证明有理数集不是完备的度量空间
证明有理数集不是完备的度量空间
我们将证明有理数集 Q\mathbb{Q}Q 在通常的欧几里得度量 d(x,y)=∣x−y∣d(x, y) = |x - y|d(x,y)=∣x−y∣ 下不构成完备的度量空间。
完备度量空间的定义
一个度量空间 (X,d)(X, d)(X,d) 是完备的，如果其中的每一个柯西序列都收敛于 XXX 中的点。
证明思路
为了证明 Q\mathbb{Q}Q 不是完备的，我们需要构造一个有理数序列，该序列是柯西序列，但在 Q\mathbb{Q}Q 中不收敛（即其极限不在 Q\mathbb{Q}Q 中）。
证明步骤
- 构造一个有理数柯西序列
考虑序列 (xn)(x_n)(xn)，定义为：xn=⌊10n2⌋10nx_n = \frac{\lfloor 10^n \sqrt{2} \rfloor}{10^n}xn=10n⌊10n2⌋, n=1,2,3,…\quad n = 1, 2, 3, \ldotsn=1,2,3,…
其中⌊⋅⌋\lfloor \cdot \rfloor⌊⋅⌋ 表示向下取整函数。
· 每个 xnx_nxn 是有理数，因为它是整数除以 10n10^n10n。
· 该序列是 2\sqrt{2}2 的十进制逼近序列，满足 xn<2x_n < \sqrt{2}xn<2 且 ∣xn−2∣<10−n|x_n - \sqrt{2}| < 10^{-n}∣xn−2∣<10−n。
- 证明 (xn)(x_n)(xn) 是柯西序列
对于任意 ϵ>0\epsilon > 0ϵ>0，选择 NNN 使得 10−N<ϵ10^{-N} < \epsilon10−N<ϵ。则对于所有 m,n≥Nm, n \geq Nm,n≥N，有： ∣xm−xn∣≤∣xm−2∣+∣2−xn∣<10−m+10−n≤2⋅10−N<2ϵ|x_m - x_n| \leq |x_m - \sqrt{2}| + |\sqrt{2} - x_n| < 10^{-m} + 10^{-n} \leq 2 \cdot 10^{-N} < 2\epsilon∣xm−xn∣≤∣xm−2∣+∣2−xn∣<10−m+10−n≤2⋅10−N<2ϵ
因此(xn)(x_n)(xn) 是柯西序列。
- 证明 (xn)(x_n)(xn) 在 Q\mathbb{Q}Q 中不收敛
假设 (xn)(x_n)(xn) 收敛于某个 q∈Qq \in \mathbb{Q}q∈Q。则： limn→∞xn=q\lim_{n \to \infty} x_n = qlimn→∞xn=q
但由构造可知： limn→∞xn=2\lim_{n \to \infty} x_n = \sqrt{2}limn→∞xn=2
因此q=2q = \sqrt{2}q=2。然而 2\sqrt{2}2 是无理数，与 q∈Qq \in \mathbb{Q}q∈Q 矛盾。
- 结论
我们构造了一个有理数柯西序列 (xn)(x_n)(xn)，但该序列在 Q\mathbb{Q}Q 中不收敛。因此，Q\mathbb{Q}Q 不是完备的度量空间。
补充说明
· 此证明依赖于 2\sqrt{2}2 是无理数这一事实（可通过经典证明得知）。
· 有理数集 Q\mathbb{Q}Q 在实数集 R\mathbb{R}R 中稠密，但本身不完备。
· 实数集 R\mathbb{R}R 是 Q\mathbb{Q}Q 的完备化，即通过添加所有柯西序列的极限点来构造。
因此，我们证明了有理数集 Q\mathbb{Q}Q 不是完备的度量空间。