【高等数学】第十章 重积分——第一节 二重积分的概念与性质

上一节：【高等数学】第九章 多元函数微分法及其应用——第十节 最小二乘法
总目录：【高等数学】 目录

1. 二重积分的概念

• 曲顶柱体的体积
  • 曲顶柱体的定义
    设有一立体，它的底是$xOy$面上的有界闭区域$D$，它的侧面是以$D$的边界曲线为准线而母线平行于$z$轴的柱面，它的顶是曲面$z=f(x,y)$，这里$f(x,y)⩾0$且在$D$上连续，这种立体叫做曲顶柱体．
  • 曲顶柱体体积的求法
    用一组曲线网把$D$分成$n$个小闭区域$$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\cdots ,\Delta {\sigma }_n.$$分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于$z$轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为$n$个细曲顶柱体．
    当这些小闭区域的直径（闭区域中任意两点间距离的最大值）很小时，由于$f(x,y)$连续，对同一个小闭区域来说，$f(x,y)$变化很小，这时细曲顶柱体可近似看做平顶柱体．
    在每个小闭区域中任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$，以$f({\xi }_i,{\eta }_i)$为高而底为$\Delta {\sigma }_i$的平顶柱体的体积为$$f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i(i=1,2,\cdots ,n).$$这$n$个平顶柱体体积之和$$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$$可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值．
    令$n$个小闭区域的直径中的最大值（记作$\lambda$）趋于零，取上述和的极限，所得极限便自然地定义为所求曲顶柱体的体积$V$，即$$V=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i.$$
• 平面薄片的质量
  • 问题描述
    设有一平面薄片占有$xOy$面上的闭区域$D$，它在点$(x,y)$处的面密度为$\mu (x,y)$，这里$\mu (x,y)>0$且在$D$上连续．现在要计算该薄片的质量$m$．
  • 解法
    由于$\mu (x,y)$连续，把薄片分成许多小块后，只要小块所占的小闭区域$\Delta {\sigma }_i$的直径很小，这些小块就可以近似地看做均匀薄片．在$\Delta {\sigma }_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$，则$$\mu ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i(i=1,2,\cdots ,n)$$可看做第$i$个小块的质量的近似值．
    通过求和、取极限，便得出$$m=\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^n\mu ({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i.$$
• 二重积分的定义
  设$f(x,y)$是有界闭区域$D$上的有界函数．
  将闭区域$D$任意分成$n$个小闭区域$$\Delta {\sigma }_1,\Delta {\sigma }_2,\cdots ,\Delta {\sigma }_n,$$其中$\Delta {\sigma }_i$表示第$i$个小闭区域，也表示它的面积．
  在每个$\Delta {\sigma }_i$上任取一点$({\xi }_i,{\eta }_i)$，作乘积$f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$（$i=1,2,\cdots ,n$），并作和$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$．
  如果当各小闭区域的直径中的最大值$\lambda \to 0$时，这和的极限总存在，
  那么称此极限为函数$f(x,y)$在闭区域$D$上的二重积分，记作${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma$，即$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =\underset{\lambda \to 0}{\lim }\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i.$$其中$f(x,y)$叫做被积函数，$f(x,y)\mathrm{d}\sigma$叫做被积表达式，$\mathrm{d}\sigma$叫做面积元素，$x$与$y$叫做积分变量，$D$叫做积分区域，$\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\Delta {\sigma }_i$叫做积分和．
• 直角坐标系中的面积元素
  在二重积分的定义中对闭区域$D$的划分是任意的，如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分$D$，那么除了包含边界点的一些小闭区域外（这些区域在$\lambda \to 0$的过程中会消失），其余的小闭区域都是矩形闭区域．
  设矩形闭区域$\Delta {\sigma }_i$的边长为$\Delta x_j$和$\Delta y_k$，则$\Delta {\sigma }_i=\Delta x_j\cdot \Delta y_k$．因此在直角坐标系中，有时也把面积元素$\mathrm{d}\sigma$记作$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$，而把二重积分记作$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y,$$其中$\mathrm{d}x\mathrm{d}y$叫做直角坐标系中的面积元素．
• 当$f(x,y)$在闭区域$D$上连续时，函数$f(x,y)$在$D$上的二重积分必定存在．
• 二重积分的几何意义
  如果$f(x,y)⩾0$，被积函数$f(x,y)$可以解释为曲顶柱体的顶在点$(x,y)$处的竖坐标，所以二重积分的几何意义就是柱体的体积．
  如果$f(x,y)$是负的，柱体就在$xOy$面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的．
  如果$f(x,y)$在$D$的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，那么，$f(x,y)$在$D$上的二重积分就等于$xOy$面上方的柱体体积减去$xOy$面下方的柱体体积所得之差．

2. 二重积分的性质

• 线性性
  设$\alpha$与$\beta$为常数，则$${\iint }_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]\mathrm{d}\sigma =\alpha {\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma +\beta {\iint }_{D}g(x,y)\mathrm{d}\sigma .$$
• 可加性
  如果闭区域$D$被有限条曲线分为有限个部分闭区域，
  那么在$D$上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和．
• 二重积分的中值定理
  设函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，$\sigma$是$D$的面积，
  则在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$，使得$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta )\sigma .$$

  函数$f(x,y)$在闭区域$D$上连续，有$m\le f(x,y)\le M$
  $m\sigma \le {\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le M\sigma \Rightarrow m\le \frac{1}{\sigma }{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma \le M$
  根据在闭区域上连续函数的介值定理，在$D$上至少存在一点$(\xi ,\eta )$，使得函数在该点的值与这个确定的数值相等，即$$\frac{1}{\sigma }{\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}\sigma =f(\xi ,\eta ).$$

下一节：【高等数学】第十章 重积分——第二节 二重积分的计算法
总目录：【高等数学】 目录