一种快速计算OTA PSRR的方法（Ⅰ）

序言:最近碰到了一道有趣的习题，让我重新思考了下如何计算运放的PSRR，再结合相关论文，现将所思所想分享出来，欢迎大家讨论。

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1.从Razavi的一道习题引入

题目要求计算电路的PSRR，已知PSRR定义为信号增益除以电源增益，再列出表达式可发现分子分母中的输出阻抗Rout已经抵消。

所以PSRR实际就等于信号增益跨导除以电源跨导。

其中信号增益好计算，因管子M1和M2中只有M2对增益起作用，故等效Gm=1/2*gm2。

接下来怎么计算电源跨导Gmp？

我们分析放大电路可知，从Vdd到Vout（计算Gm时Vout视为交流地）有三条影响路径，其中2和3可以一起分析。

1）第一条路径需要计算M1和折叠过来的M2的等效输出阻抗，这里既可以将其视作cascode结构（我就这么算的），也可以直接套用P153的结论——从M1和M2的漏端看下去的等效阻抗为2*ro1；

2）第二和第三条路径这两适合放一起看。

首先对于二极管连接形式的M3管，其固定了一个偏置电流Ibias，因此在Vdd波动时，其gate和drain端都要保证产生同样的波动，不然就无法保证Ibias不变。

再考虑实际情况下M4管的source也在同频同相波动，则M4的栅源电压Vgs（小信号）实际上约等于0。那么Vdd想影响到Vout就只能通过ro4。

最后将各支路的Gmp相加便得到总Gmp，再做个除法便得到PSRR。

以上就是这道题的全部解答过程了。

问题来了，已知求运放的PSRR本质上就是求两个跨导的比，有那么多OTA以及其变形，总不可能一个一个分析吧，有没有简单点的方法来求等效电源跨导啊？

有的兄弟，有的。

2.OTA的PSRR计算

2.1计算方法

首先确定我们的研究对象，简单起见先研究不带反馈环路的单级OTA。

接下来介绍计算方法。

我们要做的是画一个包含电源Vdd（或Vss）的闭合路径，使其仅切割电源的各个支路一次。

具体计算细节如下：

1）每一次电路切割都将各电路分支划分为两个切割侧。在「某一切割侧通常」存在指向增益节点的电流传递函数。

且该电流传递函数定义为：流入增益节点（因增益节点为交流接地，电流最终流入交流地）的电流与施加于该切割侧的电流之比。

若任一切割侧均不存在电流传递函数，则对应分支对子电路的电源抑制比（PSSR）无影响。

数学表达：

设切割侧电流为 Icut，流入增益节点电流为 Igain，电流传递函数为 H=Igain/Icut。

2）如果其中一个切割侧存在电流传递函数，则该支路的电源跨导Gmp等于另一个切割侧的导纳 y2乘以比率 y1/（ y1+ y2 ）（y1是存在电流传递函数的切割侧的导纳），再乘电流传递函数H 。

数学表达：

这个乘积体现出了该电路分支对子电路 PSRR 的贡献，子电路的总跨导等于各分支电路的跨导之和。

在通常的电路设计中，y1 / y2远小于 1（故y1/（y1+y2）≈1，一个重要的假设前提）。

因此，电源跨导约为。

看上面这一溜是不有点晕了，没事接下来看几个例子就都明白了。

2.2实例计算—以常见OTA为例

2.2.1 Current Mirror OTA

以CM OTA为例，先解释背后原理，再计算PSRR。

使用上述计算方法有一个重要前提，就是像M5管的gate电压会因为偏置电路（比如右边紫色方框）的钳位而跟随电源波动，这样从M5的source看下去的输出阻抗就为

再结合定义式的实际物理含义，很容易理解该方法其实就是先近似求解支路电流，再乘电流镜的电流增益。

现在我们来求PSRR，首先定义好方向。

向某一侧切口注入电流Icut，如果输出电流Igain流向增益节点则符号为正，反之为负。

1)关于符号：

比如cut a，向M8的drain注入电流，最后电流方向为流出增益节点，那么符号为负。

再看cut b，向M3的drain注入电流，最后电流方向为流向增益节点，那么符号为正。

剩下两个就不多说了。

2)关于寄生电容Cp：

（忽略漏源电容）

以第一条支路为例，若是CMOS工艺，那就等于drain和n-well的电容，再加上drain和gate的寄生电容。

本质上就是切口a到电源轨Vdd的寄生电容。

其他以此类推。

2.2.2 5T-OTA

另一个经典的OTA是5T-OTA（用偏置电流Ib代替尾电流管），其相较CM OTA特殊的地方在于，cut a所在支路电流有两条路径到增益节点，所以计算结果乘以二。

2.2.3 Telescopic Cascode OTA

分析思路和5T-OTA类似，不同的地方在于套筒式OTA能够提供更大的输出阻抗，从而有效提升了PSRR的低频表现。

但如果cascode管子的尺寸和驱动管类似，那么采用Cascode架构一点也不会提升高频PSRR（f3dB<f<GBW）。

这个也很好理解，仔细观察会发现上述OTA的PSRR表达式，它等效于一个单极点的运放增益表达式，跨导Gm和负载电容（寄生电容）决定了GBW大小。

后续将在3.2.4节仿真验证该观点。

2.2.4 Folded Cascode OTA

折叠式OTA的切割刀法和套筒式一样，只是多了两条差分输入管M1、M2所在支路，在分析PSRR,Vdd时，需要要将这两支路断开。

既可以从高输入阻抗等效为断路角度理解，也可以从电流流向角度考虑，因为从Vdd流向M1、M2所在支路的电流是无论怎样如何都不会流向输出节点。

注意！这是在分析PSRR,Vdd！

注意！这是在分析PSRR,Vdd！

注意！这是在分析PSRR,Vdd！（重要的事情说三遍）

如果分析PSRR,Vss，就一定需要考虑这两条支路的影响。

2.3再看习题

再看拉书上的这道习题，是不是一下秒杀了？

就如同你已经学会大学的微积分了，再回头做小学的加减乘除一般。

下一部分将仿真验证上述计算结果。

3.参考资料

1.M. S. J. Steyaert and W. M. C. Sansen, "Power supply rejection ratio in operational transconductance amplifiers."

2.Choi, J, Kweon, SJ & Jeon, H 2023, 'Single-Stage CMOS Operational Transconductance Amplifiers (OTAs): A Design Tutorial.'

3.B.Razavi, Design of Analog CMOS Integrated Circuits(2nd)