2.2 状态空间表达式的解
现代控制理论第二章核心内容：状态空间表达式的解
本文系统梳理了考研《现代控制理论》第二章核心知识点，包含状态转移矩阵性质、齐次/非齐次方程求解、典型输入响应分析等重要内容，适用于控制科学与工程、自动化等专业考生备考。
一、线性定常齐次状态方程的解（自由解）
1️⃣ 基本方程与解形式
x ˙ = A x ( 齐次微分方程 ) \dot{x}=A x \quad (\text{齐次微分方程}) x˙=Ax(齐次微分方程)
- 初始条件 x ( t 0 ) = x 0 x(t_0)=x_0 x(t0)=x0 时的唯一解：
x ( t ) = e A ( t − t 0 ) x 0 , t ⩾ t 0 x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0, \quad t \geqslant t_0 x(t)=eA(t−t0)x0,t⩾t0 - 特殊情形（ t 0 = 0 t_0=0 t0=0）：
x ( t ) = e A t x 0 , t ⩾ 0 x(t)=e^{At}x_0, \quad t \geqslant 0 x(t)=eAtx0,t⩾0
2️⃣ 核心概念
- 状态转移矩阵 Φ ( t ) \Phi(t) Φ(t)：
Φ ( t ) = e A t ( 表示 x ( 0 ) → x ( t ) 的转移 ) \Phi(t)=e^{At} \quad (\text{表示 } x(0) \to x(t) \text{ 的转移}) Φ(t)=eAt(表示 x(0)→x(t) 的转移)
Φ ( t − t 0 ) = e A ( t − t 0 ) ( 表示 x ( t 0 ) → x ( t ) 的转移 ) \Phi(t-t_0)=e^{A(t-t_0)} \quad (\text{表示 } x(t_0) \to x(t) \text{ 的转移}) Φ(t−t0)=eA(t−t0)(表示 x(t0)→x(t) 的转移) - 解的物理意义：系统在零输入时由初始状态引起的自由运动
二、状态转移矩阵的性质与计算
1️⃣ 四大基本性质
- 组合性：
Φ ( t ) Φ ( τ ) = Φ ( t + τ ) \Phi(t)\Phi(\tau)=\Phi(t+\tau) Φ(t)Φ(τ)=Φ(t+τ) - 单位性：
Φ ( t − t ) = I \Phi(t-t)=I Φ(t−t)=I - 可逆性：
[ Φ ( t ) ] − 1 = Φ ( − t ) [\Phi(t)]^{-1}=\Phi(-t) [Φ(t)]−1=Φ(−t) - 微分特性：
Φ ˙ ( t ) = A Φ ( t ) = Φ ( t ) A \dot{\Phi}(t)=A\Phi(t)=\Phi(t)A Φ˙(t)=AΦ(t)=Φ(t)A
2️⃣ 特殊矩阵的指数函数
| 矩阵类型 | e A t e^{At} eAt 表达式 | 说明 |
|---|---|---|
| 对角矩阵 | ( e λ 1 t ⋱ e λ n t ) \begin{pmatrix}e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t}\end{pmatrix} eλ1t⋱eλnt | Λ = diag ( λ 1 , ⋯ , λ n ) \Lambda = \text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n) Λ=diag(λ1,⋯,λn) |
| 可对角化矩阵 | T ( e λ 1 t ⋱ e λ n t ) T − 1 T\begin{pmatrix}e^{\lambda_1 t} & & \\ & \ddots & \\ & & e^{\lambda_n t}\end{pmatrix}T^{-1} T eλ1t⋱eλnt T−1 | T − 1 A T = Λ T^{-1}AT=\Lambda T−1AT=Λ |
| 约旦块 | ( e λ t t e λ t t 2 2 ! e λ t e λ t t e λ t e λ t ) \begin{pmatrix}e^{\lambda t} & te^{\lambda t} & \frac{t^2}{2!}e^{\lambda t} \\ & e^{\lambda t} & te^{\lambda t} \\ & & e^{\lambda t}\end{pmatrix} eλtteλteλt2!t2eλtteλteλt | J = ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) J=\begin{pmatrix}\lambda & 1 & 0\\0 & \lambda & 1\\0 & 0 & \lambda\end{pmatrix} J= λ001λ001λ |
| 共轭复根 | ( cos ω t sin ω t − sin ω t cos ω t ) e σ t \begin{pmatrix}\cos\omega t & \sin\omega t \\ -\sin\omega t & \cos\omega t\end{pmatrix}e^{\sigma t} (cosωt−sinωtsinωtcosωt)eσt | λ = σ ± j ω \lambda=\sigma\pm j\omega λ=σ±jω |
3️⃣ 三大计算方法
- 级数展开法：
e A t = I + A t + 1 2 ! A 2 t 2 + ⋯ + 1 n ! A n t n + ⋯ e^{At}=I+At+\frac{1}{2!}A^2t^2+\cdots+\frac{1}{n!}A^nt^n+\cdots eAt=I+At+2!1A2t2+⋯+n!1Antn+⋯ - 相似变换法：
- 特征值互异： e A t = T e Λ t T − 1 e^{At}=Te^{\Lambda t}T^{-1} eAt=TeΛtT−1
- 有重特征值： e A t = T e J t T − 1 e^{At}=Te^{J t}T^{-1} eAt=TeJtT−1
- 拉氏变换法：
e A t = L − 1 [ ( s I − A ) − 1 ] e^{At}=\mathscr{L}^{-1}[(sI-A)^{-1}] eAt=L−1[(sI−A)−1]
三、非齐次状态方程的解
1️⃣ 基本方程与通解
x ˙ = A x + B u ( 非齐次微分方程 ) \dot{x}=Ax+Bu \quad (\text{非齐次微分方程}) x˙=Ax+Bu(非齐次微分方程)
- 初始条件 t 0 = 0 , x ( 0 ) = x 0 t_0=0,\ x(0)=x_0 t0=0, x(0)=x0：
x ( t ) = e A t x 0 ⏟ 零输入响应 + ∫ 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ ⏟ 零状态响应 x(t)=\underbrace{e^{At}x_0}_{\text{零输入响应}} + \underbrace{\int_0^t e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau}_{\text{零状态响应}} x(t)=零输入响应 eAtx0+零状态响应 ∫0teA(t−τ)Bu(τ)dτ - 一般初始条件 x ( t 0 ) = x 0 x(t_0)=x_0 x(t0)=x0：
x ( t ) = e A ( t − t 0 ) x 0 + ∫ t 0 t e A ( t − τ ) B u ( τ ) d τ x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0+\int_{t_0}^t e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau x(t)=eA(t−t0)x0+∫t0teA(t−τ)Bu(τ)dτ
2️⃣ 典型输入响应分析
| 输入类型 | 响应表达式 | 备注 |
|---|---|---|
| 脉冲响应 u ( t ) = K δ ( t ) u(t)=K\delta(t) u(t)=Kδ(t) | x ( t ) = e A t x 0 + e A t B K x(t)=e^{At}x_0+e^{At}BK x(t)=eAtx0+eAtBK | K K K为输入向量 |
| 阶跃响应 u ( t ) = K ⋅ 1 ( t ) u(t)=K\cdot1(t) u(t)=K⋅1(t) | x ( t ) = e A t x 0 + A − 1 ( e A t − I ) B K x(t)=e^{At}x_0+A^{-1}(e^{At}-I)BK x(t)=eAtx0+A−1(eAt−I)BK | 需 A A A可逆 |
| 斜坡响应 u ( t ) = K t ⋅ 1 ( t ) u(t)=Kt\cdot1(t) u(t)=Kt⋅1(t) | x ( t ) = e A t x 0 + [ A − 2 ( e A t − I ) − A − 1 t ] B K x(t)=e^{At}x_0+[A^{-2}(e^{At}-I)-A^{-1}t]BK x(t)=eAtx0+[A−2(eAt−I)−A−1t]BK | 需 A A A可逆 |
四、离散时间系统状态方程的解
1️⃣ 离散状态空间表达式
{ x ( k + 1 ) = G x ( k ) + H u ( k ) y ( k ) = C x ( k ) + D u ( k ) \begin{cases} x(k+1)=Gx(k)+Hu(k) \\ y(k)=Cx(k)+Du(k) \end{cases} {x(k+1)=Gx(k)+Hu(k)y(k)=Cx(k)+Du(k)
2️⃣ 连续系统离散化
- 精确离散化：
G ( T ) = e A T , H ( T ) = ∫ 0 T e A τ d τ B G(T)=e^{AT},\quad H(T)=\int_0^T e^{A\tau}d\tau B G(T)=eAT,H(T)=∫0TeAτdτB - 近似离散化（ T T T很小时）：
G ( T ) ≈ T A + I , H ( T ) ≈ T B G(T)\approx TA+I,\quad H(T)\approx TB G(T)≈TA+I,H(T)≈TB
3️⃣ 离散方程解
- 递推解：
x ( k ) = G k x ( 0 ) + ∑ i = 0 k − 1 G k − 1 − i H u ( i ) x(k)=G^kx(0)+\sum_{i=0}^{k-1}G^{k-1-i}Hu(i) x(k)=Gkx(0)+i=0∑k−1Gk−1−iHu(i) - 转移矩阵：
Φ ( k ) = G k \Phi(k)=G^k Φ(k)=Gk
重点公式总结表
| 问题类型 | 核心公式 | 适用条件 |
|---|---|---|
| 齐次方程 | x ( t ) = e A ( t − t 0 ) x 0 x(t)=e^{A(t-t_0)}x_0 x(t)=eA(t−t0)x0 | 零输入 |
| 非齐次方程 | x ( t ) = Φ ( t − t 0 ) x 0 + ∫ t 0 t Φ ( t − τ ) B u ( τ ) d τ x(t)=\Phi(t-t_0)x_0+\int_{t_0}^t\Phi(t-\tau)Bu(\tau)d\tau x(t)=Φ(t−t0)x0+∫t0tΦ(t−τ)Bu(τ)dτ | 有控制输入 |
| 脉冲响应 | x ( t ) = e A t x 0 + e A t B K x(t)=e^{At}x_0+e^{At}BK x(t)=eAtx0+eAtBK | δ ( t ) \delta(t) δ(t)输入 |
| 离散系统 | x ( k ) = G k x ( 0 ) + ∑ i = 0 k − 1 G k − 1 − i H u ( i ) x(k)=G^kx(0)+\sum_{i=0}^{k-1}G^{k-1-i}Hu(i) x(k)=Gkx(0)+∑i=0k−1Gk−1−iHu(i) | 采样系统 |
✏️ 复习建议：
- 重点掌握状态转移矩阵的4大性质和3种计算方法
- 熟练推导非齐次方程解的结构
- 对比记忆连续系统与离散系统解的对应关系
- 通过典型例题练习约旦标准型下的矩阵指数计算
版权声明：本文部分内容整理自《现代控制理论》（刘豹著）及考研复习笔记。公式推导部分参考经典教材，转载请注明出处。