微分方程入门之入门之入门，纯笔记

当描述 相对变化量 比 绝对量 更容易时，微分方程就经常用到了。
比如，描述为什么种群数量增加or减少【相对】，比描述为什么它在某个时间点是某个特定值【绝对】更容易。

物理学中，运动经常用力来描述，力–>代表变化状态的加速度。
常微分方程（ODE）：函数有一个自变量；
偏微分方程（PDE）：函数有多个自变量。

Nabla算子（也称为梯度算子，符号为 ∇）是一种微分算子（一个向量），其作用于不同的对象有不同的名称（梯度，散度，旋度）。最早有哈密顿引进，也可叫哈密顿算子。

• 梯度：∇ϕ（表示标量场的梯度，结果是一个向量）。数量场–>向量场，可以看做向量的数量乘法。
• 散度：∇⋅A（表示向量场的散度，结果是一个标量）。向量场–>数量场，可以看做向量的内积or点乘。
  比如在一个梯度场中，每个方向都是指向函数变化最快的方向：
  散度为正，说明它是这个向量场对“源”，有很多点正在远离此处，那么可以理解为此处是一个“山谷”or最低点；
  散度为负，说明它是这个向量场对“汇”，有很多点向它聚集，可以理解为此处是一个“山顶”or最高点。
  散度为零，流入与流出相等。
• 旋度：∇×A（表示向量场的旋度，结果是一个向量），旋涡的方向满足右手定则。
  
  视频见nabla算子

拉普拉斯算子，二阶微分算子，通常用符号 ∇² 表示。求梯度的散度。
有点类似标量值的多变量函数的二阶导数，因为 二阶导>0,说明是极小值点；二阶导<0,说明是极大值点。

视频见拉普拉斯算子直观化