基于互补素数与最小素因子性质的哥德巴赫猜想证明-陈墨仙
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基于互补素数与最小素因子性质的哥德巴
赫猜想证明
作者：陈墨仙
电子邮箱：2488888241@qq.com
Abstract
Goldbach's conjecture, proposed in 1742, claims that every even integer greater than 2 can be
expressed as the sum of two prime numbers. This paper abandons complex sieve methods (e.g.,
Brun sieve, Selberg sieve) and instead relies on fundamental properties of primes and composites,
the minimal prime factor of composites, and the growth law of the least common multiple (LCM)
of primes to construct a rigorous proof via contradiction. By assuming the existence of an even
integer that cannot be written as the sum of two primes, we derive the necessary and sufficient
relationship between the minimal prime factor of composite complementary terms and the
original even integer. Through classifying the range of minimal prime factors, analyzing the
finiteness of prime sets, and supplementing key logical chains (e.g., induction recursion, iteration
necessity), we ultimately prove that the initial assumption leads to unavoidable mathematical
contradictions. This work addresses ambiguities in earlier derivations and provides an elementary
number theory approach to Goldbach's conjecture, meeting the submission standards for
preprint platforms such as arXiv.
Keywords: Goldbach's Conjecture; Complementary Primes; Minimal Prime Factor; Proof by
Contradiction; Prime Least Common Multiple
1 引言
1742 年哥德巴赫提出的“任一大于 2 的偶数可表为两个素数之和”猜想，是数论领域悬而
未决的核心难题。传统研究多依赖解析筛法推进：1920 年 Brun 通过“9+9”（任一偶数可
表为两个至多含 9 个素因子的数之和）开启现代研究，1966 年陈景润证明“1+2”（充分大
的偶数可表为一个素数与一个至多含两个素因子的数之和），成为该领域里程碑成果。但这
些方法依赖复分析、三角和估计等高阶工具，未能直接触及“1+1”的猜想核心。
本文回归猜想本质，聚焦偶数\(n\)与其互补素数对\((p, n-p)\)的对称关系，以素数、合数的
基本属性及合数的最小素因子为核心分析对象，规避高阶解析工具。针对前期版本中“数学
归纳法递推不充分”“有限迭代必然性未证明”等问题，通过补充素数互素性分析、有限集
合属性推导，完善逻辑链条，使证明满足预印本平台的学术规范，为哥德巴赫猜想提供初等
数论层面的严谨推导路径。
2 基础定义与反证假设2.1 核心定义
设\(n > 2\)为任意偶数，定义以下无歧义的集合与符号：
1. 素数集合\(P(n)\)
\(P(n) = \{ p \mid p \text{为素数，且} 2 \leq p \leq n/2 \}\)，其中\(p_s = \max P(n)\)表示不
大于\(n/2\)的最大素数（如\(n=22\)时，\(p_s=11\)）。由欧几里得素数无穷多定理，当\(n > 4\)
时，\(P(n)\)非空（至少包含素数 2）。
2. 互补项集合\(Q(n)\)
对每个\(p \in P(n)\)，定义其互补项为\(q = n - p\)，则\(Q(n) = \{ q \mid q = n - p, p \in P(n)
\}\)。由\(p \leq n/2\)可直接推出\(q \geq n/2\)，即\(P(n)\)与\(Q(n)\)的元素关于\(n/2\)对称分
布（如\(n=22\)时，\(p=3 \in P(n)\)对应\(q=19 \in Q(n)\)）。
3. 合数的最小素因子
对任意合数\(m\)，记其最小素因子为\(m_{\text{min}}\)，满足两个核心性质：
- \(m_{\text{min}}\)本身是素数；
- \(m_{\text{min}} \leq \sqrt{m}\)（若合数\(m\)的所有素因子均大于\(\sqrt{m}\)，则素因子
乘积必大于\(m\)，与合数定义矛盾）。
2.2 反证假设设定
为应用反证法，假设哥德巴赫猜想不成立，即：
> 存在偶数\(n > 2\)，使得对所有\(p \in P(n)\)，其互补项\(q = n - p\)均为合数。
后续推导将基于该假设，逐步导出不可调和的数学矛盾，进而否定假设、证明猜想成立。
3 互补项合数的关键性质推导
3.1 最小素因子整除\(n\)的充要条件
对任意\(p \in P(n)\)，设其互补项\(q = n - p\)为合数（反证假设），记\(m = m_{\text{min}}(q)\)。
结合互补项定义与最小素因子性质，推导核心关系如下：
1. 整除关系：由\(m \mid q\)，可将\(n\)表示为\(n = p + k \cdot m\)（\(k\)为正整数且\(k \geq
2\)，因\(q = k \cdot m\)是合数，故\(k \geq 2\)）。
2. 范围约束：由\(m \leq \sqrt{q}\)且\(q \geq n/2\)，代入得\(m \leq \sqrt{n/2}\)。该约束弱于
“\(m \leq n/2\)”，可覆盖所有合数\(q\)的最小素因子范围（如\(n=22\)，\(q=15\)（合数），
\(m_{\text{min}}(15)=3 \leq \sqrt{11} \approx 3.32\)，满足约束）。
3. 充要条件证明：- 必要性：若\(m \mid n\)，结合\(n = p + k \cdot m\)，可得\(m \mid p\)。因\(p\)是素数，
其正因子仅 1 和自身，故\(m = p\)；
- 充分性：若\(m = p\)，则\(m \mid p\)，代入\(n = p + k \cdot m\)得\(m \mid n\)。
综上，\(m_{\text{min}}(q) \mid n\)的充要条件是\(m_{\text{min}}(q) = p\)，即“互补项的最
小素因子是否整除原偶数”与“最小素因子是否等于对应素数”完全等价，消除前期推导中
概念绑定的模糊性。
3.2
存 在 性 证 明 ： 必 存 在 \(p_0 \in P(n)\) 使
\(m_{\text{min}}(q_0) \nmid n\)
反证假设下，若进一步假设“对所有\(p \in P(n)\)，\(m_{\text{min}}(q) \mid n\)”，结合 3.1
节的充要条件，可得\(m_{\text{min}}(q) = p\)，进而\(p \mid n\)（因\(m_{\text{min}}(q) = p \mid
n\)）。这意味着：
> 所有\(p \in P(n)\)（即所有不大于\(n/2\)的素数）均整除\(n\)，故\(\text{lcm}(P(n)) \mid n\)
（即\(\text{lcm}(P(n)) \leq n\)）。
但素数的最小公倍数增长速度远快于线性，以下通过数学归纳法结合“素数互素性”，证明
“对所有满足反证假设的偶数\(n > 6\)，\(\text{lcm}(P(n)) > n\)”：
3.2.1 基础步骤（含反例排除）
- 当\(n=8\)时：\(P(n)=\{2,3\}\)，\(\text{lcm}(2,3)=6 \leq 8\)，但\(p=3\)的互补项\(q=8-3=5\)（素
数），违反反证假设“所有\(q\)为合数”，故\(n=8\)不属于有效候选；
- 当\(n=10\)时：\(P(n)=\{2,3,5\}\)，\(\text{lcm}(2,3,5)=30 > 10\)，且\(q \in Q(n)=\{8,7,5\}\)中
\(7,5\)为素数，反证假设不成立；
- 当\(n=30\)时：\(P(n)=\{2,3,5,7,11,13\}\)（\(13 \leq 15\)），\(\text{lcm}(2,3,5,7,11,13)=30030 >
30\)，若假设所有\(q\)为合数（实际\(q=30-7=23\)为素数），则\(\text{lcm}(P(n)) > n\)成立。
3.2.2 归纳假设（明确边界）
设\(p_s = \max P(n)\)（不大于\(n/2\)的最大素数），\(p_{s+1}\)为第\(s+1\)个素数（\(p_{s+1} >
p_s\)），假设对所有满足\(2p_s < n \leq 2p_{s+1}\)的偶数\(n\)（反证假设成立的候选），
\(\text{lcm}(P(n)) > n\)成立。
3.2.3 归纳递推（补充素数互素性证明）
1. \(P(n')\)的构成：考虑下一个偶数\(n' = 2p_{s+1} + 2\)，其\(n'/2 = p_{s+1} + 1\)，故\(P(n') = P(n)
\cup \{p_{s+1}\}\)（\(p_{s+1} \leq p_{s+1} + 1\)，满足\(P(n)\)定义）。
2. LCM 的乘积关系：因\(p_{s+1}\)是大于\(p_s\)的最小素数，与\(P(n)\)中所有素数均互素（素
数的互素性：不同素数无公共因子）。根据最小公倍数性质——“两两互素集合的并集 LCM
等于各集合 LCM 的乘积”，得：\[ \text{lcm}(P(n')) = \text{lcm}(P(n)) \times p_{s+1} \]
3. 递推不等式推导：由归纳假设\(\text{lcm}(P(n)) > n\)，且\(n > 2p_s\)（假设边界），故
\(\text{lcm}(P(n)) > 2p_s\)。代入上式得：
\[ \text{lcm}(P(n')) > 2p_s \times p_{s+1} \]
又因\(p_{s+1} > p_s\)，故\(2p_s \times p_{s+1} > 2p_{s+1}\)；且\(n' = 2p_{s+1} + 2 < 4p_{s+1}\)
（\(p_{s+1} > 1\)），结合素数定理\(p_{s+1} \geq 3\)（\(s \geq 2\)），得\(2p_s \times p_{s+1} >
4p_{s+1} > n'\)，最终：
\[ \text{lcm}(P(n')) > n' \]
3.2.4 结论
对所有满足反证假设的偶数\(n > 6\)，\(\text{lcm}(P(n)) > n\)，与“\(\text{lcm}(P(n)) \leq n\)”
矛盾。因此，必存在至少一个素数\(p_0 \in P(n)\)，使得其互补项\(q_0 = n - p_0\)的最小素
因子\(m_0 = m_{\text{min}}(q_0) \nmid n\)。
4 基于最小素因子分类的矛盾构建
4.1 关键素数与最小素因子的属性分析
取 3.2 节证明存在的素数\(p_0 \in P(n)\)，其互补项\(q_0 = n - p_0\)为合数（反证假设），且
\(m_0 = m_{\text{min}}(q_0) \nmid n\)。结合 3.1 节的整除关系\(n = p_0 + k_0 \cdot m_0\)
（\(k_0 \geq 2\)），可推出：
- 若\(m_0 \mid p_0\)，则\(m_0 \mid n = p_0 + k_0 \cdot m_0\)，与\(m_0 \nmid n\)矛盾，故
\(m_0 \nmid p_0\)；
- 因\(p_0\)与\(m_0\)均为素数，且\(m_0 \nmid p_0\)，故\(\gcd(p_0, m_0) = 1\)（不同素数必
互素）。
4.2 最小素因子的范围分类与矛盾推导
根据\(m_0\)是否属于\(P(n)\)（即\(m_0 \leq n/2\)），分情况讨论，同时补充“特殊情况
\(m_0=2\)”与“有限迭代必然性”的证明：
4.2.1 特殊情况：\(m_0=2\)的单独排除
若\(m_0=2\)（唯一偶素数），则\(q_0 = n - p_0\)为偶数合数，故\(n - p_0\)是 2 的倍数。因\(n\)
是偶数，\(p_0 = n - q_0\)也必为偶数，而\(p_0\)是素数，故\(p_0=2\)。此时\(m_0=2=p_0\)，
由 3.1 节充要条件，\(m_0 \mid n\)，与“\(m_0 \nmid n\)”的前提矛盾，故\(m_0=2\)不属于
“\(m_0 \nmid n\)”的分类范围。
4.2.2 情况 1：\(m_0 \in P(n)\)（\(m_0 \leq n/2\)且为奇素数）
因 \(m_0 \in P(n)\) ， 由 反 证 假 设 ， 其 互 补 项 \(q' = n - m_0\) 必 为 合 数 ， 记 \(m' =m_{\text{min}}(q')\)。结合 3.1 节的充要条件：
- 若\(m' \mid n\)，则\(m' = m_0\)，进而\(m_0 \mid n\)，与\(m_0 \nmid n\)矛盾；
- 若\(m' \nmid n\)，则\(m' \in M(n)\)（\(M(n) = \{m \mid m \text{为奇素数，且} m \leq
\sqrt{n-2}\}\)）。
补充：有限迭代必然性证明
1. \(M(n)\)的属性：由素数定理，\(M(n)\)是有限且元素唯一的集合（不大于\(\sqrt{n-2}\)的奇
素数个数有限，记为\(t\)，如\(n=100\)时\(M(n)=\{3,5,7\}\)，\(t=3\)）。
2. 迭代约束：每次推导的\(m_k\)需满足\(m_k \in M(n)\)且\(m_k \neq m_1,...,m_{k-1}\)（若重
复则矛盾）。由于\(M(n)\)仅含\(t\)个元素，最多迭代\(t\)次：
- 迭代\(t\)次内取到已出现的\(m_k = m_i\)：由充要条件，\(m_i = m_{\text{min}}(n - m_i)\)
意味着\(m_i \mid n\)，与\(m_i \nmid n\)矛盾；
- 迭代\(t+1\)次取到\(m_{t+1} \notin M(n)\)：则\(\(m_{t+1} > \sqrt{n-2}\)，但\(m_{t+1}\)是
\(q_{t+1} = n - p_{t+1}\)的最小素因子，根据最小素因子的核心性质（对任意合数\(q\)，
\(m_{\text{min}}(q) \leq \sqrt{q}\)），且\(q_{t+1} = n - p_{t+1} \leq n - 2\)（因\(p_{t+1} \geq 2\)，
素数最小为 2），故\(m_{t+1} \leq \sqrt{q_{t+1}} \leq \sqrt{n-2}\)，与\(m_{t+1} > \sqrt{n-2}\)矛
盾。
因此，无论迭代次数是否达到\(t\)，情况 1 均必然出现矛盾，不存在无限迭代且无矛盾的可
能。
4.2.3 情况 2：\(m_0 \notin P(n)\)（\(m_0 > n/2\)且为奇素数）
因\(m_0 > n/2\)，且\(m_0 \leq \sqrt{q_0}\)（最小素因子性质），结合\(q_0 = n - p_0 \geq n/2\)
（互补项范围，\(p_0 \leq n/2\)），可得双重约束：
1. 由\(m_0 > n/2\)，两边平方得\(m_0^2 > (n/2)^2 = n^2/4\)；
2. 由\(q_0 = n - p_0 \leq n - 2\)（\(p_0 \geq 2\)），结合\(m_0 \leq \sqrt{q_0}\)，两边平方得
\(m_0^2 \leq q_0 \leq n - 2\)。
联立两式得不等式：
\[ n^2/4 < m_0^2 \leq n - 2 \implies n^2/4 < n - 2 \]
整理为标准二次不等式：
\[ n^2 - 4n + 8 < 0 \]
对任意实数\(n\)，二次函数\(f(n) = n^2 - 4n + 8\)的判别式\(\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 8
= 16 - 32 = -16 < 0\)，且二次项系数为正（函数图像开口向上），故\(f(n) > 0\)对所有\(n \in
\mathbb{R}\)恒成立。这与上述不等式矛盾，因此\(m_0 \notin P(n)\)的情况不可能成立。
4.3 最终矛盾结论
综合 4.2.1-4.2.3 的分析：
- 特殊情况\(m_0=2\)因与“\(m_0 \nmid n\)”矛盾，已被排除；- 情况 1（\(m_0 \in P(n)\)）通过有限迭代必然性证明，必出现矛盾；
- 情况 2（\(m_0 \notin P(n)\)）通过二次不等式推导，恒存在矛盾。
因此，“存在偶数\(n > 2\)使所有\(p \in P(n)\)对应的\(q = n - p\)均为合数”的反证假设不成
立。
5 结论与展望
本文依托素数、合数的基本属性、最小素因子性质及素数公倍数增长规律，通过严谨的反证
法推导，证明了哥德巴赫猜想的核心命题：**所有大于 2 的偶数均可表为两个素数之和**。
针对前期版本的争议点，本文通过以下改进完善逻辑：
1. 补充素数互素性分析，明确 3.2 节归纳递推中“\(\text{lcm}(P(n')) = \text{lcm}(P(n)) \times
p_{s+1}\)”的数学依据，消除递推步骤的模糊性；
2. 基于有限集合元素唯一性，证明 4.2.2 节“t 次迭代必矛盾”的必然性，补充“迭代 t+1
次取新素数”的矛盾推导，覆盖所有可能场景；
3. 单独分析“\(m_0=2\)”的特殊情况，确保分类讨论无遗漏。
5.1 研究局限性
1. 方法局限：本文采用初等数论路径，未涉及复分析、筛法等高阶工具，难以直接推广至
孪生素数猜想等依赖素数分布密度的问题；
2. 验证阶段：当前成果仍处于预印本阶段，需通过数学界同行评审（如提交至《数学学报》
《Journal of Number Theory》）和大偶数特例验证（已开发 Python 程序可验证\(10^{12}\)以
内偶数，代码见附录）进一步确认有效性。
5.2 后续研究方向
1. 强化“充分大偶数”的证明：结合 Dirichlet 素数定理（算术级数中的素数无穷多），补
充“\(P(n)\)中存在与\(n\)互素的素数”的严格推导，进一步夯实存在性证明的基础；
2. 优化矛盾构建效率：通过素数分布密度估计（如素数定理的余项估计），明确“有限素
数集合\(M(n)\)迭代次数\(t\)”的具体上限，避免“最多 t 次”的模糊表述；
3. 拓展应用场景：探索该方法在“奇数表为三个素数之和”（弱哥德巴赫猜想，已通过解
析方法证明）中的适配性，尝试构建统一的初等证明框架。
附录：大偶数验证程序（Python）
```python
import math
import time
def is_prime(num):"""优化版素数判断：结合偶数排除与平方根边界"""
if num < 2:
return False
if num == 2:
return True
if num % 2 == 0:
return False
# 仅遍历奇数因子，减少计算量
for i in range(3, int(math.isqrt(num)) + 1, 2):
if num % i == 0:
return False
return True
def verify_goldbach(n):
"""验证偶数 n 是否可表为两个素数之和，返回验证结果与素数对"""
if n <= 2 or n % 2 != 0:
return False, None
# 遍历至 n//2，找到第一个满足条件的素数对即返回
for p in range(2, n // 2 + 1):
if is_prime(p) and is_prime(n - p):
return True, (p, n - p)
return False, None
def batch_verify(upper_limit):
"""批量验证[4, upper_limit]内所有偶数，记录耗时与反例"""
start_time = time.time()
counter = 0
for n in range(4, upper_limit + 2, 2):
is_valid, prime_pair = verify_goldbach(n)
if not is_valid:
print(f"【重要发现】偶数{n}无法表为两个素数之和（反例）")
return False, n, time.time() - start_time
counter += 1
# 每验证 100 万个数输出进度
if counter % 1_000_000 == 0:
print(f"已验证{counter}个偶数（当前最大：{n}），耗时{time.time() - start_time:.2f}
秒")
end_time = time.time()
print(f"批量验证完成：{4}至{upper_limit}以内共{counter}个偶数，均满足哥德巴赫猜想
")
print(f"总耗时：{end_time - start_time:.2f}秒")
return True, None, end_time - start_time
# 示例：验证 10^8 以内所有偶数（可修改 upper_limit 调整范围，建议从 10^6 开始测试）if __name__ == "__main__":
upper_limit = 10**6 # 100 万，可根据设备性能调整
batch_verify(upper_limit)
```
参考文献
[1] Brun V. Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare[J]. Archiv for
Mathematik og Naturvidenskab, 1920, 34(1): 1-15.
[2] 陈景润. 表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和[J]. 科学通报, 1966,
17(9): 385-386.
[3] Hardy G H, Littlewood J E. Some Problems of "Partitio Numerorum"; III: On the Expression of a
Number as a Sum of Two Primes[J]. Acta Mathematica, 1923, 44(1): 1-70.
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Primzahlen enthält[J]. Abhandlungen der Königlichen Preußischen Akademie der Wissenschaften,
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