2025高教社国赛数学建模竞赛B题完整参考论文（含模型和代码）

碳化硅外延层厚度的确定

碳化硅作为第三代半导体材料，因其优越的综合性能而备受关注，其中外延层厚度是影响器件性能的关键参数。为此，本文围绕碳化硅外延层厚度的精确测量建立了一系列模型与算法，并在实验数据中进行了验证。

针对问题1，构建了动态折射率干涉模型，将Sellmeier色散公式与Drude载流子效应耦合，刻画折射率随波长和载流子浓度的变化规律。在修正光程差、相位差及反射率公式的基础上，推导出厚度解析表达式，并利用非线性最小二乘拟合方法实现高精度参数提取。

针对问题2，提出增强型傅里叶变换分析算法，结合汉宁窗与零填充技术抑制频谱泄漏，采用多波段分析与加权平均策略，有效提升了厚度计算的稳健性与准确性。通过对实测光谱数据的处理与不确定度评估，验证了方法的可靠性。

针对问题3，基于Fabry–Pérot理论建立多光束干涉分析框架，提出包括反射率、精细度、对比度和干涉峰数量在内的多参数判据，辨识多光束干涉效应。进一步通过多方法融合计算与动态折射率校正，消除多次反射带来的系统误差，提高复杂干涉条件下的测厚精度。

综上，本文提出的模型与算法不仅实现了碳化硅外延层厚度的高精度测量，还具备良好的适应性与推广价值，为相关半导体材料的无损检测提供了理论与技术支持。

关键词：碳化硅外延层；厚度测量；傅里叶变换红外光谱；动态折射率；多光束干涉；光谱分析

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• 问题重述
  1. 问题背景

碳化硅作为一种新兴的第三代半导体材料，以其优越的综合性能表现正在受到越来越多的关注。碳化硅外延层的厚度是外延材料的关键参数之一，对器件性能有重要影响。因此， 制定一套科学、准确、可靠的碳化硅外延层厚度测试标准显得尤为重要。

红外干涉法是外延层厚度测量的无损伤测量方法，其工作原理是，外延层与衬底因掺杂载流子浓度的不同而有不同的折射率，红外光入射到外延层后，一部分从外延层表面反射出来，另一部分从衬底表面反射回来（图 1），这两束光在一定条件下会产生干涉条纹。可根据红外光谱的波长、外延层的折射率和红外光的入射角等参数确定外延层的厚度。

通常外延层的折射率不是常数，它与掺杂载流子的浓度、红外光谱的波长等参数有关。

1. 1. 问题回顾与分析

问题回顾：

问题1：如果考虑外延层和衬底界面只有一次反射、透射所产生的干涉条纹的情形，建立确定外延层厚度的数学模型。

问题2：请问题 1 的根据数学模型，设计确定外延层厚度的算法。对附件 1 和附件 2 提供的碳化硅晶圆片的光谱实测数据，给出计算结果，并分析结果的可靠性。

问题3：光波可以在外延层界面和衬底界面产生多次反射和透射（图2），从而产生多光束干涉。请推导产生多光束干涉的必要条件，以及多光束干涉对外延层厚度计算精度可能产生的影响。

请根据多光束干涉的必要条件，分析附件 3 和附件 4 提供的硅晶圆片的测试结果是否出现多光束干涉，给出确定硅外延层厚度计算的数学模型和算法，以及相应的计算结果。

如果你们认为，多光束干涉也会出现在碳化硅晶圆片的测试结果（附件 1 和附件 2）中，从而影响到碳化硅外延层厚度计算的精度，请设法消除其影响，并给出消除影响后的计算结果。

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问题分析：

该问题综合了光学理论、数值分析、优化算法等多个领域的知识，需要系统性的分析和处理方法。这三个题目都围绕着利用光学反射率数据估算碳化硅外延层的厚度展开。第一个问题主要通过修正的双光束干涉模型，根据反射率数据拟合干涉曲线来计算厚度，并结合光学常数进行修正。第二个问题处理实测数据，通过改进的数据预处理、异常值检测、基线校正等方法优化数据质量，使用极值法和干涉模型分别进行厚度计算，并提供误差分析。第三个问题则是通过多角度测量对比，综合不同入射角的数据，计算最终厚度并评估测量一致性和不确定度，从而提高结果的可靠性。

• 模型假设

为了方便模型的建立与模型的可行性，我们这里首先对模型提出一些假设，使得模型更加完备，预测的结果更加合理。

1. 数据真实性假设：附件提供的实验数据（包括波数和反射率）真实、准确，且测量系统误差在可接受范围内。
2. 界面平行性假设：外延层与衬底之间的界面为理想平行平面，不存在倾斜或弯曲。
3. 材料均匀性假设：外延层和衬底的材料光学性质（如折射率）在测量区域内均匀分布。
4. 单色光与相干性假设：入射红外光为单色光，且具有良好的时间与空间相干性。
5. 垂直入射近似假设：虽为斜入射，但在推导中仍使用等效垂直入射模型，并通过引入余弦项修正入射角影响。
6. 无吸收假设：在红外波段，外延层与衬底对光的吸收可忽略，仅考虑反射与透射。
7. 折射率缓变假设：外延层折射率随波长变化缓慢，可用Cauchy色散模型或常数近似。