【C++】15. ⼆叉搜索树

一、⼆叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树:

• 若它的左⼦树不为空，则左⼦树上所有结点的值都⼩于等于根结点的值。
• 若它的右⼦树不为空，则右⼦树上所有结点的值都⼤于等于根结点的值。
• 它的左右⼦树也分别为⼆叉搜索树。
• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值，具体看使⽤场景定义，map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值。
  

二、⼆叉搜索树的性能分析

最优情况下，⼆叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：log${}_2$N。

最差情况下，⼆叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：N。

所以综合⽽⾔⼆叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N)。

那么这样的效率显然是⽆法满⾜我们需求的，只有⼆叉搜索树的变形，平衡⼆叉搜索树AVL树和红⿊树，才能适⽤于我们在内存中存储和搜索数据。

另外需要说明的是，⼆分查找也可以实现O(log${}_2$N) 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。
2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数据。

这⾥也就体现出了平衡⼆叉搜索树的价值。

三、二叉搜索树的实现

1、二叉搜索树的结构

1）单个节点

template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};

再进行测试：

#include"BinarySearch.h"int main()
{BSTNode<int>* node = new BSTNode<int>(10);//创建一个键值为10的节点return 0;
}

调试观察：

2）二叉搜索树的基本结构

#include<iostream>
using namespace std;template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public://默认构造（强制生成构造）BSTree() = default;//拷贝构造BSTree(const BSTree& t){_root = Copy(t._root);}//赋值重载BSTree& operator=(BSTree tmp){swap(_root, tmp._root);return *this;}//析构函数~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}//...增删查改private://遍历（中序）void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}//二叉树的销毁（后序）void Destroy(Node* root){if (root == nullptr){return;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}//拷贝函数（前序）Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}Node* newRoot = new Node(root->_key);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}
private:Node* _root = nullptr;
};

2、方法的实现

1）二叉搜索树的插入

插⼊的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针。
2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。
3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

 int a[] = {8, 3, 1, 10, 6, 4, 7, 14, 13};

bool Insert(const K& key)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//不支持相等的值插入return false;}cur = new Node(key);if (key > parent->_key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}}return true;
}

再结合之前的默认成员函数一起进行测试：

#include"BinarySearch.h"int main()
{BSTree<int> t1;int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };for (auto e : a){t1.Insert(e);//插入}t1.InOrder();//遍历BSTree<int> t2(t1);//拷贝构造t2.InOrder();BSTree<int> t3;t3 = t1;//赋值t3.InOrder();return 0;
}

运行结果：

2）⼆叉搜索树的查找

1. 从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。
2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。
3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回
4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要找到1的右孩⼦的那个3返回

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else{//找到了return cur;}}//没有找到return nullptr;
}

再进行测试：

#include"BinarySearch.h"int main()
{BSTree<int> t1;int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };for (auto e : a){t1.Insert(e);}t1.InOrder();if (t1.Find(7) == nullptr){printf("没有找到\n");}else{printf("找到了，地址为%p\n", t1.Find(7));}return 0;
}

运行结果：

3）二叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。
如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）。

1. 要删除结点N左右孩⼦均为空。
2. 要删除的结点N左孩⼦为空，右孩⼦结点不为空。
3. 要删除的结点N右孩⼦为空，左孩⼦结点不为空。
4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空。

对应以上四种情况的解决⽅案：

1. N结点的⽗亲指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样的）。
2. N结点的⽗亲指向N的右孩⼦，直接删除N结点。
3. N结点的⽗亲指向N的左孩⼦，直接删除N结点。
4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是将R的值赋值给N，转⽽变成删除R结点。

bool Erase(const K& key)
{Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){//找到要删除的keyif (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//找到了，删除//左为空if (cur->_left == nullptr){//如果删除根节点if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{//判断cur是在parent左边还是右边,先连接if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}//左右都不为空else{//找到右子树最左节点Node* replaceParent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//最左节点赋值给原删除节点cur->_key = replace->_key;//连接replaceParent和replace后续节点if (replaceParent->_left == replace){replaceParent->_left = replace->_right;}else{replaceParent->_right == replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;
}

再进行测试：

#include"BinarySearch.h"int main()
{BSTree<int> t1;int a[] = { 8, 3, 1, 10, 1, 6, 4, 7, 14, 13 };for (auto e : a){t1.Insert(e);}t1.InOrder();t1.Erase(10);t1.InOrder();return 0;
}

运行结果：

四、⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

1、key搜索场景

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结构了。

场景1： ⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。

场景2： 检查⼀篇英⽂ 章单词拼写是否正确，将词库中所有单词放⼊⼆叉搜索树，读取⽂章中的单词，查找是否在⼆叉搜索树中，不在则波浪线标红提⽰。

2、key/value搜索场景

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1： 简单中英互译字典，树的结构中(结点)存储key(英⽂)和vlaue(中⽂)，搜索时输⼊英⽂，则同时查找到了英⽂对应的中⽂。

场景2： 商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

场景3： 统计⼀篇⽂章中单词出现的次数，读取⼀个单词，查找单词是否存在，不存在这个说明第⼀次出现，（单词，1），单词存在，则++单词对应的次数。

3、key/value⼆叉搜索树代码实现

#include<iostream>
using namespace std;namespace key_value
{template<class K, class V>struct BSTNode{K _key;V _value;BSTNode<K, V>* _left;BSTNode<K, V>* _right;BSTNode(const K& key, const V& value):_key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr){}};template<class K, class V>class BSTree{//typedef BSTNode<K> Node;using Node = BSTNode<K, V>;//using用法与typedef一样public:BSTree() = default;BSTree(const BSTree& t){_root = Copy(t._root);}BSTree& operator=(BSTree tmp){swap(_root, tmp._root);return *this;}~BSTree(){Destroy(_root);_root = nullptr;}bool Insert(const K& key, const V& value){if (_root == nullptr){_root = new Node(key, value);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//不支持相等的值插入return false;}}cur = new Node(key, value);if (key > parent->_key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}Node* Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (key > cur->_key){cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){cur = cur->_left;}else{//找到了return cur;}}//没有找到return nullptr;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){//找到要删除的keyif (key > cur->_key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (key < cur->_key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{//找到了，删除//左为空if (cur->_left == nullptr){//如果删除根节点if (cur == _root){_root = cur->_right;}else{//判断cur是在parent左边还是右边,先连接if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_right;}else{parent->_right = cur->_right;}}delete cur;}//右为空else if (cur->_right == nullptr){if (cur == _root){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur){parent->_left = cur->_left;}else{parent->_right = cur->_left;}}delete cur;}//左右都不为空else{//找到右子树最左节点Node* replaceParent = cur;Node* replace = cur->_right;while (replace->_left){replaceParent = replace;replace = replace->_left;}//最左节点赋值给原删除节点cur->_key = replace->_key;//连接replaceParent和replace后续节点if (replaceParent->_left == replace){replaceParent->_left = replace->_right;}else{replaceParent->_right == replace->_right;}delete replace;}return true;}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}private://中序遍历void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ":" << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}//二叉树的销毁(后序)void Destroy(Node* root){if (root == nullptr){return;}Destroy(root->_left);Destroy(root->_right);delete root;}//深拷贝(前序)Node* Copy(Node* root){if (root == nullptr){return nullptr;}Node* newRoot = new Node(root->_key, root->_value);newRoot->_left = Copy(root->_left);newRoot->_right = Copy(root->_right);return newRoot;}private:Node* _root = nullptr;};
}

场景1：

#include"BinarySearch.h"int main()
{key_value::BSTree<string, string> dict;dict.Insert("left", "左边");dict.Insert("right", "右边");dict.Insert("insert", "插入");dict.Insert("string", "字符串");string str;while (cin >> str){auto ret = dict.Find(str);if (ret){cout << "->" << ret->_value << endl;}else{cout << "无此单词，请重新输入:" << endl;}}return 0;
}

运行结果：

场景3：

#include"BinarySearch.h"int main()
{string arr[]= { "苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜","苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉" };key_value::BSTree<string, int> countTree;for (const auto& str : arr){// 先查找水果在不在搜索树中// 1、不在，说明水果第一次出现，则插入<水果, 1>// 2、在，则查找到的节点中水果对应的次数++//key_value::BSTNode<string, int>* ret = countTree.Find(str);auto ret = countTree.Find(str);if (ret == nullptr){countTree.Insert(str, 1);}else{ret->_value++;}}countTree.InOrder();return 0;
}

运行结果：