具体数学:和式(四)求和的一般方法

2.5 一般性的方法

2.5.1 问题引入：平方和的挑战

考虑前 $n$ 个非负整数的平方和（称为平方金字塔数）：
$${\square }_n=\sum _{0\le k\le n}{k}^2,n\ge 0\text{\hspace{1em}(2.37)}$$

计算前几个值以寻找规律：

$n$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$n^2$	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100
${\square }_n$	0	1	5	14	30	55	91	140	204	285	385

从数值难以直接看出封闭形式

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2.5.2 解法描述

前人智慧

利用已有数学知识库直接获取结果。

$${\square }_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},n\ge 0\text{\hspace{1em}(2.38)}$$

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数学归纳

假设：通过观察小规模值，猜测等价形式：
$${\square }_n=\frac{n\left(n+\frac{1}{2}\right)(n+1)}{3},n\ge 0\text{\hspace{1em}(2.39)}$$

归纳证明：

1. 基础步骤：$n=0$ 时，${\square }_0=0=0\cdot (0+\frac{1}{2})\cdot 1/3$

2. 归纳步骤：假设对 $n-1$ 成立，则
   $$\begin{array}{rl}3{\square }_n& =3{\square }_{n-1}+3n^2\\ & =(n-1)\left(n-\frac{1}{2}\right)n+3n^2\\ & =n^3-\frac{3}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n+3n^2\\ & =n^3+\frac{3}{2}{n}^2+\frac{1}{2}n\\ & =n\left(n+\frac{1}{2}\right)(n+1)\end{array}$$
   故 (2.39) 对所有 $n\ge 0$ 成立。

归纳法的局限**：需要"先猜后证"，依赖灵感或观察；无法揭示公式的内在结构。

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扰动法

扰动平方和(失败)

尝试：对 ${\square }_n={\sum }_{0\le k\le n}{k}^2$ 应用扰动法
$$\begin{array}{rl}{\square }_n+(n+1{)}^2& =\sum _{0\le k\le n}(k+1{)}^2\\ & =\sum _{0\le k\le n}(k^2+2k+1)\\ & ={\square }_n+2\sum _{0\le k\le n}k+(n+1)\end{array}$$

结果：${\square }_n$ 项抵消，得到线性和公式：
$$2\sum _{0\le k\le n}k=(n+1{)}^2-(n+1)=n(n+1)$$

扰动法对平方和直接失效，但意外导出线性和公式 $\sum k=n(n+1)/2$。
这提示：对更高次幂扰动可能解决低次幂问题。

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扰动立方和(成功)

定义：$\square {\square }_n={\sum }_{0\le k\le n}{k}^3$（立方和）

扰动：
$$\begin{array}{rl}\square {\square }_n+(n+1{)}^3& =\sum _{0\le k\le n}(k+1{)}^3\\ & =\sum _{0\le k\le n}(k^3+3k^2+3k+1)\\ & =\square {\square }_n+3{\square }_n+3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\end{array}$$

解出 ${\square }_n$：
$$\begin{array}{rl}3{\square }_n& =(n+1{)}^3-\frac{3n(n+1)}{2}-(n+1)\\ & =(n+1)\left[(n^2+2n+1)-\frac{3n}{2}-1\right]\\ & =(n+1)\left(n^2+\frac{n}{2}\right)\\ & =n(n+1)\left(n+\frac{1}{2}\right)\end{array}$$

最终结果：
$${\square }_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\text{\hspace{1em}(2.38)}$$

扰动法的精髓**： 当直接处理目标和式失败时，升级到更高阶问题（如立方和）可能提供额外方程，从而解出原问题。 这体现了"以退为进"的解题哲学。

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成套方法

[!NOTE]

平方和天然满足线性递归关系：
$$\{\begin{array}{ll}{\square }_0=0& \\ {\square }_n={\square }_{n-1}+n^2& (n>0)\end{array}$$
成套方法专为线性递归设计，而 ${\square }_n$ 的递归式是最简单的线性非齐次递归（一阶线性，非齐次项为 $n^2$）

非齐次项 $n^2$ 是二次多项式，属于三维多项式空间 。P2=span{1,n,n2}。\mathcal{P}_2 = \text{span}\{1, n, n^2\}。P2​=span{1,n,n2}我们构建的通用递归式
$$R_n=R_{n-1}+\beta +\gamma n+\delta n^2$$。精确覆盖了 ${\mathcal{P}}_2$ 空间——参数 $\beta ,\gamma ,\delta$ 正是该空间的坐标。

推广递归式：
$$\{\begin{array}{ll}{R}_0=\alpha & \\ R_n=R_{n-1}+\beta +\gamma n+\delta n^2,& n>0\end{array}\text{\hspace{1em}(2.40)}$$

解的结构：
$$R_n=A(n)\alpha +B(n)\beta +C(n)\gamma +D(n)\delta \text{\hspace{1em}(2.41)}$$

对于 ${\square }_n=\sum k^2$：

• ${\square }_0=0⟹\alpha =0$
• ${\square }_n-{\square }_{n-1}=n^2=0+0\cdot n+1\cdot n^2⟹\beta =0,\gamma =0,\delta =1$

选择特解：$R_n=1$（常数函数）
$$\begin{array}{rl}1& =1+\beta +\gamma n+\delta n^2\\ 0& =\beta +\gamma n+\delta n^2\end{array}$$

比较系数：

• $\beta =0,\gamma =0,\delta =0$
• 初始条件：$R_0=1=\alpha$

代入解的结构 (2.41)：
$$1=A(n)\cdot 1+B(n)\cdot 0+C(n)\cdot 0+D(n)\cdot 0=A(n)$$

结论：$A(n)=1$（对所有 $n$）

选择特解：$R_n=n$（线性函数）

代入递归式 (2.40)：
$$\begin{array}{rl}n& =(n-1)+\beta +\gamma n+\delta n^2\\ 1& =\beta +\gamma n+\delta n^2\end{array}$$

比较系数：

• $\beta =1,\gamma =0,\delta =0$
• 初始条件：$R_0=0=\alpha$

代入解的结构 (2.41)：
$$n=A(n)\cdot 0+B(n)\cdot 1+C(n)\cdot 0+D(n)\cdot 0=B(n)$$

结论：$B(n)=n$

选择特解：$R_n=n^2$（二次函数）

代入递归式 (2.46)：
$$\begin{array}{rl}{n}^2& =(n-1{)}^2+\beta +\gamma n+\delta n^2\\ n^2& =n^2-2n+1+\beta +\gamma n+\delta n^2\\ 0& =(\delta )n^2+(\gamma -2)n+(\beta +1)\end{array}$$

比较系数：

• $\delta =0$
• $\gamma -2=0⟹\gamma =2$
• $\beta +1=0⟹\beta =-1$
• 初始条件：$R_0=0=\alpha$

代入解的结构 (2.41)：
$$n^2=A(n)\cdot 0+B(n)\cdot (-1)+C(n)\cdot 2+D(n)\cdot 0=-B(n)+2C(n)$$

代入 $B(n)=n$：
$$\begin{array}{rl}{n}^2& =-n+2C(n)\\ 2C(n)& =n^2+n\\ C(n)& =\frac{n(n+1)}{2}\end{array}$$

结论：$C(n)=\frac{n(n+1)}{2}$

选择特解：$R_n=n^3$（三次函数，因其差分含 $n^2$ 项）

代入递归式 (2.46)：
$$\begin{array}{rl}{n}^3& =(n-1{)}^3+\beta +\gamma n+\delta n^2\\ n^3& =n^3-3n^2+3n-1+\beta +\gamma n+\delta n^2\\ 0& =(\delta -3)n^2+(\gamma +3)n+(\beta -1)\end{array}$$

比较系数：

• $\delta -3=0⟹\delta =3$
• $\gamma +3=0⟹\gamma =-3$
• $\beta -1=0⟹\beta =1$
• 初始条件：$R_0=0=\alpha$

代入解的结构 (2.41)：
$$n^3=A(n)\cdot 0+B(n)\cdot 1+C(n)\cdot (-3)+D(n)\cdot 3=B(n)-3C(n)+3D(n)$$

代入已知函数：

• $B(n)=n$
• $C(n)=\frac{n(n+1)}{2}$

$$\begin{array}{rl}{n}^3& =n-3\cdot \frac{n(n+1)}{2}+3D(n)\\ n^3& =n-\frac{3n^2+3n}{2}+3D(n)\\ 3D(n)& =n^3-n+\frac{3n^2+3n}{2}\\ 3D(n)& =n^3+\frac{3n^2}{2}+\frac{n}{2}\\ D(n)& =\frac{1}{3}\left(n^3+\frac{3n^2}{2}+\frac{n}{2}\right)\\ D(n)& =\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\\ D(n)& =\frac{n(2n^2+3n+1)}{6}\\ D(n)& =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$

结论：$D(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

对于平方和 ${\square }_n={\sum }_{k=0}^n{k}^2$，参数为：

• $\alpha =0$
• $\beta =0$
• $\gamma =0$
• $\delta =1$

代入解的结构 (2.41)：
$$\begin{array}{rl}{\square }_n& =A(n)\cdot 0+B(n)\cdot 0+C(n)\cdot 0+D(n)\cdot 1\\ & =D(n)\\ & =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\end{array}$$

最终结果：
$$\boxed{{\square }_n=\sum _{k=0}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}$$

积分近似

当前所求近似于 $y=x^2$ 曲线下面积：
$${\int }_0^n{x}^{2}dx=\frac{n^3}{3}$$

误差分析：
定义 $E_n={\square }_n-\frac{n^3}{3}$，则
$$\begin{array}{rl}{E}_n& =E_{n-1}+n^2-\left(\frac{n^3}{3}-\frac{(n-1{)}^3}{3}\right)\\ & =E_{n-1}+n-\frac{1}{3}\end{array}$$

求解 $E_n$：
$$E_n=\sum _{k=1}^n\left(k-\frac{1}{3}\right)=\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n}{3}$$

最终结果：
$${\square }_n=\frac{n^3}{3}+\frac{n(n+1)}{2}-\frac{n}{3}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

[!TIP]

连续与离散的桥梁：

• 积分提供主导项 $\frac{n^3}{3}$
• 误差项揭示低阶修正
• 此方法可推广到任意幂次和

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二重和式转换

关键转换：

[!NOTE]

代数视角：$k^2$ 的分解
关键洞察：
$$k^2=\underset{k\text{ 次}}{\underbrace{k+k+\cdots +k}}=\sum _{j=1}^{k}k$$
对固定的 $k$，将 $k$ 自身相加 $k$ 次，结果就是 $k\times k=k^2$。
$$\begin{array}{rl}{\square }_n& =\sum _{k=1}^n{k}^2\\ & =\sum _{k=1}^n\left(\sum _{j=1}^{k}k\right)\\ & =\sum _{1\le j\le k\le n}k\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\square }_n& =\sum _{1\le k\le n}{k}^2\\ & =\sum _{1\le j\le k\le n}k\text{(将 }k\text{ 表示为 }j\le k\text{ 的计数)}\\ & =\sum _{j=1}^n\sum _{k=j}^{n}k\\ & =\sum _{j=1}^n\frac{(j+n)(n-j+1)}{2}\\ & =\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n\left[n(n+1)+j-j^2\right]\\ & =\frac{1}{2}{n}^2(n+1)+\frac{1}{4}n(n+1)-\frac{1}{2}{\square }_n\end{array}$$

[!NOTE]
$$\sum _{j=1}^{n}n(n+1)=\underset{n\text{ 个}}{\underbrace{n(n+1)+n(n+1)+\cdots +n(n+1)}}=n\cdot n(n+1)=n^2(n+1)$$

$$\sum _{j=1}^{n}j=1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$$

$$\sum _{j=1}^n{j}^2={\square }_n$$

解方程：
$${\square }_n=\frac{1}{2}n\left(n+\frac{1}{2}\right)(n+1)-\frac{1}{2}{\square }_n⟹\frac{3}{2}{\square }_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{4}$$

最终结果：
$${\square }_n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\text{\hspace{1em}(2.38)}$$

有限微积分

暂略

生成函数

暂略