数学建模Topsis法笔记

评价决策类-Topsis法学习笔记

问题的提出

• 生活中我们常常要进行评价，上一篇中的层次分析法，通过确定各指标的权重，来进行打分，但层次分析法决策层不能太多，而且构造判断矩阵相对主观。那有没有别的方法呢？

例题引入

明星Kun想找个对象，但喜欢他的人太多，不知道怎么选，经过层层考察，留下三个候选人。

候选人	颜值	脾气（争吵次数）
A	9	10
B	8	7
C	6	3

• 理想情况下：

  • 最好的对象应该是颜值9，脾气3
  • 最差的对象应该是颜值6，脾气10

• 那怎么衡量A、B、C和最好、最差的距离呢？

  • 把（9，3），（6，10）最为二维平面的一个点（如图中的红点和蓝点）

    

• 距离最好点最近或者距离最差点最远的点就是综合条件最好的（如上图中的红笔所圈的点）

基本概念

C. L. Hwang 和 K. Yoon 于 1981 年首次提出 TOPSIS (Technique for Order Preference by Similarity to an Ideal Solution)，可翻译为逼近理想解排序法，国内常简称为优劣解距离法。

TOPSIS 法是一种常用的综合评价方法，能充分利用原始数据的信息，其结果能精确地反映各评价方案之间的差距。

TOPSIS 法引入了两个基本概念：

• 理想解：设想的最优的解 (方案)，它的各个属性值都达到各备选方案中的最好的值；
• 负理想解：设想的最劣的解 (方案)，它的各个属性值都达到各备选方案中的最坏的值。

方案排序的规则是把各备选方案与理想解和负理想解做比较，若其中有一个方案最接近理想解，而同时又远离负理想解，则该方案是备选方案中最好的方案。TOPSIS 通过最接近理想解且最远离负理想解来确定最优选择。

模型原理

TOPSIS 法是一种理想目标相似性的顺序选优技术，在多目标决策分析中是一种非常有效的方法。它通过归一化后 (去量纲化) 的数据规范化矩阵，找出多个目标中最优目标和最劣目标 (分别用理归想一解化和反理想解表示), 分别计算各评价目标与理想解和反理想解的距离，获得各目标与理想解的贴近度，按理想解贴近度的大小排序，以此作为评价目标优劣的依据。贴近度取值在 0~1 之间，该值愈接近 1, 表示相应的评价目标越接近最优水平；反之，该值愈接近 0, 表示评价目标越接近最劣水平。

基本步骤

• 将原始矩阵正向化
  将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。

• 正向矩阵标准化
  标准化的方法有很多种，其主要目的就是去除量纲的影响，保证不同评价指标在同一数量级，且数据大小排序不变。

• 计算得分并归一化
  $$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$

  $$其中S_i为得分，D_i^{+}为评价对象与最大值的距离，D_i^{-}为评价对象与最小值的距离。$$

我们继续帮助明星Kun选对象

明星 Kun 考虑了一下觉得光靠颜值和脾气可能考虑的还不够全面，就又加上了身高和体重两个指标，而且他认为身高 165 是最好，体重在 90 - 100 斤是最好。

候选人	颜值	脾气（争吵次数）	身高	体重
A	9	10	175	120
B	8	7	164	80
C	6	3	157	90

原始矩阵正向化

指标名称	指标特点	例子
极大型（效益型）指标	越大（多）越好	颜值、成绩、GDP 增速
极小型（成本型）指标	越小（少）越好	脾气、费用、坏品率、污染程度
中间型指标	越接近某个值越好	身高、水质量评估时的 PH 值
区间型指标	落在某个区间最好	体重、体温

将原始矩阵正向化，就是要将所有的指标类型统一转化为极大型指标。

指标名称	公式
极大型（效益型）指标	/
极小型（成本型）指标	$\hat{x}=max-x$，$\hat{x}$为转化后指标，$max$为指标最大值，$x$为指标值
中间型指标	{xi}\{x_i\}{xi​}是一组中间型序列，最优值是$x_{\text{best}}$，正向化公式如下 M=max⁡{∣xi−xbest∣}M = \max\left\{ \vert x_i - x_{\text{best}} \vert \right\}M=max{∣xi​−xbest​∣}，${\hat{x}}_i=1-\frac{|x_i-x_{\text{best}}|}{M}$
区间型指标	{xi}\{x_i\}{xi​}是一组区间型序列，最佳区间为$[a,b]$，正向化公式如下 M=max{a−min{xi},max{xi}−b}M = max\{a - min\{x_i\}, max\{x_i\} - b\}M=max{a−min{xi​},max{xi​}−b}，${\hat{x}}_i=\{\begin{array}{ll}1-\frac{a-x_i}{M},& x_i<a\\ 1,& a\le x_i\le b\\ 1-\frac{x_i-b}{M},& x_i>b\end{array}$

1. 原始矩阵

   候选人	颜值	脾气 (争吵次数)	身高 165	体重 90-100
   A	9	10	175	120
   B	8	7	164	80
   C	6	3	157	90

2. 正向化后的矩阵

   候选人	颜值	脾气 (争吵次数)	身高	体重
   A	9	0	0	0
   B	8	3	0.9	0.5
   C	6	7	0.2	1

3. 正向化矩阵标准化

   • 标准化的目的是消除不同指标量纲的影响。

   假设有$n$个要评价的对象，$m$个评价指标（已正向化）构成的正向化矩阵如下：
   $$X=\left[\begin{array}{ccc}{x}_{11}& \cdots & x_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ x_{n1}& \cdots & x_{nm}\end{array}\right]$$

   那么，对其标准化的矩阵记为$Z$，$Z$中的每一个元素：
   $$z_{ij}=\frac{x_{ij}}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n{x}_{ij}^2}}$$
   （解释：每一个元素 $/$ $\sqrt{其所在列的元素的平方和}$ ）

   • 标准化后，还需给不同指标加上权重，采用的权重确定方法有层次分析法、熵权法、Delphi法、对数最小二乘法等。在这里认为各个指标的权重相同。

候选人	颜值	脾气(争吵次数)	身高	体重
A	9	0	0	0
B	8	3	0.9	0.5
C	6	7	0.2	1

$\Rightarrow$

候选人	颜值	脾气(争吵次数)	身高	体重
A	0.669	0	0	0
B	0.595	0.394	0.976	0.447
C	0.446	0.919	0.217	0.894

4. 计算得分并归一化

   • 上一步得到标准化矩阵 ( Z )
     $$Z=\left[\begin{array}{ccc}{z}_{11}& \cdots & z_{1m}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ z_{n1}& \cdots & z_{nm}\end{array}\right]$$

• 定义最大值
  (Z+=(Z1+,Z2+,…,Zm+)=(max⁡{z11,z21,…,zn1},max⁡{z12,z22,…,zn2},…,max⁡{z1m,z2m,…,znm}))( Z^+ = (Z_1^+, Z_2^+, \dots, Z_m^+) = \big( \max\{z_{11}, z_{21}, \dots, z_{n1}\},\ \max\{z_{12}, z_{22}, \dots, z_{n2}\},\ \dots,\ \max\{z_{1m}, z_{2m}, \dots, z_{nm}\} \big) ) (Z+=(Z1+​,Z2+​,…,Zm+​)=(max{z11​,z21​,…,zn1​}, max{z12​,z22​,…,zn2​}, …, max{z1m​,z2m​,…,znm​}))

  • 定义最小值
    (Z−=(Z1−,Z2−,…,Zm−)=(min⁡{z11,z21,…,zn1},min⁡{z12,z22,…,zn2},…,min⁡{z1m,z2m,…,znm}))( Z^- = (Z_1^-, Z_2^-, \dots, Z_m^-) = \big( \min\{z_{11}, z_{21}, \dots, z_{n1}\},\ \min\{z_{12}, z_{22}, \dots, z_{n2}\},\ \dots,\ \min\{z_{1m}, z_{2m}, \dots, z_{nm}\} \big) ) (Z−=(Z1−​,Z2−​,…,Zm−​)=(min{z11​,z21​,…,zn1​}, min{z12​,z22​,…,zn2​}, …, min{z1m​,z2m​,…,znm​}))

  • 定义第 i(i=1,2,…,n) 个评价对象与最大值的距离
    $$(D_i^{+}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{+}-z_{ij}{)}^2})$$

  • 定义第 i(i=1,2,…,n) 个评价对象与最小值的距离
    $$(D_i^{-}=\sqrt{\sum _{j=1}^m(Z_j^{-}-z_{ij}{)}^2})$$

  • 那么，我们可以计算得出第 i(i=1,2,…,n) 个评价对象未归一化的得分：
    $$S_i=\frac{D_i^{-}}{D_i^{+}+D_i^{-}}$$

  • 很明显 $$0\le S_i\le 1$$，且$$S_i$$ 越大 $$D_i^{+}$$ 越小，即越接近最大值

  • 我们可以将得分归一化并换成百分制：
    $${\tilde{S}}_i=\frac{S_i}{{\sum }_{i=1}^n{S}_i}\times 100$$

5. 归一化后的矩阵

• 上一步标准化的矩阵

  候选人	颜值	脾气（争吵次数）	身高	体重
  A	0.669	0	0	0
  B	0.595	0.394	0.976	0.447
  C	0.446	0.919	0.217	0.894

  $\Rightarrow$

• 归一化后

  候选人	得分
  A	0.122
  B	0.624
  C	0.622

  $\Rightarrow$

• 转换为百分制

  候选人	得分
  A	8.9
  B	45.7
  C	45.5

明星Kun选择了B！！！

资料视频来源：1-2-1 评价决策类-TOPSIS法模型精讲_哔哩哔哩_bilibili