数学基础 -- 欧拉公式的推导过程学习
欧拉公式（Euler’s Formula）：
e i a = cos ( a ) + i sin ( a ) e^{ia} = \cos(a) + i\sin(a) eia=cos(a)+isin(a)
它是复数指数函数与三角函数之间的桥梁，是傅里叶分析和信号处理的基础之一。我们现在来从泰勒展开的角度严格推导它，并讲解每一步的数学意义。
一、背景知识准备
我们将使用泰勒级数展开来推导以下三个函数：
- 指数函数 e x e^x ex
- 余弦函数 cos ( x ) \cos(x) cos(x)
- 正弦函数 sin ( x ) \sin(x) sin(x)
1. 指数函数的泰勒展开：
e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} ex=n=0∑∞n!xn
2. 正弦函数的泰勒展开：
sin ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n + 1 ) ! x 2 n + 1 \sin(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} sin(x)=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1
3. 余弦函数的泰勒展开：
cos ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 2 n ) ! x 2 n \cos(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} cos(x)