每日一题——樱桃分级优化问题：最小化标准差的动态规划与DFS解决方案

一、问题描述

某大型樱桃加工厂使用自动化机械扫描了一批樱桃的尺寸大小，获得了直径范围 [L, H] 内各个区间的所有樱桃个数统计。现在需要通过 m 个等级（m < H - L）来筛选不同尺寸大小的樱桃，筛选后需使得各等级内的樱桃数量和的标准差最小。

输入格式

• 第一行：两个整数 n（樱桃总组数，2 < n ≤ 20）和 m（需要的等级数，2 < m < n）。
• 第二行：长度为 n 的整数序列 A = [a_0, a_1, …, a_{n-1}]，其中 a_i 表示第 i 组直径对应的樱桃个数（0 < a_i < 100）。

输出格式

输出长度为 m 的序列 B = [b_0, b_1, …, b_{m-1}]，其中：

• b_0 表示从 A 的第 0 位开始，顺序取 b_0 个元素作为第 1 个等级；
• b_1 表示从 A 的第 b_0 位开始，顺序取 b_1 个元素作为第 2 个等级；
• 依次类推，保证所有元素被分配且所得到的等级和序列和的标准差最小。

二、问题本质分析

这是一个将长度为 n 的序列分割成 m 段，使得每一段元素之和的标准差最小的分割优化问题。由于 n ≤ 20，可以使用 动态规划 + 枚举 或者 DFS + 剪枝 来搜索最优分割方案。

三、解题思路

1. 前缀和预处理

预处理序列 A 的前缀和 S，使得任意区间和 sum(i, j) = S[j + 1] - S[i] 能够在 O(1) 时间内获得。

2. DFS 枚举与剪枝

递归枚举每一段的长度，维护以下信息：

• 已分配的段数。
• 当前位置。
• 已经选取的各段和列表。

当分配到第 m 段时，将剩余元素作为最后一段，计算所有段和的标准差，并记录最小标准差的分割方案。

3. 剪枝策略

• 若当前已分配段数与剩余元素无法满足分段数时，直接剪枝。

整理如下，保持结构清晰，并将公式按 CSDN Markdown 规范用 $$ 包裹：

4. 标准差计算

对于段和数组 W = [w_0, w_1, …, w_{m-1}]，其平均值为：

$$\mu =\frac{1}{m}\sum _{k=0}^{m-1}{w}_k$$

标准差为：

$$\sigma =\sqrt{\frac{1}{m}\sum _{k=0}^{m-1}(w_k-\mu {)}^2}$$

在代码中，通过 accumulate 求平均值，再依次计算方差并开方，即可得出标准差，用于评估分段划分的均匀性。标准差越小，说明划分越均匀。需要注意，为避免整数除法造成精度丢失，平均值计算时应以 0.0 作为初始值确保类型为 double。

四、代码实现

以下是完整的C++代码实现，包含详细注释：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;int n, m; // 樱桃总组数和需要的等级数
vector<int> A; // 每组樱桃的数量
vector<int> S; // 前缀和数组double best_std = 1e300; // 当前最小的标准差
vector<int> best_B; // 最优分割方案// 计算区间和 [l, r)
int intervalSum(int l, int r) {return S[r] - S[l];
}// 深度优先搜索 (DFS) 枚举分割方案
void dfs(int pos, int k, vector<int>& W, vector<int>& B) {if (k == m - 1) { // 如果已经分配了 m-1 段int len = n - pos; // 剩余部分作为最后一段B.push_back(len);W.push_back(intervalSum(pos, n)); // 计算最后一段的和// 计算平均值double mu = accumulate(W.begin(), W.end(), 0.0) / m;// 计算方差double var = 0;for (double w : W) var += (w - mu) * (w - mu);var /= m;double std = sqrt(var); // 计算标准差if (std < best_std) { // 如果当前标准差更小best_std = std; // 更新最小标准差best_B = B; // 更新最优分割方案}B.pop_back(); W.pop_back(); // 回溯return;}// 枚举当前段的长度for (int len = 1; pos + len + (m - k ) <= n; ++len) {B.push_back(len); // 将当前段长度加入方案int w = intervalSum(pos, pos + len); // 计算当前段的和W.push_back(w);dfs(pos + len, k + 1, W, B); // 递归枚举下一段B.pop_back(); W.pop_back(); // 回溯}
}int main() {cin >> n >> m; // 输入樱桃总组数和等级数A.resize(n); // 初始化樱桃数量数组for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> A[i]; // 输入每组樱桃的数量S.assign(n + 1, 0); // 初始化前缀和数组for (int i = 0; i < n; ++i) S[i + 1] = S[i] + A[i]; // 计算前缀和vector<int> W, B; // 当前段和列表和当前分割方案dfs(0, 1, W, B); // 开始深度优先搜索for (int x : best_B) cout << x << ' '; // 输出最优分割方案return 0;
}

五、样例解析

样例 1

输入

9 3
1 2 3 4 5 6 7 8 9

输出

5 2 2

解析

• 将 9 组樱桃分为 3 组，使得三组樱桃数量和的标准差最小。
• 分割方案为：
  • 第一组：1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
  • 第二组：6 + 7 = 13
  • 第三组：8 + 9 = 17
• 段和为 [15, 13, 17]，平均值为 15，标准差为 sqrt((15-15)^2 + (15-13)^2 + (15-17)^2) / 3，为所有筛选方案中的最小值。

样例 2

输入

10 4
16 40 37 20 18 30 18 60 50 37

输出

3 3 2 2

解析

• 分割方案为：
  • 第一组：16 + 40 + 37 = 93
  • 第二组：20 + 18 + 30 = 68
  • 第三组：18 + 60 = 78
  • 第四组：50 + 37 = 87
• 段和为 [93, 68, 78, 87]，平均值为 81.5，标准差为 sqrt((93-81.5)^2 + (68-81.5)^2 + (78-81.5)^2 + (87-81.5)^2) / 4，为所有筛选方案中的最小值。

六、一行行代码带你敲

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

零帧起手。

int n, m; // 樱桃总数和需要的等级数
vector<int> A; // 每组樱桃的数量
vector<int> S; // 前缀和数组

没啥好解释的。提前定义好全局变量

int main()

进入main函数

cin>>n>>m;

结构化输入输出，不解释

    A.resize(n); // 初始化樱桃数量数组for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> A[i]; // 输入每组樱桃的数量

确定数量组的大小并且给A[i]赋值

S.assign(n + 1, 0); // 初始化前缀和数组for (int i = 0; i < n; ++i) S[i + 1] = S[i] + A[i]; // 计算前缀和

给前缀和进行赋值。注意提前assign(n + 1, 0);否则S默认值未知

 vector<int> W, B; // 当前段和当前分割方案

dfs

重头戏来了

dfs(0, 0, W, B); // 开始深度优先搜索

第一个参数是开始节点，第二个参数是长度，第三个参数是段和数组，第四个参数是分割方案。表示从0节点开始分割，长度为0，段和数组为空，分割方案为空。

void dfs(int pos, int k, vector<int>& W, vector<int>& B) 

开始分割

for (int len = 1; pos + len + (m - k ) <= n; ++len)

初始长度肯定从1开始，从开始节点开始分割，一定要开始节点+长度+（m-k-1）<=数组长度。m-k-1，表示还剩下的几组，

        B.push_back(len); // 将当前段长度加入方案

将当前段放进方案里面，不处理标准差，等方案确定再一起处理

int w = intervalSum(pos, pos + len); // 计算当前段的和
W.push_back(w);

计算当前段的和,并且push进去

// 计算区间和 [l, r)
int intervalSum(int l, int r) {return S[r] - S[l];
}

intervalSum函数的实现

dfs(pos + len, k + 1, W, B); // 递归枚举下一段

想象着一直递归枚举下去，把m段分好，一直分到最后一段。

    if (k == m ) {return;}

分配到最后一段，也可以return了

   int len = n - pos; // 剩余部分作为最后一段B.push_back(len);W.push_back(intervalSum(pos, n)); // 计算最后一段的和// 计算平均值double mu = accumulate(W.begin(), W.end(), 0.0) / m;

W：是一个 vector，存储了每个段的和。
W.begin()：指向 W 的第一个元素的迭代器。
W.end()：指向 W 的最后一个元素之后的位置的迭代器。
0.0：累加的初始值，这里使用 0.0 而不是 0，是为了确保计算结果是 double 类型，避免整数除法导致的精度丢失。
/ m：将累加结果除以段的数量 m，得到平均值。

// 计算方差double var = 0;for (double w : W) var += (w - mu) * (w - mu);var /= m;double std = sqrt(var); // 计算标准差

最后两行完全没必要，m是一个输入的定值，var和std是平方关系，没必要开根号。

        if (std < best_std) { // 如果当前标准差更小best_std = std; // 更新最小标准差best_B = B; // 更新最优分割方案}

更新方案

double best_std = 1e300; // 当前最小的标准差
vector<int> best_B; // 最优分割方案

别忘了前面要定义一个全局变量，储存方案

        B.pop_back(); W.pop_back(); // 回溯

七、总结

通过前缀和预处理和深度优先搜索（DFS）枚举所有可能的分割方案，结合剪枝策略，可以高效地找到使得各等级内樱桃数量和的标准差最小的分割方案。这种方法适用于 n 较小的情况（如本题中的 n ≤ 20），能够在合理的时间内找到最优解。