2025国赛B题创新论文+代码可视化 碳化硅外延层厚度的确定
2025高教社杯全国大学生数学建模竞赛国赛B题创新论文+代码可视化 碳化硅外延层厚度的确定
碳化硅外延层厚度的确定
碳化硅作为一种新兴的第三代半导体材料，以其优越的综合性能表现正在受到越来越多的关注。碳化硅外延层的厚度是外延材料的关键参数之一，对器件性能有重要影响。因此， 制定一套科学、准确、可靠的碳化硅外延层厚度测试标准显得尤为重要。
针对问题1，建立了动态折射率干涉模型，克服了传统固定折射率模型的局限性。通过耦合Sellmeier色散公式与Drude载流子效应，精确描述了折射率随波长和载流子浓度的变化关系。基于单次反射-透射干涉理论，修正了光程差、相位差和反射率公式，推导出适用于变折射率情形的厚度解析表达式。采用非线性最小二乘拟合算法，实现了从反射光谱中高精度提取厚度参数，为宽光谱干涉测量提供了可靠理论基础。
针对问题2，发展了增强型傅里叶变换厚度分析算法，结合汉宁窗函数和零填充技术，有效抑制频谱泄漏并提高频率分辨率。引入多波段分析策略，在不同红外波段分别计算折射率和厚度，显著提升测量的稳健性和准确性。通过动态折射率修正和功率谱密度分析，精确识别干涉主频，并采用加权平均融合多波段结果，最终给出厚度估计及其不确定度，系统提高了碳化硅外延层的测厚可靠性。
针对问题3，建立了多光束干涉检测与分析的完整框架，基于Fabry–Pérot理论推导了多光束干涉的反射率公式和判断条件。提出多参数联合判据，包括反射率、精细度、对比度和干涉峰数量，用于识别强/弱多光束干涉效应。开发了多方法融合厚度计算算法，结合峰对分析、包络函数拟合和动态折射率校正，有效消除了多次反射带来的系统性误差，显著提升了复杂干涉情形下的厚度测量精度与稳健性。
关键词：碳化硅外延层、厚度测量、傅里叶变换红外光谱、动态折射率、多光束干涉、光谱分析
关键代码部分：
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sympy as sp
from sympy import symbols, cos, sin, pi, sqrt, exp, I, Function, diff, latex
import warnings
warnings.filterwarnings('ignore')# 设置中文显示
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = Falseclass VariableRefractiveIndexModel:"""考虑折射率变化的碳化硅外延层厚度数学模型"""def __init__(self):"""初始化变折射率数学模型"""print("=== 问题1：考虑折射率变化的外延层厚度数学模型 ===")print("关键考虑：外延层的折射率不是常数！")print("折射率影响因素：1) 掺杂载流子浓度 2) 红外光谱波长")self.setup_variable_symbols()self.derive_variable_refractive_model()def setup_variable_symbols(self):"""定义考虑变折射率的符号变量"""# 基本物理量self.d = symbols('d', positive=True) # 外延层厚度self.lam = symbols('lambda', positive=True) # 波长self.k = symbols('k', positive=True) # 波数 k = 1/λself.omega = symbols('omega', positive=True) # 角频率self.theta0 = symbols('theta_0') # 入射角# 变折射率相关参数self.n1 = Function('n_1') # 外延层折射率函数 n₁(λ, N)self.N = symbols('N', positive=True) # 载流子浓度self.n0 = 1 # 空气折射率（常数）self.n2 = symbols('n_2', positive=True) # 衬底折射率（假设为常数）# 折射率色散参数（Drude模型）self.n_inf = symbols('n_infinity', positive=True) # 高频折射率self.omega_p = symbols('omega_p', positive=True) # 等离子频率self.gamma = symbols('gamma', positive=True) # 阻尼常数# 复折射率self.n1_real = symbols('n_1_real')self.n1_imag = symbols('n_1_imag')print("✓ 变折射率符号变量定义完成")def derive_refractive_index_model(self):"""推导折射率变化模型"""print("\n=== 折射率变化模型 ===")print("\n1. Drude模型（考虑载流子效应）：")print(" 等离子频率：ωₚ² = Ne²/(ε₀m*)")print(" 其中：N - 载流子浓度，e - 电子电荷，m* - 有效质量")# Drude色散关系drude_formula = """n²(ω) = n∞² [1 - ωₚ²/(ω² + iγω)]"""print(f"\n Drude色散关系：{drude_formula}")print("\n2. 复折射率分解：")print(" n₁(ω) = n₁'(ω) + i·n₁''(ω)")print(" 实部：n₁'(ω) - 折射")print(" 虚部：n₁''(ω) - 吸收")# 波长依赖性print("\n3. 波长依赖的折射率：")print(" n₁(λ) = n₁(2πc/λ·ω₀) = n₁(ck)")print(" 随波数k变化：dn₁/dk ≠ 0")return self.derive_sellmeier_model()def derive_sellmeier_model(self):"""Sellmeier色散公式（适用于SiC）"""print("\n4. SiC的Sellmeier色散模型：")# Sellmeier参数A1, A2, A3 = symbols('A_1 A_2 A_3', positive=True)B1, B2, B3 = symbols('B_1 B_2 B_3', positive=True)sellmeier_formula = f"""n₁²(λ) = 1 + A₁λ²/(λ² - B₁) + A₂λ²/(λ² - B₂) + A₃λ²/(λ² - B₃)"""print(f" {sellmeier_formula}")print("\n5. 载流子浓度修正：")print(" n₁(λ,N) = n₁⁰(λ) + Δn(λ,N)")print(" 其中：Δn(λ,N) - 载流子诱导的折射率变化")return True其中更详细的思路、各题目思路、代码、讲解视频、成品论文及其他相关内容，可以点击下方名片获取哦！