高斯-牛顿法与列文伯格-马夸尔特法：非线性优化的理论推导与C++实现

高斯-牛顿法与列文伯格-马夸尔特法：非线性优化的理论推导与C++实现

一、非线性优化算法概述

在SLAM（Simultaneous Localization and Mapping，同时定位与建图）领域，非线性优化问题是核心挑战之一。其本质在于从一系列带有噪声的测量数据中，精确估计出机器人的位姿和地图信息。为了实现这一目标，需要构建合适的误差函数来衡量测量值与预测值之间的差异。

常见的误差函数构建方法有重投影误差和光度误差。重投影误差是将地图点投影到相机成像平面，计算投影点与实际观测点之间的像素误差，它在视觉SLAM中广泛应用，能有效利用图像特征点信息。光度误差则是基于图像的灰度信息，通过最小化不同视角下图像块的光度差异来优化位姿，适用于纹理丰富的场景。

通常，这些误差函数的构建基于单峰性假设，即假设误差函数只有一个全局最优解。在实际应用中，虽然误差函数可能存在多个局部最优解，但在合理的初始估计和数据质量下，单峰性假设能简化优化过程。

高斯牛顿法和列文伯格 - 马夸尔特法（LM）是解决非线性优化问题的常用算法。高斯牛顿法计算效率高，在误差函数接近二次函数且初始值较好时，收敛速度快。例如在VSLAM系统的前端，当相机运动较为缓慢，初始位姿估计较准确时，高斯牛顿法能快速完成特征点的匹配和位姿优化。

而LM算法则具有更强的鲁棒性，它通过引入阻尼因子，在迭代过程中自适应调整步长，避免陷入局部最优。在VSLAM系统的后端，由于累积误差的存在，初始值可能偏离真实值较大，此时LM算法能更好地处理这种情况，保证优化的稳定性。

二、高斯-牛顿法理论推导

1．非线性最小二乘问题建模

在非线性优化中，核心是解决非线性最小二乘问题。通常，我们有一系列的测量值，希望找到一组参数 $\mathbf{x}$ 使得误差函数 $f(\mathbf{x})$ 的平方和最小，即 ${\min }_{\mathbf{x}}{\sum }_{i=1}^m{f}_i^2(\mathbf{x})$ 。

为了求解这个问题，需要对误差函数进行线性化。假设误差函数 $f(\mathbf{x})$ 是关于参数 $\mathbf{x}$ 的非线性函数，在当前估计值 ${\mathbf{x}}_k$ 附近进行泰勒展开：

$$f({\mathbf{x}}_k+\Delta \mathbf{x})\approx f({\mathbf{x}}_k)+J({\mathbf{x}}_k)\Delta \mathbf{x}$$

其中，$J({\mathbf{x}}_k)$ 是误差函数 $f(\mathbf{x})$ 在 ${\mathbf{x}}_k$ 处的雅可比矩阵，其元素 $J_{ij}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}$ 。

雅可比矩阵的构建方法是对每个误差函数 $f_i$ 关于每个参数 $x_j$ 求偏导数。通过这种方式，将非线性的误差函数近似为线性函数。

迭代求解框架基于上述线性化结果。每次迭代时，先计算当前的雅可比矩阵 $J({\mathbf{x}}_k)$ ，然后求解一个线性方程组来得到参数的更新量 $\Delta \mathbf{x}$ ，更新参数 ${\mathbf{x}}_{k+1}={\mathbf{x}}_k+\Delta \mathbf{x}$ ，重复这个过程直到满足收敛条件。

2．高斯-牛顿迭代方程推导

设误差函数为 $\mathbf{f}(\mathbf{x})=[f_1(\mathbf{x}),f_2(\mathbf{x}),\cdots ,f_m(\mathbf{x}){]}^T$ ，目标是最小化误差函数的平方和 $$F(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\mathbf{f}(\mathbf{x}{)}^T\mathbf{f}(\mathbf{x})$$

在当前估计值 ${\mathbf{x}}_k$ 附近，将 $\mathbf{f}({\mathbf{x}}_k+\Delta \mathbf{x})$ 进行一阶泰勒展开：$$\mathbf{f}({\mathbf{x}}_k+\Delta \mathbf{x})\approx \mathbf{f}({\mathbf{x}}_k)+J({\mathbf{x}}_k)\Delta \mathbf{x}$$ ，其中 $J({\mathbf{x}}_k)$ 是雅可比矩阵。

将其代入 $F(\mathbf{x})$ 中可得：

F ( x k + Δ x ) ≈ 1 2 ( f ( x k ) + J ( x k ) Δ x ) T ( f ( x k ) + J ( x k ) Δ x ) F(\mathbf{x}_k + \Delta\