【天外之物】叉乘（向量积）的行列式表示方法
叉乘（向量积）的行列式表示方法如下：
步骤说明：
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构造3×3矩阵：
将三维向量叉乘转换为行列式的形式，需构造一个包含单位向量 i , j , k \mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k} i,j,k 和原向量分量的矩阵：
A × B = ∣ i j k a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 ∣ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} A×B= ia1b1ja2b2ka3b3
其中 A = ( a 1 , a 2 , a 3 ) \mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3) A=(a1,a2,a3) 和 B = ( b 1 , b 2 , b 3 ) \mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3) B=(b1,b2,b3)。 -
按第一行展开行列式：
使用行列式展开规则（拉普拉斯展开），沿第一行展开：
A × B = i ⋅ ∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ − j ⋅ ∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ + k ⋅ ∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} A×B=i⋅ a2b2a3b3 −j⋅ a1b1a3b3 +k⋅ a1b1a2b2 -
计算2×2子行列式：
分别计算三个子行列式的值：- 第一项（对应 i \mathbf{i} i）：
∣ a 2 a 3 b 2 b 3 ∣ = a 2 b 3 − a 3 b 2 \begin{vmatrix} a_2 & a_3 \\ b_2 & b_3 \end{vmatrix} = a_2 b_3 - a_3 b_2 a2b2a3b3 =a2b3−a3b2 - 第二项（对应 j \mathbf{j} j，注意符号为负）：
∣ a 1 a 3 b 1 b 3 ∣ = a 1 b 3 − a 3 b 1 ⇒ − ( a 1 b 3 − a 3 b 1 ) = a 3 b 1 − a 1 b 3 \begin{vmatrix} a_1 & a_3 \\ b_1 & b_3 \end{vmatrix} = a_1 b_3 - a_3 b_1 \quad \Rightarrow \quad - (a_1 b_3 - a_3 b_1) = a_3 b_1 - a_1 b_3 a1b1a3b3 =a1b3−a3b1⇒−(a1b3−a3b1)=a3b1−a1b3 - 第三项（对应 k \mathbf{k} k）：
∣ a 1 a 2 b 1 b 2 ∣ = a 1 b 2 − a 2 b 1 \begin{vmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \end{vmatrix} = a_1 b_2 - a_2 b_1 a1b1a2b2 =a1b2−a2b1
- 第一项（对应 i \mathbf{i} i）：
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合成结果向量：
将各分量组合成最终结果向量：
A × B = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i + ( a 3 b 1 − a 1 b 3 ) j + ( a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( a_2 b_3 - a_3 b_2 \right) \mathbf{i} + \left( a_3 b_1 - a_1 b_3 \right) \mathbf{j} + \left( a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) \mathbf{k} A×B=(a2b3−a3b2)i+(a3b1−a1b3)j+(a1b2−a2b1)k
即：
A × B = ( a 2 b 3 − a 3 b 2 , a 3 b 1 − a 1 b 3 , a 1 b 2 − a 2 b 1 ) \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( a_2 b_3 - a_3 b_2, \ a_3 b_1 - a_1 b_3, \ a_1 b_2 - a_2 b_1 \right) A×B=(a2b3−a3b2, a3b1−a1b3, a1b2−a2b1)
示例演示：
计算向量 A = ( 2 , 1 , − 3 ) \mathbf{A} = (2, 1, -3) A=(2,1,−3) 和 B = ( 4 , − 2 , 5 ) \mathbf{B} = (4, -2, 5) B=(4,−2,5) 的叉乘。
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构造行列式：
A × B = ∣ i j k 2 1 − 3 4 − 2 5 ∣ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & -3 \\ 4 & -2 & 5 \end{vmatrix} A×B= i24j1−2k−35 -
展开行列式：
= i ⋅ ∣ 1 − 3 − 2 5 ∣ − j ⋅ ∣ 2 − 3 4 5 ∣ + k ⋅ ∣ 2 1 4 − 2 ∣ = \mathbf{i} \cdot \begin{vmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 5 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \cdot \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \cdot \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 4 & -2 \end{vmatrix} =i⋅ 1−2−35 −j⋅ 24−35 +k⋅ 241−2 -
计算子行列式：
- i \mathbf{i} i 项： 1 ⋅ 5 − ( − 3 ) ⋅ ( − 2 ) = 5 − 6 = − 1 1 \cdot 5 - (-3) \cdot (-2) = 5 - 6 = -1 1⋅5−(−3)⋅(−2)=5−6=−1
- j \mathbf{j} j 项： 2 ⋅ 5 − ( − 3 ) ⋅ 4 = 10 + 12 = 22 ⇒ − 22 2 \cdot 5 - (-3) \cdot 4 = 10 + 12 = 22 \quad \Rightarrow \quad -22 2⋅5−(−3)⋅4=10+12=22⇒−22
- k \mathbf{k} k 项： 2 ⋅ ( − 2 ) − 1 ⋅ 4 = − 4 − 4 = − 8 2 \cdot (-2) - 1 \cdot 4 = -4 - 4 = -8 2⋅(−2)−1⋅4=−4−4=−8
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合成结果：
A × B = − 1 i − 22 j − 8 k = ( − 1 , − 22 , − 8 ) \mathbf{A} \times \mathbf{B} = -1 \mathbf{i} - 22 \mathbf{j} -8 \mathbf{k} = (-1, -22, -8) A×B=−1i−22j−8k=(−1,−22,−8)
验证正确性：
- 正交性验证：结果向量应与原两向量正交：
- 点乘 A ⋅ ( A × B ) = 2 ⋅ ( − 1 ) + 1 ⋅ ( − 22 ) + ( − 3 ) ⋅ ( − 8 ) = − 2 − 22 + 24 = 0 \mathbf{A} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-22) + (-3) \cdot (-8) = -2 -22 +24 = 0 A⋅(A×B)=2⋅(−1)+1⋅(−22)+(−3)⋅(−8)=−2−22+24=0
- 点乘 B ⋅ ( A × B ) = 4 ⋅ ( − 1 ) + ( − 2 ) ⋅ ( − 22 ) + 5 ⋅ ( − 8 ) = − 4 + 44 − 40 = 0 \mathbf{B} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) = 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-22) +5 \cdot (-8) = -4 +44 -40 = 0 B⋅(A×B)=4⋅(−1)+(−2)⋅(−22)+5⋅(−8)=−4+44−40=0
结果满足正交性，叉乘正确。
总结：
通过行列式形式，叉乘的计算变得系统化且易于操作，无需单独记忆各分量的计算公式。此方法适用于所有三维向量，并可通过扩展至更高维度（如七维叉乘，需更复杂的结构）保持一致性。