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高等数学第五章---定积分（§5.2微积分基本定理）

news 2025/5/7 14:04:52

§5.2 微积分基本定理

本讲我们将学习微积分中最重要的定理之一——微积分基本定理，它深刻揭示了定积分与不定积分（即求导与积分）之间的内在联系。

一、变限积分函数及其导数

1. 积分上限函数及其导数

定义：积分上限函数
设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续。对于任意的 $\in [a, b]$ ，由于 $f (x)$ 在 $[a, x]$ 上也连续，因此 $f (x)$ 在 $[a, x]$ 上必定可积。这样，积分值 $\int_a^x f(t) \, dt$ 仅与积分上限 $x$ 有关（积分下限 $a$ 和被积函数 $f$ 是确定的），因此它是一个以 $x$ 为自变量的函数。我们称这个函数为积分上限函数，记作：
$\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt, \quad x \in [a, b].$
注意：为了区分积分变量和积分上限，被积函数中的自变量常用 $t$ 或其他字母表示。

定理：积分上限函数的导数
如果函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则积分上限函数 $\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 在区间 $[a, b]$ 上可导，并且其导数为：
$\Phi^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f(t) \, dt \right) = f(x).$

证明：
设 $\in [a,b]$ 。给 $x$ 一个增量 $\Delta x$ ，使得 $x+\Delta x \in [a,b]$ 。
则函数的增量为：
$\Delta \Phi = \Phi(x + \Delta x) - \Phi(x) = \int_a^{x + \Delta x} f(t) \, dt - \int_a^x f(t) \, dt$
根据定积分的区间可加性，我们有：
$\Delta \Phi = \int_x^{x + \Delta x} f(t) \, dt.$
由定积分中值定理可知，在 $x$ 与 $\Delta x$ 之间至少存在一点 $\xi$ （当 $\Delta x > 0$ 时 $\xi \in [x, x+\Delta x]$ ；当 $\Delta x < 0$ 时 $\xi \in [x+\Delta x, x]$ ），使得：
$\Delta \Phi = \int_x^{x + \Delta x} f(t) \, dt = f(\xi) \cdot \Delta x.$
因此，导数定义为：
$\Phi^{\prime}(x) = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta \Phi}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(\xi) \Delta x}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} f(\xi).$
当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时， $\xi$ 必定趋向于 $x$ (因为 $\xi$ 夹在 $x$ 和 $x+\Delta x$ 之间)。由于函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以在点 $x$ 处也连续，故：
$\lim_{\xi \rightarrow x} f(\xi) = f(x).$
所以，
$\Phi^{\prime}(x) = f(x).$

注：
① 原函数存在定理： 该定理表明，如果一个函数 $f (x)$ 连续，那么它的积分上限函数 $\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 就是 $f (x)$ 的一个原函数。这证明了连续函数一定存在原函数（这解决了我们在第四章学习不定积分时遗留的“什么样的函数必有原函数”的问题）。

② 简便记忆： 对积分上限函数 $\int_a^x f(t) \, dt$ 求关于 $x$ 的导数，结果可以直接将被积函数中的积分变量 $t$ 替换为积分上限 $x$ 得到 $f (x)$ 。

③ 上限为函数的复合情况： 若积分上限本身是 $x$ 的函数，设为 $\varphi(x)$ ，即考虑 $\Phi(x) = \int_a^{\varphi(x)} f(t) \, dt$ 。
这时， $\Phi(x)$ 是一个复合函数。令 $\varphi(x)$ ，则 $\Phi(x) = \int_a^u f(t) \, dt$ 。根据复合函数求导法则：
$\Phi^{\prime}(x) = \frac{d\Phi}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \left( \frac{d}{du} \int_a^u f(t) \, dt \right) \cdot \varphi^{\prime}(x) = f(u) \cdot \varphi^{\prime}(x) = f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x).$
特别注意： 这种情况下，求导结果是“上限代入被积函数，再乘以上限的导数”。

2. 积分下限函数及其导数

定义：积分下限函数
设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续。对于任意的 $\in [a, b]$ ，函数 $f (x)$ 在 $[x, b]$ 上也连续且可积。积分值 $\int_x^b f(t) \, dt$ 是关于积分下限 $x$ 的函数，称为积分下限函数，记作：
$\Psi(x) = \int_x^b f(t) \, dt, \quad x \in [a, b].$

积分下限函数的导数：
根据定积分的性质 $\int_x^b f(t) \, dt = -\int_b^x f(t) \, dt$ ，积分下限函数可以转换为积分上限函数的形式。
因此，
$\Psi(x) = \int_x^b f(t) \, dt = -\int_b^x f(t) \, dt.$
对其求导：
$\Psi^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( -\int_b^x f(t) \, dt \right) = - \frac{d}{dx} \left( \int_b^x f(t) \, dt \right) = -f(x).$

注：
① 简便记忆： 积分下限函数求导，结果是“下限代入被积函数，然后添一个负号”。

② 下限为函数的复合情况： 设 $\Psi(x) = \int_{\psi(x)}^b f(t) \, dt$ ，其中 $\psi(x)$ 是 $x$ 的函数。
$\Psi(x) = -\int_b^{\psi(x)} f(t) \, dt.$
令 $\psi(x)$ ，则 $\Psi(x) = -\int_b^u f(t) \, dt$ 。根据复合函数求导法则：
$\Psi^{\prime}(x) = - \left( \frac{d}{du} \int_b^u f(t) \, dt \right) \cdot \frac{du}{dx} = -f(u) \cdot \psi^{\prime}(x) = -f(\psi(x)) \psi^{\prime}(x).$
特别注意： 这种情况下，求导结果是“下限代入被积函数，再乘以下限的导数，最后添一个负号”。

3. 变限积分函数（上下限均为函数）的导数

设 $\Phi(x) = \int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) \, dt$ ，其中 $\psi(x)$ 和 $\varphi(x)$ 均为 $x$ 的可导函数，且 $f (t)$ 连续。
我们可以引入一个常数 $a$ （例如 $a$ 在 $f (t)$ 的定义域内），利用积分区间的可加性：
$\Phi(x) = \int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t) \, dt = \int_{\psi(x)}^{a} f(t) \, dt + \int_{a}^{\varphi(x)} f(t) \, dt = -\int_{a}^{\psi(x)} f(t) \, dt + \int_{a}^{\varphi(x)} f(t) \, dt.$
然后分别对两部分求导：
$\begin{align*} \Phi^{\prime}(x) &= \frac{d}{dx} \left( \int_{a}^{\varphi(x)} f(t) \, dt \right) + \frac{d}{dx} \left( -\int_{a}^{\psi(x)} f(t) \, dt \right) \\ &= f(\varphi(x)) \varphi^{\prime}(x) - f(\psi(x)) \psi^{\prime}(x). \end{align*}$

注：对于变限积分函数（上下限都在变）求导可记作：“上限代入被积函数乘以上限的导数，减去下限代入被积函数乘以下限的导数”。

例题

求 $\frac{d}{dx} \int_0^x e^{2t} \, dt$ .
解：这是积分上限函数求导，上限为 $x$ 。
$\frac{d}{dx} \int_0^x e^{2t} \, dt = e^{2x}.$
求 $\frac{d}{dx} \int_{-x}^1 \cos^2 t \, dt$ .
解：这是积分下限函数求导，下限为 $- x$ 。
$\begin{aligned} \frac{d}{dx} \int_{-x}^1 \cos^2 t \, dt &= \frac{d}{dx} \left( -\int_1^{-x} \cos^2 t \, dt \right) \\ &= -\left( \cos^2(-x) \cdot \frac{d}{dx}(-x) \right) \\ &= -\left( \cos^2 x \cdot (-1) \right) = \cos^2 x. \end{aligned}$
或者直接用公式： $-f(\psi(x))\psi'(x) = - \cos^2(-x) \cdot (-1) = \cos^2 x$ .
求 $\frac{d}{dx} \int_x^{x^2} \sin t \, dt$ .
解：这是上下限均为变量的积分求导。
上限 $\varphi(x) = x^2$ , $\varphi'(x) = 2x$ .
下限 $\psi(x) = x$ , $\psi'(x) = 1$ .
被积函数 $\sin t$ .
$\frac{d}{dx} \int_x^{x^2} \sin t \, dt = \sin(x^2) \cdot (x^2)^{\prime} - \sin(x) \cdot (x)^{\prime} = \sin(x^2) \cdot 2x - \sin(x) \cdot 1 = 2x \sin x^2 - \sin x.$
求 $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin x} e^{t} \, dt}{x}$ .
解：
当 $\rightarrow 0$ 时， $\sin x \rightarrow 0$ ，所以分子 $\int_0^{\sin x} e^{t} \, dt \rightarrow \int_0^0 e^t \, dt = 0$ 。
分母 $\rightarrow 0$ 。
这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的未定式，可以使用洛必达法则。
对分子求导：
$\frac{d}{dx} \left( \int_0^{\sin x} e^{t} \, dt \right) = e^{\sin x} \cdot (\sin x)^{\prime} = e^{\sin x} \cos x.$
对分母求导： $(x)^{'} = 1$ .
因此，
$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{\sin x} e^{t} \, dt}{x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x} \cos x}{1} = e^{\sin 0} \cos 0 = e^0 \cdot 1 = 1 \cdot 1 = 1.$

二、微积分基本公式（牛顿-莱布尼兹公式）

定理：微积分基本公式 (Newton-Leibniz Formula)
设函数 $f (x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $F (x)$ 是 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上的任意一个原函数（即 $F^{'} (x) = f (x)$ ），则
$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).$
这个差值 $F (b) - F (a)$ 也常记作 $\left. F(x) \right|_a^b$ 或 $F(x)]_a^b$ 。

证明：
由原函数存在定理可知，因为 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，所以积分上限函数 $\Phi(x) = \int_a^x f(t) \, dt$ 是 $f (x)$ 的一个原函数，即 $\Phi^{\prime}(x) = f(x)$ 。
又已知 $F (x)$ 也是 $f (x)$ 的一个原函数，即 $F^{\prime}(x) = f(x)$ 。
由于 $\Phi(x)$ 和 $F (x)$ 都是 $f (x)$ 的原函数，它们在同一个区间 $[a, b]$ 上的导数相同，根据拉格朗日中值定理的推论（若在区间 $I$ 上 $G^{'} (x) = H^{'} (x)$ ，则 $G (x) = H (x) + C$ ，其中 $C$ 为常数），可知：
$\Phi(x) = F(x) + C, \quad \text{其中 C 是某个常数.}$
为了确定常数 $C$ ，我们可以取 $x = a$ 代入上式：
$\Phi(a) = \int_a^a f(t) \, dt = 0.$
所以，
$\Rightarrow C = -F(a).$
因此， $\Phi(x) = F(x) - F(a)$ 。
现在，令 $x = b$ ，则：
$\Phi(b) = \int_a^b f(t) \, dt = F(b) - F(a).$
由于定积分的值与积分变量的符号无关，所以 $\int_a^b f(t) \, dt = \int_a^b f(x) \, dx$ 。
故，
$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a).$

注：牛顿-莱布尼兹公式是连接微分学与积分学的桥梁，它使得定积分的计算可以通过找到被积函数的一个原函数来完成，极大地简化了定积分的计算。计算步骤为：

找到被积函数 $f (x)$ 的一个原函数 $F (x)$ （即计算不定积分 $\int f(x)dx$ ）。
计算原函数在积分上限 $b$ 处的值 $F (b)$ 和在积分下限 $a$ 处的值 $F (a)$ 。
两值相减 $F (b) - F (a)$ 即为定积分的值。

例题

计算下列定积分：

(1) $\int_0^1 x^2 \, dx$
解：
被积函数 $f(x) = x^2$ 。它的一个原函数是 $\frac{1}{3} x^3$ (常数 $C$ 可取0)。
所以，
$\int_0^1 x^2 \, dx = \left. \frac{1}{3} x^3 \right|_0^1 = \frac{1}{3} (1)^3 - \frac{1}{3} (0)^3 = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}.$

(2) $\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} \, dx$
解：
被积函数 $\frac{1}{x}$ 。在区间 $[- 2, - 1]$ 上， $x < 0$ ，所以 $∣ x ∣ = - x$ 。
原函数 $\ln|x|$ 。
$\int_{-2}^{-1} \frac{1}{x} \, dx = \left. \ln|x| \right|_{-2}^{-1} = \ln|-1| - \ln|-2| = \ln 1 - \ln 2 = 0 - \ln 2 = -\ln 2.$

(3) $\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} \, dx$
解：
被积函数 $\frac{1}{1+x^2}$ 。原函数 $\arctan x$ 。
$\int_1^{\sqrt{3}} \frac{1}{1+x^2} \, dx = \left. \arctan x \right|_1^{\sqrt{3}} = \arctan \sqrt{3} - \arctan 1 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - 3\pi}{12} = \frac{\pi}{12}.$
(原文公式中上下限写反了 $\arctan x \left|_{\sqrt{3}}^1 \right.$ 应该是 $\arctan x \left|_1^{\sqrt{3}} \right.$ )

(4) $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ (原题上限为 $\sqrt{3}$ ，但 $\arcsin \sqrt{3}$ 无定义，应为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ )
解：
被积函数 $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ 。原函数 $\arcsin x$ 。
(假设题目是 $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx$ 以确保定义域)
$\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \, dx = \left. \arcsin x \right|_{\frac{1}{2}}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} - \arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}.$

(5) $\int_{-1}^3 |2-x| \, dx$
解：
被积函数含有绝对值，需要先去掉绝对值符号。
$\begin{cases} 2-x, & \text{if } 2-x \ge 0 \text{ (i.e., } x \le 2) \\ -(2-x) = x-2, & \text{if } 2-x < 0 \text{ (i.e., } x > 2) \end{cases}$
积分区间 $[- 1, 3]$ 被点 $x = 2$ 分为 $[- 1, 2]$ 和 $[2, 3]$ 。根据定积分的区间可加性：
$\begin{aligned} \int_{-1}^3 |2-x| \, dx &= \int_{-1}^2 (2-x) \, dx + \int_2^3 (x-2) \, dx \\ &= \left[ 2x - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^2 + \left[ \frac{x^2}{2} - 2x \right]_2^3 \\ &= \left( (2(2) - \frac{2^2}{2}) - (2(-1) - \frac{(-1)^2}{2}) \right) + \left( (\frac{3^2}{2} - 2(3)) - (\frac{2^2}{2} - 2(2)) \right) \\ &= \left( (4 - 2) - (-2 - \frac{1}{2}) \right) + \left( (\frac{9}{2} - 6) - (2 - 4) \right) \\ &= \left( 2 - (-\frac{5}{2}) \right) + \left( -\frac{3}{2} - (-2) \right) \\ &= \left( 2 + \frac{5}{2} \right) + \left( -\frac{3}{2} + 2 \right) \\ &= \frac{9}{2} + \frac{1}{2} = \frac{10}{2} = 5. \end{aligned}$

注：关于错误计算的警示
考虑计算 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \, dx$ 。
如果错误地直接套用牛顿-莱布尼兹公式：
$\int x^{-2} dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$ .
则 $\int_{-1}^1 \frac{1}{x^2} \, dx = \left. -\frac{1}{x} \right|_{-1}^1 = \left(-\frac{1}{1}\right) - \left(-\frac{1}{-1}\right) = -1 - 1 = -2 \quad (\times \text{ 错误!})$
为什么错误？ 牛顿-莱布尼兹公式要求被积函数 $f (x)$ 在积分区间 $[a, b]$ 上连续。而函数 $\frac{1}{x^2}$ 在 $x = 0$ 处有无穷间断点（第二类间断点）， $x = 0$ 位于积分区间 $[- 1, 1]$ 内部。因此，不能直接应用牛顿-莱布尼兹公式。这种积分属于广义积分（或称反常积分），需要特殊处理。
求 $\int_0^x (t-1) \, dt$ 的极值。
解：
这是一个变限积分函数。求其极值与一般函数求极值的步骤类似：求导数、找驻点、判断极值。
首先求 $f^{'} (x)$ ：
$f^{\prime}(x) = \frac{d}{dx} \left( \int_0^x (t-1) \, dt \right) = x - 1.$
令 $f^{\prime}(x) = 0$ ，得驻点 $\Rightarrow x = 1$ 。
求二阶导数 $f^{\prime\prime}(x)$ ：
$f^{\prime\prime}(x) = (x-1)^{\prime} = 1.$
在 $x = 1$ 处， $f^{\prime\prime}(1) = 1 > 0$ 。根据极值判别的第二充分条件，函数在 $x = 1$ 处取得极小值。
极小值为：
$\int_0^1 (t-1) \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} - t \right]_0^1 = \left( \frac{1^2}{2} - 1 \right) - \left( \frac{0^2}{2} - 0 \right) = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}.$
所以， $f (x)$ 的极小值为 $-\frac{1}{2}$ ，在 $x = 1$ 处取得。
设 $f (x)$ 具有连续导数，求 $\int_a^x (x-t) f^{\prime}(t) \, dt$ 的导数 $F^{\prime}(x)$ 。
解：
$F (x)$ 是变限积分函数，但被积表达式 $(x - t) f^{'} (t)$ 中含有积分上限 $x$ ，不能直接套用 $\frac{d}{dx}\int_a^x g(t)dt = g(x)$ 的公式。
需要先将被积函数中的 $x$ 处理掉，方法是将其看作对 $t$ 积分时的常数提出积分号，或者将积分拆开。
$\begin{aligned} F(x) &= \int_a^x (x f^{\prime}(t) - t f^{\prime}(t)) \, dt \\ &= \int_a^x x f^{\prime}(t) \, dt - \int_a^x t f^{\prime}(t) \, dt \\ &= x \int_a^x f^{\prime}(t) \, dt - \int_a^x t f^{\prime}(t) \, dt \quad \text{(因为 x 对 t 而言是常数)} \end{aligned}$
现在对 $F (x)$ 求导。第一项 $\int_a^x f^{\prime}(t) \, dt$ 是两个关于 $x$ 的函数的乘积，需要用乘积求导法则。第二项 $\int_a^x t f^{\prime}(t) \, dt$ 是标准的积分上限函数求导。
$\begin{aligned} F^{\prime}(x) &= \frac{d}{dx} \left( x \int_a^x f^{\prime}(t) \, dt \right) - \frac{d}{dx} \left( \int_a^x t f^{\prime}(t) \, dt \right) \\ &= \left( (x)^{\prime} \cdot \int_a^x f^{\prime}(t) \, dt + x \cdot \frac{d}{dx} \left( \int_a^x f^{\prime}(t) \, dt \right) \right) - \left( x f^{\prime}(x) \right) \\ &= \left( 1 \cdot \int_a^x f^{\prime}(t) \, dt + x \cdot f^{\prime}(x) \right) - x f^{\prime}(x) \\ &= \int_a^x f^{\prime}(t) \, dt + x f^{\prime}(x) - x f^{\prime}(x) \\ &= \int_a^x f^{\prime}(t) \, dt \end{aligned}$
由于 $f (x)$ 是 $f^{'} (x)$ 的一个原函数 (因为 $f (x)$ 具有连续导数 $f^{'} (x)$ )，根据牛顿-莱布尼兹公式：
$\int_a^x f^{\prime}(t) \, dt = \left. f(t) \right|_a^x = f(x) - f(a).$
所以， $F^{\prime}(x) = f(x) - f(a)$ .

注：在处理形如 $\int_a^{\varphi(x)} g(x,t) \, dt$ 的积分求导时，若被积函数 $g (x, t)$ 同时含有 $x$ 和 $t$ ，必须先通过变量代换（如莱布尼茨公式）或如本例中的方法将 $x$ 移出积分号（如果可以）或展开，才能正确应用求导法则。
利用定积分定义计算 $\int_0^1 x^2 \, dx$ 。

解：
函数 $f(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上连续，因此可积。
为了利用定义计算，我们可以采取特殊的分割方式和特殊的点 $\xi_i$ 的取法。
1. 分割： 将区间 $[0, 1]$ 作 $n$ 等分，则每个小구间的长度为 $\Delta x_i = \Delta x = \frac{1-0}{n} = \frac{1}{n}$ 。
  分点为 $x_i = 0 + i \cdot \frac{1}{n} = \frac{i}{n}$ （ $\dots, n$ ）。
  第 $i$ 个小区间为 $[x_{i-1}, x_i] = \left[\frac{i-1}{n}, \frac{i}{n}\right]$ 。
2. 取点： 在每个小区间 $x_{i-1}, x_i]$ 上取右端点作为 $\xi_i$ ，即 $\xi_i = x_i = \frac{i}{n}$ 。
3. 作和：
  $\sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i = \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^n \left(\frac{i}{n}\right)^2 \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2.$
4. 取极限： 当 $n$ 等分时， $\Delta x = \frac{1}{n} \rightarrow 0$ 等价于 $\rightarrow \infty$ 。
  我们知道平方和公式： $\sum_{i=1}^n i^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ 。
  $\begin{aligned} \int_0^1 x^2 \, dx &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2 \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3} \\ &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1 \cdot (1+\frac{1}{n})(2+\frac{1}{n})}{6} \\ &= \frac{1 \cdot (1+0)(2+0)}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \end{aligned}$
  这与用牛顿-莱布尼兹公式计算的结果一致。
注：
直接用定义计算定积分通常比较复杂。然而，这个过程反过来看，提供了一种计算特定形式数列极限的方法。即，如果一个数列极限可以化为 $\lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i$ 的形式，那么就可以通过计算相应的定积分 $\int_a^b f(x)dx$ 来得到极限值。
例如，计算极限 $\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^3} \left( 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 \right)$ ，就可以将其看作是 $\int_0^1 x^2 \, dx$ 的定义过程，从而利用牛顿-莱布尼兹公式得到结果 $\frac{1}{3}$ 。
计算 $\lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+n} \right)$

解：
这是一个求和式的极限，可以尝试将其转化为定积分的形式。
$S_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+n} = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n+i}.$
为了凑出 $\frac{1}{n}$ 和 $f(\frac{i}{n})$ 的形式，我们从分母中提出 $n$ ：
$S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{n(1+\frac{i}{n})} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+\frac{i}{n}}.$
这个形式正好是定积分 $\int_0^1 f(x) \, dx$ 定义中，将区间 $[0, 1]$ $n$ 等分，取 $\Delta x = \frac{1}{n}$ ， $\xi_i = \frac{i}{n}$ （右端点）时的黎曼和。
这里 $\frac{1}{1+x}$ ，积分区间是 $[0, 1]$ 。
所以，
$\begin{aligned} \lim_{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{n+n} \right) &= \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+\frac{i}{n}} \\ &= \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, dx \\ &= \left[ \ln|1+x| \right]_0^1 \\ &= \ln(1+1) - \ln(1+0) \\ &= \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2. \end{aligned}$

总结

本讲我们学习了微积分的两个核心内容：

变限积分函数的导数： $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$ ，及其推广形式，揭示了积分运算是求导运算的逆运算之一，并证明了连续函数的原函数存在性。
牛顿-莱布尼兹公式： $\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$ ，它将定积分的计算与不定积分（求原函数）紧密联系起来，是计算定积分最基本和最重要的方法。