使用直觉理解不等式

问题是这个：

题目
探究
∣ max ⁡ b { q 1 ( z , b ) } − max ⁡ b { q 2 ( z , b ) } ∣ ≤ max ⁡ b ∣ q 1 ( z , b ) − q 2 ( z , b ) ∣ |\max_b\{q_1(z,b)\}-\max_b\{q_2(z,b)\}|\le\max_b|q_1(z,b)-q_2(z,b)| ∣maxb​{q1​(z,b)}−maxb​{q2​(z,b)}∣≤maxb​∣q1​(z,b)−q2​(z,b)∣是否正确。
其中$b$在某个有限集里面，对$b$而言，这些有限集都是同一个。

说实话，这个东东到底对不对我直接看还真看不出来。但是，我突然有了一个灵感——既然$b$的取值是有限个，能不能利用这个点，把不等式左右的东西可视化？

于是，我想到了一些可能的示意图，也许通过观察这些示意图就可以知道如何证明或者证伪这个不等式：

这样，不等式中的一些关键部分就表示在图上了。我们分别考察不等式左边右边究竟是什么。
不等式左边：

不等式右边：

看起来很对，真的是这么回事吗？
再观察一下，是不是要构造一个中介来证明这个不等式。

于是我猜测
∣ max ⁡ b { q 1 ( z , b ) } − max ⁡ b { q 2 ( z , b ) } ∣ ≤ ∣ max ⁡ b { q 1 ( z , b ) } − q 2 ( z , arg max ⁡ b { q 1 ( z , b ) } ) ∣ ≤ max ⁡ b ∣ q 1 ( z , b ) − q 2 ( z , b ) ∣ |\max_b\{q_1(z,b)\}-\max_b\{q_2(z,b)\}|\le|\max_b\{q_1(z,b)\}-q_2(z, \argmax_b{\{q_1(z,b)\}})|\le\max_b|q_1(z,b)-q_2(z,b)| ∣maxb​{q1​(z,b)}−maxb​{q2​(z,b)}∣≤∣maxb​{q1​(z,b)}−q2​(z,argmaxb​{q1​(z,b)})∣≤maxb​∣q1​(z,b)−q2​(z,b)∣
后面那个不等式显然成立，所以接下来重点看前半部分。
很遗憾，这个猜测并不对，我们重新构造中介。