几何_平面方程表示_点+向量形式

三维平面方程可以写成：

$$\boxed{\pi :{\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{X}+d=0}$$

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📐 一、几何直观解释

✅ 平面是“法向量 + 平面上一点”定义的集合

一个平面可以由：

• 一个单位法向量 $\mathbf{n}\in {\mathbb{R}}^3$（垂直于平面）；
• 和一个平面上某点 ${\mathbf{X}}_0\in {\mathbb{R}}^3$；

定义平面上任意点 $\mathbf{X}$ 满足：

$$(\mathbf{X}-{\mathbf{X}}_0)\cdot \mathbf{n}=0$$

即，平面上任意点到参考点的连线，与法向量正交（内积为0）。

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🧮 展开上述公式：

$${\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{X}-{\mathbf{n}}^{\top }{\mathbf{X}}_0=0\Rightarrow {\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{X}+d=0$$

其中 $d=-{\mathbf{n}}^{\top }{\mathbf{X}}_0$ 是平面到原点的有向距离。

这就是常见的Hesse平面标准方程形式。

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📊 二、代数形式说明

• 给定平面法向量 $\mathbf{n}=\left[\begin{array}{c}a\\ b\\ c\end{array}\right]$
• 给定平面上一点 ${\mathbf{X}}_0=\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ z_0\end{array}\right]$

则平面上任意点 $\mathbf{X}=\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right]$ 满足：

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0\Rightarrow ax+by+cz+d=0$$

其中：

$$d=-(a{x}_0+b{y}_0+c{z}_0)$$

所以这是一种通用表示平面的方法。

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🧱 举例：地面与墙面

• 地面平面（世界Y轴为竖直方向）：

  • 法向量 $\mathbf{n}=[0,1,0{]}^{\top }$
  • 若地面通过原点，则 $d=0$
  • 方程：$y=0\Rightarrow {\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{X}+d=0$

• 前方墙面平面（正对相机，法向Z轴）：

  • $\mathbf{n}=[0,0,1{]}^{\top }$，若离相机3米远：$d=-3$
  • 方程：$z=3\Rightarrow {\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{X}+d=0$

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✅ 总结

项目	含义
$\mathbf{n}$	平面的单位法向量
$d$	平面到原点的有向距离（负号源自代数形式）
平面点 $\mathbf{X}$ 满足	${\mathbf{n}}^{\top }\mathbf{X}+d=0$

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