意点都相同，仅相差一个垂直平移（常数$C$。

例子：

• 数学场景：若$f(x)=2x$则$\int 2xdx=x^2+C$因为$\frac{d}{dx}(x^2+C)=2x$
• 直观类比：已知每天存款的变化量（如每天存入金额），求原始账户余额的变化过程。

关键联系：微积分基本定理

核心思想：
若$F(x)$是$f(x)$的原函数，则
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
通俗解释：
定积分的“全局累加结果”可通过原函数的“端点差值”直接计算，无需无限分割。
例子：
计算${\int }_1^{3}2xdx$先求原函数$x^2$代入得$3^2-1^2=8$

总结对比

类型	数学形式	输出类型	直观意义
定积分	${\int }_a^{b}f(x)dx$	数值	曲线下的面积/总量
不定积分	$\int f(x)dx$	函数族	原始函数的表达式

3. 拆解与解读

定积分的拆解与解读

定义公式：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{n}f(x_i^{\ast })\Delta x_i$$
拆解与解读：

1. 区间分割：

   • 将区间 $[a,b]$ 分割为$n$个子区间，每个子区间的宽度为$\Delta x_i$
   • 类比：把一块蛋糕切成$n$块，每块的厚度可能不均匀（但极限下趋于均匀）。

2. 局部近似：

   • 在每个子区间中任取一点$x_i^{\ast }$用$f(x_i^{\ast })\cdot \Delta x_i$近似该子区间的“贡献”。
   • 类比：用每块蛋糕的平均高度乘以宽度，估算每块的体积。

3. 极限求和：

   • 当分割无限细化（$ n \to \infty$时，所有子区间的近似值之和趋近于真实值。
   • 类比：将蛋糕切得极薄，无数块的叠加逼近整体重量。

关键逻辑联系：

• 分割越细 → 近似误差越小 → 极限值即为精确的“总量”（如面积、路程）。
• 几何意义：曲线下的面积通过“无限细分+矩形逼近”被严格定义。

不定积分的拆解与解读

定义公式：
$$\int f(x)dx=F(x)+C\text{其中}{F}^{\prime }(x)=f(x)$$
拆解与解读：

1. 原函数的定义：

   • 若$F^{\prime }(x)=f(x)$则$F(x)$是$f(x)$的原函数。
   • 类比：已知每天的存款变化量（导数），推导账户余额（原函数）。

2. 积分常数$C $：

   • 原函数不唯一，因为导数会抹去常数项（如$(x^2+5{)}^{\prime }=2x$常数消失）。
   • 类比：知道每天存了多少钱，但不知道初始余额。

3. 积分符号的意义：
   -$\int$表示“求原函数”的操作，$ dx$表示对变量$x$积分。

   • 类比：积分符号像一个“反向导数机器”，输入变化率，输出原始函数。

关键逻辑联系：

• 不定积分是导数的逆运算 → 通过“试错法”验证结果（对结果求导应回到原函数）。

微积分基本定理的拆解与解读

定理公式：
$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
拆解与解读：

1. 原函数的作用：
   -$F(x)$是$f(x)$的原函数 →$F(x)$的变化率就是$f(x)$

   • 类比：若$F(x)$表示汽车的位置，则$f(x)$是速度，位置差即总路程。

2. 端点代入的意义：
   -$F(b)-F(a)$表示原函数从$a$到$b$的总增量。

   • 类比：银行账户从时间$a$到$b$的余额变化，等于总收入减去总支出。

3. 定积分与不定积分的关系：

   • 定积分的数值结果（面积）可以通过不定积分的原函数直接计算，无需无限分割。
   • 类比：不用一块块数砖头，而是通过公式直接算出整面墙的面积。

关键逻辑联系：

• 定积分（全局总量）与不定积分（局部变化率的逆）通过“端点差值”直接关联 → 微积分的核心桥梁。

总结对比

拆解维度	定积分	不定积分
核心操作	分割+求和+极限	寻找原函数
输入	函数$f(x) $、区间 $[a,b]$	函数$f(x)$
输出	数值（面积/总量）	函数族（含$C$
关键工具	黎曼和、极限	导数的逆运算
实际意义	计算累积量（如路程、概率）	还原原始函数（如位置、总量）

逻辑链条：
定积分通过无限细分逼近面积 → 不定积分通过原函数简化计算 → 微积分基本定理将两者统一。

4. 几何意义与图形化展示

Figure-1: 定积分的几何意义（曲线下的面积）

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np# 定义函数和区间
def f(x):return x**2a, b = 0, 2  # 积分区间
x = np.linspace(0, 2, 400)
y = f(x)# 绘制曲线和阴影面积
plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(x, y, label="$f(x) = x^2$", color="blue")
plt.fill_between(x, y, where=(x >= a) & (x <= b), color="skyblue", alpha=0.5)
plt.title("Figure-1: 定积分的几何意义（曲线下的面积）")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.axhline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

图形解读：

• 曲线$f(x)=x^2$下方的蓝色阴影区域表示定积分${\int }_0^2{x}^{2}dx$
• 面积的“有向性”：若曲线在$x$轴下方，面积为负值。
• 关键点：定积分的值等于该阴影区域的“净面积”。

Figure-2: 不定积分的几何意义（原函数族）

# 定义原函数族（含不同常数C）
def F(x, C):return (1/3) * x**3 + Cx = np.linspace(-2, 2, 400)
C_values = [-2, 0, 2]  # 不同常数C的值# 绘制原函数族
plt.figure(figsize=(8, 5))
for C in C_values:plt.plot(x, F(x, C), label=f"$C = {C}$")
plt.plot(x, f(x), "--", label="$f(x) = x^2$ (导数)", color="black")
plt.title("Figure-2: 不定积分的几何意义（原函数族）")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("F(x)")
plt.axhline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

图形解读：

• 彩色曲线表示不定积分$\int x^{2}dx=\frac{1}{3}{x}^3+C$的一族函数（不同$C$。
• 虚线$f(x)=x^2$是所有原函数的导数。
• 关键点：原函数族中的每条曲线在任意点的切线斜率相同（等于$f(x)$。

Figure-3: 微积分基本定理的几何联系

# 原函数在a=0, b=2处的值
def F(x):return (1/3) * x**3a, b = 0, 2
area = F(b) - F(a)# 子图1：定积分面积
plt.figure(figsize=(12, 5))
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x, f(x), color="blue")
plt.fill_between(x, y, where=(x >= a) & (x <= b), color="skyblue", alpha=0.5)
plt.title(f"定积分面积：{area:.3f}")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.grid(True)# 子图2：原函数端点差值
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x, F(x), label="$F(x) = \\frac{1}{3}x^3$")
plt.scatter([a, b], [F(a), F(b)], color="red")
plt.plot([a, a], [0, F(a)], "k--", alpha=0.5)
plt.plot([b, b], [0, F(b)], "k--", alpha=0.5)
plt.text((a + b)/2, F(b) - 0.5, f"$F(b) - F(a) = {area:.3f}$", fontsize=12, ha="center")
plt.title("原函数端点差值")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("F(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.tight_layout()
plt.show()

图形解读：

• 左图：定积分面积${\int }_0^2{x}^{2}dx$的几何表示。
• 右图：原函数$F(x)=\frac{1}{3}{x}^3$在$a=0$和$b=2$处的函数值差值。
• 关键联系：定积分的面积值（左图）等于原函数的端点差值（右图），即
  $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$

总结对比

图形类型	核心几何意义	关键联系
定积分（Figure-1）	曲线下面积（局部累加结果）	通过分割逼近极限
不定积分（Figure-2）	原函数族（导数相同的函数集合）	垂直平移差异（常数$C$
微积分基本定理（Figure-3）	定积分与原函数差值的等价性	将“无限求和”简化为“找原函数”

几何视角下的核心思想：

• 定积分是“局部近似→全局求和”，不定积分是“逆向还原原始函数”，两者通过微积分基本定理统一。
• 图形化帮助直观理解抽象公式，为后续概率密度积分、模型参数优化等机器学习场景提供工具支持。

5. 常见形式与变换

定积分的常见形式

1. 标准黎曼积分

   • 形式：
     $${\int }_a^{b}f(x)dx$$
   • 含义：适用于连续函数在有限区间 $[a,b]$ 上的积分。
   • 适用场景：计算规则函数的面积、物理中的累积量（如路程、功）。

2. 反常积分（Improper Integral）

   • 形式：
     $${\int }_a^{\infty }f(x)dx=\underset{b\to \infty }{\lim }{\int }_a^{b}f(x)dx\text{或}{\int }_a^b\frac{1}{(x-c{)}^{\alpha }}dx(\text{含奇点 }x=c)$$
   • 含义：处理积分区间无限或被积函数存在奇点的情况。
   • 适用场景：概率密度函数（如正态分布尾部）、物理中的无限长杆引力计算。

3. 数值积分（近似方法）

   • 形式：
     • 梯形法则：
       $${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{2n}\sum _{i=1}^n[f(x_{i-1})+f(x_i)]$$
     • 辛普森法则：
       $${\int }_a^{b}f(x)dx\approx \frac{b-a}{6n}\sum _{i=1}^n\left[f(x_{i-1})+4f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)+f(x_i)\right]$$
   • 含义：用离散点近似积分值，适用于无法解析求解的情况。
   • 适用场景：工程计算、机器学习中的数值优化（如梯度近似）。

不定积分的常见形式

1. 基本原函数形式

   • 形式：
     $$\int f(x)dx=F(x)+C$$
   • 含义：直接通过积分公式求出原函数。
   • 适用场景：初等函数积分（如多项式、三角函数）。

2. 分部积分法

   • 形式：
     $$\int u(x)v^{\prime }(x)dx=u(x)v(x)-\int u^{\prime }(x)v(x)dx$$
   • 含义：将复杂积分拆解为更易积分的形式。
   • 适用场景：含乘积函数的积分（如$x{e}^x$。

3. 换元积分法

   • 形式：
     $$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du(u=g(x))$$
   • 含义：通过变量替换简化被积函数。
   • 适用场景：复合函数积分（如$\sin (2x)$。

形式对比与联系

类型	形式/方法	适用场景	计算复杂度
定积分	标准黎曼积分	连续函数有限区间	低
	反常积分	无限区间或奇点函数	中
	数值积分	无法解析求解的函数	高
不定积分	原函数直接积分	初等函数	低
	分部积分	乘积函数	中
	换元积分	复合函数	中

核心联系：

• 所有形式均围绕“积分是导数的逆运算”这一核心思想展开。
• 数值积分是解析积分的近似替代，反常积分是标准积分的极限扩展。

图形化对比

Figure-1: 数值积分的近似效果对比

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义函数和区间
def f(x):return np.sin(x)a, b = 0, np.pi
n = 4  # 分割区间数# 梯形法则
x_trapezoid = np.linspace(a, b, n+1)
y_trapezoid = f(x_trapezoid)
integral_trapezoid = (b - a)/(2*n) * np.sum(y_trapezoid[:-1] + y_trapezoid[1:])# 辛普森法则
x_simpson = np.linspace(a, b, 2*n+1)
y_simpson = f(x_simpson)
integral_simpson = (b - a)/(6*n) * np.sum(y_simpson[:-2:2] + 4*y_simpson[1:-1:2] + y_simpson[2::2])# 真实值
integral_true = -np.cos(b) + np.cos(a)# 绘制图形
x_plot = np.linspace(a, b, 400)
y_plot = f(x_plot)plt.figure(figsize=(12, 5))# 梯形法则
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(x_plot, y_plot, label="f(x) = sin(x)")
plt.fill_between(x_trapezoid, f(x_trapezoid), step="mid", alpha=0.3, color="skyblue")
plt.title(f"梯形法则近似值: {integral_trapezoid:.3f}")
plt.grid(True)# 辛普森法则
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(x_plot, y_plot, label="f(x) = sin(x)")
plt.fill_between(x_simpson, f(x_simpson), step="mid", alpha=0.3, color="lightgreen")
plt.title(f"辛普森法则近似值: {integral_simpson:.3f}")
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()

图形解读：

• 左图：梯形法则用直线段近似曲线，误差较大。
• 右图：辛普森法则用抛物线拟合，更接近真实曲线。
• 结论：数值积分精度随方法复杂度提高（辛普森 > 梯形）。

Figure-2: 反常积分的收敛性对比

def f_convergent(x):return 1 / x**2  # 收敛于 [1, ∞)def f_divergent(x):return 1 / x  # 发散于 [1, ∞)x = np.linspace(1, 10, 400)plt.figure(figsize=(8, 5))
plt.plot(x, f_convergent(x), label="$1/x^2$（收敛）")
plt.plot(x, f_divergent(x), label="$1/x$（发散）", linestyle="--")
plt.axhline(0, color="black", linewidth=0.5)
plt.title("Figure-2: 反常积分的收敛性对比")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

图形解读：

• 实线$1/x^2$随$x\to \infty$快速衰减 → 收敛（面积有限）。
• 虚线$1/x$衰减缓慢 → 发散（面积无限）。
• 结论：反常积分的收敛性取决于被积函数的衰减速率。

总结

• 定积分：从标准形式到数值方法，本质是“分割→近似→求和”，适用于不同复杂度的场景。
• 不定积分：分部积分与换元法是链式法则和乘积法则的逆运算，本质是“还原原始函数”。
• 核心思想：积分形式多样，但核心是“累积求和”与“导数逆运算”的统一。

6. 实际应用场景

场景一：概率密度函数下的面积计算（机器学习中的分类问题）

问题描述：
在机器学习的概率模型（如高斯朴素贝叶斯）中，需计算某个特征值在特定区间内的概率。例如，假设某类别特征服从正态分布$\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2)$如何计算该特征值落在区间 $[a,b]$ 内的概率？

解决步骤：

1. 概率密度函数（PDF）：
   正态分布的PDF为：
   $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$
   概率即为PDF曲线在 $[a,b]$ 区间下的面积。

2. 定积分计算概率：
   $$P(a\le X\le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$
   由于正态分布无解析原函数，需通过数值积分或查表近似计算。

3. 应用场景：

   • 异常检测：若某特征值落在低概率区间（如$P<0.05$，则判定为异常。
   • 分类模型置信度评估：计算预测类别的概率区间。

图形化展示（Figure-5）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.stats import norm# 参数设置
mu, sigma = 0, 1
a, b = -1, 1# 生成PDF曲线
x = np.linspace(-3, 3, 400)
y = norm.pdf(x, mu, sigma)# 绘制PDF及阴影区域
plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(x, y, label="PDF: $\\mathcal{N}(0, 1)$")
plt.fill_between(x, y, where=(x >= a) & (x <= b), color="skyblue", alpha=0.5, label=f"Area = P({a}≤X≤{b})")
plt.axvline(a, color="red", linestyle="--", linewidth=1)
plt.axvline(b, color="red", linestyle="--", linewidth=1)
plt.title("Figure-5: 正态分布下的概率计算（定积分）")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("PDF")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

图形解读：

• 曲线为标准正态分布PDF，阴影区域面积即$P(-1\le X\le 1)\approx 68.27\%$
• 通过定积分量化概率，支撑分类模型的决策边界设计。

场景二：运动学中的位移计算（物理模拟）

问题描述：
已知一辆汽车的速度函数$v(t) = 3t^2 + 2t $（单位：m/s），求其在时间区间 $[1,3]$ 内的总位移。

解决步骤：

1. 速度与位移的关系：
   位移是速度的定积分：
   $$s(t)={\int }_{t_1}^{t_2}v(t)dt$$

2. 解析计算：

   • 求不定积分（原函数）：
     $$\int (3t^2+2t)dt=t^3+t^2+C$$
   • 代入上下限：
     $$s=[3^3+3^2]-[1^3+1^2]=(27+9)-(1+1)=34\text{米}$$

3. 应用场景：

   • 自动驾驶路径规划：通过传感器测得速度函数，实时计算车辆位置。
   • 机器人运动控制：根据加速度指令积分得到速度与位移。

图形化展示（Figure-6）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义速度函数
def v(t):return 3 * t**2 + 2 * t# 时间区间
t = np.linspace(0, 4, 400)
s_true = t**3 + t**2  # 原函数（位移）# 绘制速度曲线与积分面积
plt.figure(figsize=(10, 4))# 速度曲线
plt.subplot(1, 2, 1)
plt.plot(t, v(t), label="$v(t) = 3t^2 + 2t$")
plt.axvspan(1, 3, color="skyblue", alpha=0.3, label="积分区间 [1, 3]")
plt.title("Figure-6-1: 速度函数与积分区间")
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("v(t) (m/s)")
plt.legend()
plt.grid(True)# 位移曲线
plt.subplot(1, 2, 2)
plt.plot(t, s_true, label="$s(t) = t^3 + t^2$", color="green")
plt.scatter([1, 3], [s_true[100], s_true[300]], color="red", zorder=5)
plt.title("Figure-6-2: 位移函数与端点差值")
plt.xlabel("t (s)")
plt.ylabel("s(t) (m)")
plt.legend()
plt.grid(True)plt.tight_layout()
plt.show()

图形解读：

• 左图：速度曲线$v(t)$下的蓝色阴影区域面积即为 $[1,3]$ 秒内的位移。
• 右图：位移函数$s(t)$的端点差$s(3)-s(1)=34\text{米}$验证定积分结果。

总结

1. 机器学习场景：定积分用于量化概率密度函数下的面积，支撑分类与异常检测。
2. 物理工程场景：通过不定积分求解原函数（位移/速度），再利用定积分计算总量。
3. 核心思想：积分是“局部变化率的累积”与“原始函数的还原”的统一工具，广泛应用于概率建模、物理模拟等领域。

7. Python 代码实现

场景一：定积分的数值计算与可视化

目标：计算函数$f(x)=\sin (x)$在区间 $[0,\pi ]$ 上的定积分，并可视化曲线与面积。
代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import quad# 定义被积函数
def f(x):return np.sin(x)# 定积分的数值计算
a, b = 0, np.pi  # 积分区间
integral_value, error = quad(f, a, b)  # 计算积分值及误差# 打印结果
print(f"积分值: {integral_value:.4f} (误差估计: {error:.2e})")# 可视化函数与面积
x = np.linspace(-0.5, 2*np.pi, 400)
y = f(x)plt.figure(figsize=(8, 4))
plt.plot(x, y, label=r"$f(x) = \sin(x)$")
plt.fill_between(x, y, where=(x >= a) & (x <= b), color="skyblue", alpha=0.5, label=f"积分面积 = {integral_value:.4f}")
plt.axvline(a, color="red", linestyle="--", linewidth=1)
plt.axvline(b, color="red", linestyle="--", linewidth=1)
plt.title("Figure-1: 定积分的数值计算与可视化")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

代码解释：

1. 输入参数：
   • f(x)：被积函数（本例为 $\sin (x)$）。
   • a, b：积分区间（本例为 $[0,\pi ]$）。
2. 核心功能：
   • 使用 scipy.integrate.quad 进行数值积分，返回积分值和误差估计。
   • 通过 fill_between 绘制函数曲线下的阴影区域，直观展示积分面积。
3. 输出结果：
   • 积分值（本例应为 2.0），误差估计（接近机器精度）。
   • 图形显示函数曲线与积分区域。

场景二：不定积分的符号计算与可视化

目标：求函数$f(x)=x^2$的不定积分（原函数），并绘制不同积分常数下的曲线族。
代码实现：

import sympy as sp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt# 定义符号变量与函数
x = sp.symbols('x')
f = x**2# 计算不定积分
F = sp.integrate(f, x)# 输出原函数表达式
print(f"原函数 F(x) = {F} + C")# 将符号表达式转换为可计算函数
F_func = sp.lambdify(x, F, 'numpy')# 定义常数 C 的取值
C_values = [-2, 0, 2]
x_vals = np.linspace(-2, 2, 400)# 绘制原函数与不定积分曲线族
plt.figure(figsize=(8, 5))# 原函数（导数）
plt.plot(x_vals, np.vectorize(lambda x_val: f.subs(x, x_val))(x_vals), label=r"$f(x) = x^2$", color="blue")# 不同常数的原函数
for C in C_values:y_vals = F_func(x_vals) + Cplt.plot(x_vals, y_vals, label=f"$F(x) = {F} + {C}$", linestyle="--")plt.title("Figure-2: 不定积分的符号计算与可视化")
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("f(x) / F(x)")
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

代码解释：

1. 输入参数：
   • f(x)：被积函数（本例为 $x^2$）。
2. 核心功能：
   • 使用 sympy.integrate 进行符号积分，返回原函数表达式。
   • 通过 lambdify 将符号表达式转换为可计算的数值函数。
3. 输出结果：
   • 原函数表达式（本例为 $x^3/3+C$）。
   • 图形显示原函数（导数）与不同常数 $C$ 下的原函数曲线族。

总结

• 定积分：通过数值方法（如 quad）计算特定区间的面积，适用于工程与机器学习中的数值优化。
• 不定积分：通过符号计算（如 sympy）直接获得原函数表达式，适用于理论分析与解析解推导。
• 核心思想：代码实现了积分的两种核心形式（数值与符号），并通过图形直观展示其数学意义。

8. 总结与拓展

核心知识点总结

1. 定积分：

   • 定义：通过无限分割区间并累加局部近似值，计算函数在区间上的“总量”（如面积、路程）。
   • 核心工具：黎曼和、微积分基本定理（通过原函数计算积分值）。
   • 应用场景：概率密度函数面积计算、物理运动学中的位移求解。

2. 不定积分：

   • 定义：导数的逆运算，求函数的原函数族（含积分常数$C$。
   • 核心方法：分部积分、换元积分。
   • 几何意义：一族斜率相同的曲线，描述变化率的累积过程。

3. 关键联系：

   • 微积分基本定理将定积分与不定积分统一：
     $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$
   • 数值积分（如梯形法则、辛普森法则）是解析积分的近似替代。

进一步学习方向

1. 高阶积分技术：

   • 多重积分：扩展到二维/三维空间，计算体积、质量分布等（如概率联合分布的积分）。
   • 变限积分与含参积分：研究积分上下限为变量或含参数的积分形式，应用于物理场分析。
   • 勒贝格积分（Lebesgue Integral）：现代数学中更广泛的积分定义，适用于不规则函数和测度论。

2. 微分方程：

   • 常微分方程（ODE）与偏微分方程（PDE）：积分是求解微分方程的核心工具，如神经微分方程（Neural ODEs）在机器学习中的应用。
   • 数值解法：欧拉法、龙格-库塔法等，用于无法解析求解的复杂系统。

3. 概率与统计中的积分应用：

   • 期望与方差：通过概率密度函数的积分计算随机变量的统计特性。
   • 贝叶斯推断：后验分布的归一化常数需通过高维积分求解（如马尔可夫链蒙特卡洛方法）。

4. 机器学习中的优化与积分：

   • 损失函数的积分形式：如交叉熵损失与概率分布的积分关系。
   • 梯度下降的连续化视角：将参数更新视为对梯度场的积分路径优化。

启发式思考

1. 哲学层面：

   • 积分的本质是“无限细分与累加”，这种思想如何映射到现实世界的连续性认知？例如，时间、空间是否真的可无限分割？

2. 工程与数学的平衡：

   • 数值积分的误差来源（如舍入误差、截断误差）如何影响实际计算精度？如何设计鲁棒的积分算法？

3. 跨学科联系：

   • 在经济学中，积分可用于计算消费者剩余（需求曲线下的面积）；在生物学中，积分描述种群增长的累积效应。尝试思考积分在你所在领域的潜在应用。

4. 数学的推广与抽象：

   • 勒贝格积分如何突破黎曼积分的局限性？它对函数可积性的条件放宽了哪些限制？

总结

• 定积分与不定积分是微积分的双翼：前者量化全局总量，后者还原局部变化的原始函数。
• 核心工具链：从符号积分（解析解）到数值积分（近似解），支撑科学计算与工程实践。
• 未来路径：积分思想渗透于概率、物理、机器学习等领域，掌握其本质将为探索高阶数学与应用问题奠定坚实基础。

下一步行动建议：

• 尝试用数值积分计算复杂函数的面积（如$e^{-x^2}$。
• 学习微分方程基础，理解积分在动态系统建模中的作用。
• 阅读《深度学习》（花书）中与概率积分相关的章节，探索其在生成模型中的应用。

9. 练习与反馈

基础题

1. 计算不定积分

   • 求$\int (3x^2+2x+1)dx$
   • 提示：逐项积分，利用幂函数积分公式$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$
   • 答案：
     $$x^3+x^2+x+C$$

2. 计算定积分

   • 求${\int }_0^1(e^x+\sin x)dx$
   • 提示：分开积分$\int e^{x}dx=e^x+C$$ \int \sin x dx = -\cos x + C$
   • 答案：
     $$e^1-e^0+(-\cos 1+\cos 0)=e-1+(1-\cos 1)\approx e-\cos 1$$

3. 微积分基本定理

   • 已知$F(x)={\int }_0^{x}t\cdot e^{t^2}dt$求$F^{\prime }(x)$
   • 提示：直接应用微积分基本定理，若$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$则$F^{\prime }(x)=f(x)$
   • 答案：
     $$F^{\prime }(x)=x\cdot e^{x^2}$$

提高题

4. 分部积分法

   • 求$\int x\cdot \ln xdx$
   • 提示：令$u=\ln x$$ dv = x dx$则$du = \frac{1}{x} dx$$ v = \frac{x^2}{2}$
   • 答案：
     $$\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\cdot \frac{1}{x}dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C$$

5. 换元积分法

   • 求$\int \frac{2x}{x^2+1}dx$
   • 提示：令$u=x^2+1$则$du=2xdx$
   • 答案：
     $$\ln |x^2+1|+C$$

6. 物理应用

   • 一辆汽车的速度函数为$v(t) = 4t + 3 $（单位：m/s），求从$t=1$到$t=3$的总路程。
   • 提示：路程是速度的绝对值积分，但此处$v(t)>0$直接积分即可。
   • 答案：
     $${\int }_1^3(4t+3)dt=[2t^2+3t{]}_1^3=(18+9)-(2+3)=22\text{米}$$

挑战题

7. 数值积分近似

   • 用梯形法则近似${\int }_0^1{e}^{-x^2}dx$取$n=2$个子区间。
   • 提示：梯形法则公式：
     $$\frac{b-a}{2n}\left[f(x_0)+2f(x_1)+f(x_2)\right]$$
     其中$x_0=0,x_1=0.5,x_2=1$
   • 答案：
     $$\frac{1}{4}\left[e^0+2e^{-0.25}+e^{-1}\right]\approx \frac{1}{4}(1+2\cdot 0.7788+0.3679)\approx 0.744$$

8. 反常积分收敛性

   • 判断${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx$的收敛性（$ p$为常数）。
   • 提示：分$p=1$和$p\ne 1$讨论，利用极限${\lim }_{b\to \infty }{\int }_1^b\frac{1}{x^p}dx$
   • 答案：
     • 当$p>1$时收敛（结果为$\frac{1}{p-1}$；
     • 当$p\le 1$时发散。

9. 经济学应用

   • 某商品的需求函数为$D(p)=100-2p$供给函数为$S(p)=3p$求均衡价格$p^{\ast }$下的消费者剩余（Consumer Surplus）。
   • 提示：
     • 均衡价格满足$D(p^{\ast })=S(p^{\ast })$
     • 消费者剩余为需求曲线与均衡价格线之间的面积：
       $${\int }_0^{p^{\ast }}(D(p)-D(p^{\ast }))dp$$
   • 答案：
     • 解$100-2p=3p$得$p^{\ast }=20$
     • 消费者剩余：
       $${\int }_0^{20}[(100-2p)-60]dp={\int }_0^{20}(40-2p)dp=400$$

反馈与答疑

• 常见问题：

  1. 分部积分时如何选择$u$和$dv $？
     • 答：遵循“反对幂指三”原则（优先级：反三角函数 > 对数函数 > 幂函数 > 指数函数 > 三角函数）。
  2. 数值积分误差如何减小？
     • 答：增加子区间数量$n$或改用更高精度方法（如辛普森法则）。
  3. 反常积分与普通积分有何本质区别？
     • 答：反常积分涉及极限过程（如无限区间或奇点），需验证收敛性后才能使用。

• 鼓励思考：

  • 尝试推导微积分基本定理的证明（从定积分定义出发）。
  • 探索积分在机器学习损失函数设计中的作用（如正则化项的积分形式）。