[预备知识]6. 优化理论（二）

优化理论

本章节介绍深度学习中的高级优化技术，包括学习率衰减、梯度裁剪和批量归一化。这些技术能够显著提升模型的训练效果和稳定性。

学习率衰减（Learning Rate Decay）

数学原理与可视化

学习率衰减策略的数学表达：

1. 步进式衰减：
   $${\alpha }_t={\alpha }_0\times {\gamma }^{\lfloor t/s\rfloor }$$
   其中$s$为衰减周期，$\gamma$为衰减因子

2. 指数衰减：
   $${\alpha }_t={\alpha }_0\times e^{-\gamma t}$$

3. 余弦衰减：
   $${\alpha }_t={\alpha }_{\text{min}}+\frac{1}{2}({\alpha }_0-{\alpha }_{\text{min}})(1+\cos (\frac{t\pi }{T}))$$

import matplotlib.pyplot as plt# 衰减策略可视化
epochs = 100
initial_lr = 0.1# 计算各策略学习率
step_lrs = [initial_lr * (0.1 ** (i//30)) for i in range(epochs)]
expo_lrs = [initial_lr * (0.95 ** i) for i in range(epochs)]
cosine_lrs = [0.01 + 0.5*(0.1-0.01)*(1 + np.cos(np.pi*i/epochs)) for i in range(epochs)]# 绘制对比图
plt.figure(figsize=(12,6))
plt.plot(step_lrs, label='Step Decay (每30步×0.1)')
plt.plot(expo_lrs, label='Exponential Decay (γ=0.95)')
plt.plot(cosine_lrs, label='Cosine Decay (T=100)')
plt.title("不同学习率衰减策略对比", fontsize=14)
plt.xlabel("训练周期", fontsize=12)
plt.ylabel("学习率", fontsize=12)
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)

最佳实践

# 组合使用多种调度器
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.1)# 前50步使用余弦衰减
scheduler1 = CosineAnnealingLR(optimizer, T_max=50)
# 之后使用步进衰减
scheduler2 = StepLR(optimizer, step_size=10, gamma=0.5)for epoch in range(100):train(...)if epoch < 50:scheduler1.step()else:scheduler2.step()

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梯度裁剪（Gradient Clipping）

数学原理

梯度裁剪通过限制梯度范数防止参数更新过大：
$$\text{if }\Vert g\Vert >c:g\leftarrow \frac{c}{\Vert g\Vert }g$$
其中$c$为裁剪阈值，$\Vert g\Vert$为梯度范数

梯度动态可视化

import torch
import torch.nn as nn
import torch.optim as optim
import matplotlib.pyplot as plt# 定义一个简单的模型
class SimpleModel(nn.Module):def __init__(self):super(SimpleModel, self).__init__()self.fc = nn.Linear(10, 1)def forward(self, x):return self.fc(x)# 初始化模型、优化器和损失函数
model = SimpleModel()
optimizer = optim.SGD(model.parameters(), lr=0.01)
criterion = nn.MSELoss()grad_norms = []
clipped_grad_norms = []for _ in range(1000):# 生成随机输入和目标inputs = torch.randn(32, 10)targets = torch.randn(32, 1)# 前向传播outputs = model(inputs)loss = criterion(outputs, targets)# 反向传播optimizer.zero_grad()loss.backward()# 记录裁剪前梯度grad_norms.append(torch.norm(torch.cat([p.grad.view(-1) for p in model.parameters()])))# 执行裁剪torch.nn.utils.clip_grad_norm_(model.parameters(), max_norm=1.0)# 记录裁剪后梯度clipped_grad_norms.append(torch.norm(torch.cat([p.grad.view(-1) for p in model.parameters()])))# 更新参数optimizer.step()# 绘制梯度变化
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(grad_norms, alpha=0.6, label='Original Gradient Norm')
plt.plot(clipped_grad_norms, alpha=0.6, label='Clipped Gradient Norm')
plt.axhline(1.0, color='r', linestyle='--', label='Clipping Threshold')
plt.yscale('log')
plt.title("Gradient Clipping Effect Monitoring", fontsize=14)
plt.xlabel("Training Steps", fontsize=12)
plt.ylabel("Gradient L2 Norm (log scale)", fontsize=12)
plt.legend()
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.show()

实践技巧

1. RNN中推荐值：LSTM/GRU 中 max_norm 取 1.0 或 2.0
2. 结合学习率：较高学习率需配合较小裁剪阈值
3. 监控策略：定期输出梯度统计量

print(f"梯度均值: {grad.mean().item():.3e} ± {grad.std().item():.3e}")

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批量归一化（Batch Normalization）

数学推导

对于输入批次 B = { x 1 , . . . , x m } B = \{x_1,...,x_m\} B={x1​,...,xm​}：

1. 计算统计量：
   $$\begin{gathered} {\mu }_B=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{x}_i \\ {\sigma }_B^2=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(x_i-{\mu }_B{)}^2 \end{gathered}$$
2. 标准化：
   $${\hat{x}}_i=\frac{x_i-{\mu }_B}{\sqrt{{\sigma }_B^2+ϵ}}$$
3. 仿射变换：
   $$y_i=\gamma {\hat{x}}_i+\beta$$

训练/评估模式对比

import torch.nn as nn
import torch
# 创建BN层
bn = nn.BatchNorm1d(64)# 训练模式
bn.train()
for _ in range(100):x = torch.randn(32, 64)  # 批大小32y = bn(x)
print("训练模式统计:", bn.running_mean[:5].detach().numpy())  # 显示部分通道# 评估模式
bn.eval()
with torch.no_grad():x = torch.randn(32, 64)y = bn(x)
print("评估模式统计:", bn.running_mean[:5].detach().numpy())

可视化BN效果

# 生成模拟数据
data = torch.cat([torch.normal(2.0, 1.0, (100, 1)),torch.normal(-1.0, 0.5, (100, 1))
], dim=1)# 应用BN
bn = nn.BatchNorm1d(2)
output = bn(data)# 绘制分布对比
plt.figure(figsize=(12,6))
plt.subplot(1,2,1)
sns.histplot(data[:,0], kde=True, label='原始特征1')
sns.histplot(data[:,1], kde=True, label='原始特征2')
plt.title("Distribution of features before BN")plt.subplot(1,2,2)
sns.histplot(output[:,0], kde=True, label='BN后特征1')
sns.histplot(output[:,1], kde=True, label='BN后特征2') 
plt.title("Distribution of features after BN")plt.tight_layout()

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技术组合应用案例

图像分类任务

# 自定义CNN模型
class CustomCNN(nn.Module):def __init__(self):super().__init__()# 卷积层 使用BNself.conv_layers = nn.Sequential(nn.Conv2d(3, 64, 3),nn.BatchNorm2d(64),nn.ReLU(),nn.MaxPool2d(2),nn.Conv2d(64, 128, 3),nn.BatchNorm2d(128),nn.ReLU(),nn.MaxPool2d(2),)# 全连接层self.fc = nn.Linear(128*5*5, 10)def forward(self, x):x = self.conv_layers(x)return self.fc(x.view(x.size(0), -1))# 初始化模型、优化器和调度器
model = CustomCNN()
optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=0.1, momentum=0.9, weight_decay=1e-4)
scheduler = CosineAnnealingLR(optimizer, T_max=200)# 带梯度裁剪的训练循环
max_grad_norm = 5.0  # 裁剪阈值
for epoch in range(200):model.train()  # 模型进入训练模式for inputs, targets in train_loader:  # 训练数据加载器outputs = model(inputs)  # 前向传播loss = F.cross_entropy(outputs, targets)  # 计算损失optimizer.zero_grad()  # 梯度清零loss.backward()  # 反向传播# 梯度裁剪torch.nn.utils.clip_grad_norm_(model.parameters(), max_grad_norm)optimizer.step()  # 参数更新scheduler.step()  # 学习率更新

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关键技术总结

技术	主要作用	典型应用场景	注意事项
学习率衰减	精细收敛	深层网络训练	配合warmup效果更佳
梯度裁剪	稳定训练	RNN、Transformer	阈值需随batch size调整
批量归一化	加速收敛	CNN、全连接网络	小batch效果差

组合策略建议

1. CNN架构：BN + 动量SGD + 余弦衰减
2. RNN架构：梯度裁剪 + Adam + 步进衰减
3. Transformer：预热 + 梯度裁剪 + AdamW

# Transformer优化示例
optimizer = torch.optim.AdamW(model.parameters(), lr=3e-4, betas=(0.9, 0.98))
scheduler = torch.optim.lr_scheduler.LambdaLR(optimizer,lr_lambda=lambda step: min(step**-0.5, step*(4000**-1.5))  # 预热
)