从抽象函数到可计算导数 ——SymPy 中占位、求导、代入的完整闭环

在 SymPy 里，$f$ 最初只是一个名字。

from sympy import symbols, Function, diff, exp, sin, lambdify
x = symbols('x')
f = Function('f')(x)

这行代码让解释器承认存在某个可微映射 $x\mapsto f(x)$，却不必立即给出解析式。凭借这一占位符，我们可以先对含 $f$ 的任意表达式做纯粹符号推演，待逻辑闭合后再把真正的函数体嵌进去，从而把符号世界里的导数翻译成可执行的数值。

占位：表达式与导数

取一个简单却足够说明问题的例子
$$E(x)=x^{2}f(x)+{\mathrm{e}}^{f(x)}.$$
在 SymPy 中只需一行

expr = x**2 * f + exp(f)

接着对 $E$ 求导：

d_expr_dx = diff(expr, x)

SymPy 立即给出
$$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=2xf(x)+\left(x^2+{\mathrm{e}}^{f(x)}\right)\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x},$$
其中 $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ 保持为 Derivative(f(x), x)，因为 $f$ 仍是抽象对象。

代入：把未知函数换成已知函数

真正的数值计算发生在“代入”这一步。替换的本质是告诉 SymPy：

从现在起，$f(x)$ 不再是未知函数，而是某个已知的解析式 $g(x)$。

于是

• 所有出现的 $f(x)$ 节点被 $g(x)$ 取代；
• 同时出现的 Derivative(f(x), x) 被 $\frac{\mathrm{d}g}{\mathrm{d}x}$ 取代。

这一替换通过一次 subs 完成，再调用 .doit() 触发求导：

g = sin(x)                 # 例 1：g(x)=sin(x)
d_expr_1 = d_expr_dx.subs(f, g).doit()

得到
$$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=2x\sin x+\left(x^2+{\mathrm{e}}^{\sin x}\right)\cos x.$$
此刻表达式已完全不含抽象符号，仅含初等函数，可直接代入数值：

val_1 = d_expr_1.subs(x, 3.14159).evalf()

再换一函数：从三次多项式到批量数值

把 $g$ 换成 $x^3+2x$ 同样只需一行：

g = x**3 + 2*x
d_expr_2 = d_expr_dx.subs(f, g).doit()

显式展开后
$$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}x}=2x(x^3+2x)+\left(x^2+{\mathrm{e}}^{x^3+2x}\right)(3x^2+2).$$
若需对大量 $x$ 求值，可再 lambdify：

f_num = lambdify(x, d_expr_2, 'numpy')
xs = np.linspace(0, 2, 1000)
ys = f_num(xs)

小结

1. 抽象函数 $f$ 通过 Function('f')(x) 占位，允许我们先写表达式并求导。
2. 一次 .subs(f, g).doit() 把未知 $f$ 换成已知 $g$，同时自动求出 $g^{\prime }$。
3. 结果表达式完全初等化，可直接代入数值或 lambdify 为高效可执行函数。

至此，从抽象符号到可计算导数的闭环全部打通。