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【ee类保研面试】数学类---线性代数

news 2025/7/31 8:17:13

25保研er，希望将自己的面试复习分享出来，供大家参考
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文章目录

线性代数知识点大全
- **1. 余子式与代数余子式**
- **2. 行列式的含义**
- **3. 矩阵的秩（Rank）**
- **5. 线性方程组解的情况 / 判断是否有解的几种方法**
- **6. 线性相关与线性无关**
- **7. 线性空间（向量空间）**
- **8. 向量空间的基与维数**
- **9. 特征值与特征向量**
- **11. 什么是向量正交？什么是矩阵正交？**
- **12. 正交矩阵**
- **13. 合同矩阵**
- **14. 正定矩阵与半正定矩阵**
- **15. 相似与对角化**
面试出现过的真题
- - 【北航】矩阵的范数：
  - 【北航】线性无关是什么：
  - 【北航】矩阵的行列式：
  - 【北航】矩阵的迹（Trace）：
  - 【ALL】矩阵的秩（Rank）是什么，有什么物理意义：
  - 【北航】Ax = b 有解的条件：
  - 【北航】【复旦】矩阵的特征值是什么，有什么物理意义，应用：
  - 【自动化所】【北航】线性空间（向量空间）：
  - 【软件所】转置矩阵的几何意义：
  - 【北航】正交矩阵：
  - 【北航】矩阵求逆的方法：
  - 【北航】什么时候 AB = BA：
  - 【自动化所】标准正交基，施密特变换：
  - 【东南】正定矩阵的判断方法
常见面试题整理2（线性代数）
- - 1. 矩阵的秩的含义
  - - 📘 基本概念
    - 🔗 与向量组的关系
    - 📐 几何意义
    - 🧮 与线性方程组的关系
    - 🔄 与线性变换的关系
  - 2. 线性相关的含义
  - - 📘 公式定义
    - 📐 几何意义
  - 3. 行列式的含义
  - - 📘 基本概念
    - 📐 几何意义（本质含义）
    - 🔄 与线性变换的关系
  - 4. 特征值与特征向量的关系
  - - 📘 概念说明
    - 🔢 重数关系

线性代数知识点大全

1. 余子式与代数余子式

余子式（minor）：
对于矩阵 $A$ 的第 $i$ 行第 $j$ 列元素 $a_{ij}$ ，去掉第 $i$ 行和第 $j$ 列后所得的子矩阵的行列式，记作：

$Mij=det(Aij)M_{ij} = \text{det}(A_{ij})$
代数余子式（cofactor）：

$A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$

✅ 常用于行列式展开、求逆等运算。

2. 行列式的含义

函数性质：将 $\times n$ 方阵映射到实数。
几何意义：表示该矩阵对应线性变换的体积缩放因子（绝对值）和方向（符号）。
代数意义：等于矩阵所有特征值的乘积。
行列式为 0：矩阵不可逆，向量线性相关。

✅ 面试常问：“行列式为什么可以判断可逆性？”、“为什么是特征值乘积？”

3. 矩阵的秩（Rank）

一个矩阵非零行向量的最大数目，或者线性无关列/行的最大数目。
表示向量组张成空间的维度。
决定线性方程组是否有唯一解、有无穷解或无解。

✅ 常见考点：秩与解空间维度之间的关系。

5. 线性方程组解的情况 / 判断是否有解的几种方法

设增广矩阵为 $(A ∣ b)$
有解的判定标准：

$rank(A)=rank(A∣b)\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)$
解的分类：
- 若等于未知数个数 ⇒ 唯一解
- 若小于未知数个数 ⇒ 无穷多解
- 若不等 ⇒ 无解

✅ 面试高频提问！一定要牢记判定标准。

6. 线性相关与线性无关

向量组 ${v_1, ..., v_n\}$ 中存在线性关系：

$c1v1+⋯+cnvn=0c_1 v_1 + \cdots + c_n v_n = 0$

若有非零解 ⇒ 线性相关；否则 ⇒ 线性无关。

✅ 常问：“如何判断向量组线性无关？” 答：行列式不为零或秩等于向量个数。

7. 线性空间（向量空间）

向量空间是一个集合，满足向量加法与数乘的封闭性等 8 条运算公理。
常见空间如： $Rn\mathbb{R}^n$ 、矩阵空间、函数空间等。

✅ 面试常问：“什么是向量空间？能举一个非欧几里得空间的例子吗？”

8. 向量空间的基与维数

基（Basis）：一组线性无关且张满空间的向量。
维数：该空间基的向量个数，记为 $dim⁡V\dim V$ 。

✅ 面试常问：“基一定唯一吗？”（答：不是，基有无数组，但维数唯一）

9. 特征值与特征向量

对于矩阵 $A$ ，若存在非零向量 $v$ 和标量 $λ\lambda$ 使得：

$\lambda v$

则称 $λ\lambda$ 为特征值， $v$ 为特征向量。
特征值 ⇒ 解特征方程 $det⁡(A−λI)=0\det(A - \lambda I) = 0$

✅ 常考：“对称矩阵的特征值性质？”（答：实对称矩阵特征值一定实，且可正交对角化）

11. 什么是向量正交？什么是矩阵正交？

向量正交： $(α,β)=0(\alpha, \beta) = 0$ ，表示两向量垂直。
矩阵正交： $A⊤A=AA⊤=IA^\top A = AA^\top = I$ ，表示列向量两两正交且为单位向量。

12. 正交矩阵

满足： $A⊤A=IA^\top A = I$
特点：
- 行列互为正交单位组
- 可逆，且 $A−1=A⊤A^{-1} = A^\top$
- 保长、保角（用于旋转/反射等变换）

✅ 面试常问：“正交矩阵乘向量会改变模长吗？”（答：不会）

13. 合同矩阵

若存在可逆矩阵 $P$ ，使得 $P^\top A P$ ，称 $A$ 与 $B$ 合同。
合同矩阵之间保持惯性指数（正负零特征值个数）不变。

✅ 常考于二次型化简与惯性定理。

14. 正定矩阵与半正定矩阵

正定矩阵：
- 对称矩阵 $A$ ，若任意非零向量 $x$ 都满足：
  
  $x⊤Ax>0x^\top A x > 0$
半正定矩阵：满足 $x⊤Ax≥0x^\top A x \geq 0$

✅ 常问：“判断正定性的方法？”

所有特征值为正 ⇔ 正定
所有主子式 > 0 ⇔ 正定

15. 相似与对角化

相似（similarity）：若存在可逆矩阵 $P$ 使得：

$A = PBP^{-1}$

则 $\sim B$ ，相似矩阵有相同特征值
可对角化条件：
- 存在一组线性无关特征向量
- 亦即：矩阵有 $n$ 个线性无关特征向量 ⇔ 可对角化

✅ 面试常问：“是否所有矩阵都可对角化？”（答：不是，比如有缺失特征向量的重根情形）

面试出现过的真题

【北航】矩阵的范数：

引入范数的目的是为了度量矩阵的“大小”或“长度”。
满足性质：
1. 正定性：||A|| = 0 当且仅当 A 是零矩阵；
2. 齐次性：||λA|| = |λ|·||A||；
3. 三角不等式：||A + B|| ≤ ||A|| + ||B||；
4. 乘积次乘性：||AB|| ≤ ||A||·||B||（对某些范数成立）。

【北航】线性无关是什么：

一组向量线性无关 ⇔ 没有一个可以被其他向量线性表示。
只有当所有系数为 0 时，线性组合为零向量。
几何理解：张成的几何体（如平行四边形、六面体、超几何体）体积不为 0。
线性组合中，每个项为一次项，不含常数和向量乘向量。

【北航】矩阵的行列式：

行列式几何意义：广义平行四边形的体积。
行列式为 0 ⇒ 映射使线性无关向量变成线性相关，信息丢失 ⇒ 不可逆。
行列式 ≠ 0 ⇒ 可逆。

【北航】矩阵的迹（Trace）：

定义：主对角线元素之和。
线性算子的“压缩值”。

【ALL】矩阵的秩（Rank）是什么，有什么物理意义：

定义：矩阵中线性无关行/列向量的最大数目。
方法：找出最大的非零子式（子矩阵行列式 ≠ 0）。
物理意义：线性变换后，至少保留的维度数量；保住了“多少个面”。
性质：
- rank(AB) ≤ min{rank(A), rank(B)}
- r(A) + r(B) - n ≤ r(AB)
- 矩阵满秩 ⇔ 可逆

【北航】Ax = b 有解的条件：

条件：rank(A) = rank(A|b)
几种情况：
1. rank = n ⇒ 唯一解；
2. rank < n ⇒ 无穷解；
3. rank(A) ≠ rank(A|b) ⇒ 无解。
几何解释：b 是否在 A 的列空间中。
Ax = 0 若列满秩 ⇒ 仅有零解。

【北航】【复旦】矩阵的特征值是什么，有什么物理意义，应用：

定义：Ax = λx，λ 为特征值，x 为特征向量。
求法：|λI - A| = 0 ⇒ 特征多项式，求解其根。
几何理解：变换后方向不变的向量。
物理意义：算子的“投影不变方向”
所有特征向量正交 ⇒ 可对角化
应用：主成分分析（PCA）、系统稳定性分析等

【自动化所】【北航】线性空间（向量空间）：

定义：非空集合 V 对加法和数乘封闭，满足八条运算公理：
1. 加法交换律
2. 加法结合律
3. 存在加法单位元（零向量）
4. 存在加法逆元
5. 数乘结合律
6. 数乘与加法分配律（两种）
7. 数乘的 1 元素
m 维线性空间：存在 m 个线性无关向量作为一组基

【软件所】转置矩阵的几何意义：

将行变为列、列变为行；
几何上类似于图像绕主对角线翻转（如 45° 对称轴）。

【北航】正交矩阵：

定义：AᵀA = I，列（或行）向量正交且为单位向量。
特性：|A| = ±1，A⁻¹ = Aᵀ。
几何意义：旋转或反射，不改变向量长度和夹角。
可视为一种“换基”方式。

【北航】矩阵求逆的方法：

方法：
1. 初等行变换法（构造增广矩阵 [A | I]）
2. 伴随矩阵法
3. 待定系数法（小矩阵常用）

【北航】什么时候 AB = BA：

A 与 B 可同时对角化 ⇒ 存在同一个可逆 P，使得 P⁻¹AP 和 P⁻¹BP 都是对角矩阵。
特殊情况：A = B
一般矩阵乘法不满足交换律，只有部分可交换。

【自动化所】标准正交基，施密特变换：

标准正交基：两量正交的向量，且长度为单位1
施密特变换：求标准正交基的方法。

【东南】正定矩阵的判断方法

①若A正定，则A的各阶顺序主子式均大于0；
②A的所有特征值均大于0。

未完待续

常见面试题整理2（线性代数）

1. 矩阵的秩的含义

📘 基本概念

矩阵的秩：矩阵中不为零的子式的最大阶数。
对于行阶梯型矩阵，秩等于其非零行的数量。

🔗 与向量组的关系

矩阵的秩 = 列向量组的秩 = 行向量组的秩。
向量组的秩：其极大线性无关组所含向量的个数。

📐 几何意义

矩阵的行空间、列空间的维数 = 秩。
表示该矩阵能在几何上张成的“空间维度”。

🧮 与线性方程组的关系

若 $A$ 为 $\times n$ 矩阵，秩为 $r < n$ ，
- 齐次方程 $A x = 0$ 有 $n - r$ 个基础解向量（自由变量个数）。

🔄 与线性变换的关系

秩 = 保持非零体积的最大维度。
例：一个秩为2的 $\times 3$ 矩阵会将三维体压缩为二维面。

2. 线性相关的含义

📘 公式定义

向量组 $α1,α2,...,αm\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_m$ 线性相关 ⇔ 存在不全为零的 $k_i$ 使得

$k1α1+k2α2+⋯+kmαm=0k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_m\alpha_m = 0$
否则，称线性无关。