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【逆序对博弈】P10737 [SEERC 2020] Reverse Game|普及+

news 2025/9/2 12:17:37

本文涉及知识点

【C++】树状数组的使用、原理、封装类、样例
博弈逆序对

P10737 [SEERC 2020] Reverse Game

题目描述

Alice 和 Bob 在玩一个游戏，规则如下：

游戏开始前给定一个字符串 $s$ 。
每次行动，选择 $s$ 的一个子串 $t$ ， $t$ 只能是 10、100、110、1010 中的一个，反转 $t$ 的每个字符，例如 100 翻转为 001。
不能操作者输掉游戏。
Alice 先手，问双方同时采取最优策略的情况下，谁能赢。

输入格式

一个仅包含 $01$ 的字符串 $s(1≤∣s∣≤106)s\ (1 \leq |s| \leq 10^6)$ 。

输出格式

如果 Alice 胜利输出 Alice，Bob 胜利输出 Bob。

输入输出样例 #1

输入 #1

输出 #1

Alice

输入输出样例 #2

输入 #2

输出 #2

Bob

输入输出样例 #3

输入 #3

输出 #3

Bob

输入输出样例 #4

输入 #4

1010001011001

输出 #4

Alice

说明/提示

对于样例 $1$ ，选择子串 10 进行反转后 Bob 无法操作。

逆序对

性质一：操作一减少一个逆序对。操作二三四减少2个逆序对。
性质三：如果只有两个逆序，这两个逆序对之间不会有其它数字。
$10 X 10$ ，X无论是0还是1，都会产生新的逆序对。
性质四：只有两个逆序对的情况：
4个字符： $1010$
三个字符： $100 、 110$
$000 、 001 、 011 、 111$ 无逆序 $010 、 101$ 一个逆序对
即：如果有两个逆序，通过操作二三四，可以一次消除。
0逆序对：先手方失败。
1个2个逆序对：先手方胜利。
3个逆序对：先手方失败。
4个先手方胜利，选取1个。
5个先手胜利，选取2个。
6个逆序，无论选取一个还是2个，都是失败。
结论：逆序对3的倍数，先手方失败，其它先手方胜利。
即 $3×i3\times i$ 失败, $3×i+13\times i+1$ 和 $3×i+23\times i+2$ 胜利。
用数学归纳法证明， $i == 0$ 已证
$3×i+13\times i+1$ 选取1，后手方变成 $3×i3\times i$ 必败
$3×i+23\times i+2$ 类似。
$3×i+33\times i+3$ ，无论选取1还是2，后手方必胜。
逆序对可以用归并排序或逆序对。本题只有0和1。
b[i] = a[i…]中0的数量。
$∑(b[i]∗a[i])\sum(b[i]*a[i])$ 就是逆序对的数量。

代码

核心代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>#include <bitset>
using namespace std;template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {in >> pr.first >> pr.second;return in;
}template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);return in;
}template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4, T5, T6, T7>& t) {in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);return in;
}template<class T = int>
vector<T> Read() {int n;cin >> n;vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {vector<T> ret;T tmp;while (cin >> tmp) {ret.emplace_back(tmp);if ('\n' == cin.get()) { break; }}return ret;
}template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> ret[i];}return ret;
}template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:COutBuff() {m_p = puffer;}template<class T>void write(T x) {int num[28], sp = 0;if (x < 0)*m_p++ = '-', x = -x;if (!x)*m_p++ = 48;while (x)num[++sp] = x % 10, x /= 10;while (sp)*m_p++ = num[sp--] + 48;AuotToFile();}void writestr(const char* sz) {strcpy(m_p, sz);m_p += strlen(sz);AuotToFile();}inline void write(char ch){*m_p++ = ch;AuotToFile();}inline void ToFile() {fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);m_p = puffer;}~COutBuff() {ToFile();}
private:inline void AuotToFile() {if (m_p - puffer > N - 100) {ToFile();}}char  puffer[N], * m_p;
};template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:inline CInBuff() {}inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {FileToBuf();while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车ch = *S++;return *this;}inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {FileToBuf();int x(0), f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行		return *this;}inline CInBuff& operator>>(long long& val) {FileToBuf();long long x(0); int f(0);while (!isdigit(*S))f |= (*S++ == '-');while (isdigit(*S))x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行return *this;}template<class T1, class T2>inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {*this >> val.first >> val.second;return *this;}template<class T1, class T2, class T3>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);return *this;}template<class T1, class T2, class T3, class T4>inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);return *this;}template<class T = int>inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {int n;*this >> n;val.resize(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> val[i];}return *this;}template<class T = int>vector<T> Read(int n) {vector<T> ret(n);for (int i = 0; i < n; i++) {*this >> ret[i];}return ret;}template<class T = int>vector<T> Read() {vector<T> ret;*this >> ret;return ret;}
private:inline void FileToBuf() {const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);if (canRead >= 100) { return; }if (m_bFinish) { return; }for (int i = 0; i < canRead; i++){buffer[i] = S[i];//memcpy出错			}m_iWritePos = canRead;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }m_iWritePos += readCnt;buffer[m_iWritePos] = 0;S = buffer;}int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;char buffer[N + 10], * S = buffer;
};int main() {
#ifdef _DEBUGfreopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;string str;cin >> str;
#ifdef _DEBUG	//printf("N=%d", N);//Out(ps, ",ps=");//Out(P, ",P=");//Out(ss, ",ss=");//Out(que, ",ope=");
#endif // DEBUG		const int N = str.length();vector<int> b(N + 1);long long ans = 0;for(int i = N-1; i >=0; i--){b[i] = b[i + 1] + ('0' == str[i]);ans += ('1' == str[i]) * b[i];}cout << ((ans % 3) ?"Alice" :"Bob");return 0;
}

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