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Eigen中Eigen::Affine3d和Eigen::Isometry3d详解

java 2025/9/7 6:19:46

1. 背景：仿射变换 vs 等距变换

在三维空间中，一个 齐次变换矩阵（4×4）一般写作：

$\begin{bmatrix} A & \mathbf{t} \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad A \in \mathbb{R}^{3\times 3}, \mathbf{t} \in \mathbb{R}^3$

这里的 A 决定了旋转/缩放/剪切，t 是平移。

Affine Transform (仿射变换)

$T(\mathbf{x}) = A\mathbf{x} + \mathbf{t}$

A 可以是任意非奇异矩阵，允许旋转、缩放、剪切。
Isometry (等距变换)

$T(\mathbf{x}) = R\mathbf{x} + \mathbf{t}, \quad R \in SO(3)$

这里 R 必须是正交矩阵，且 $det⁡(R)=+1\det(R)=+1$ ，即纯旋转，不允许缩放/畸变。
这是 SE(3) 里标准的位姿表示。

所以：

Affine3d = 一般的仿射变换（包含旋转+平移+缩放+剪切）。
Isometry3d = Affine3d 的子集（只允许旋转+平移）。

2. Eigen 里的实现关系

在 Eigen 里：

Affine3d 继承自 Transform<double, 3, Affine>
Isometry3d 继承自 Transform<double, 3, Isometry>

它们本质上都是 Eigen::Transform 的模板特化，只是内部对 矩阵 A 的约束不同：

类型	模板参数	允许的变换	典型用途
`Eigen::Affine3d`	`Transform<double,3,Affine>`	旋转、平移、缩放、剪切	图形学/通用几何变换
`Eigen::Isometry3d`	`Transform<double,3,Isometry>`	旋转 + 平移（R ∈ SO(3)）	机器人学/SLAM 位姿

3. 转换关系

3.1 `Isometry3d → Affine3d`

总是安全的，因为等距变换一定是仿射变换的特例：

Eigen::Isometry3d iso = Eigen::Isometry3d::Identity();
Eigen::Affine3d affine = iso;  // OK

3.2 `Affine3d → Isometry3d`

可能丢失信息：
如果 Affine3d 中包含缩放/剪切，转成 Isometry3d 时会 直接假设线性部分是旋转矩阵，数值不符合 SE(3) 要求的话，结果不可预测。

Eigen::Affine3d affine = Eigen::Affine3d::Identity();
affine.linear() *= 2.0; // 缩放
Eigen::Isometry3d iso = affine; //  结果不是严格的旋转+平移

3.3 构造与赋值

// 直接从旋转+平移构造
Eigen::Isometry3d iso = Eigen::Translation3d(1,2,3) * Eigen::AngleAxisd(M_PI/4, Eigen::Vector3d::UnitZ());
Eigen::Affine3d affine = iso; // 安全

4. 常见接口差异

两者常用接口大部分相同，比如：

.translation() → 获取/设置平移
.linear() → 获取/设置旋转部分（注意：Affine3d 不一定是正交矩阵！）
* 运算符 → 变换向量或点
.matrix() → 获取 4×4 齐次矩阵

唯一区别：

Isometry3d 在数值上 保证旋转矩阵正交，适合表示位姿。
Affine3d 不做约束，可能引入畸变。

5. 实际应用建议

机器人学 / SLAM / 计算机视觉
用 Isometry3d，保证运算结果在 SE(3)，不会意外引入缩放。
```
Eigen::Isometry3d Tcw;  // 相机位姿
Eigen::Vector3d Pc = Tcw * Pw;
```
计算机图形学 / CAD / 建模
用 Affine3d，因为可能需要缩放、剪切等操作。

6. 小示例

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// 构造 Isometry3d (旋转+平移)Eigen::Isometry3d iso = Eigen::Isometry3d::Identity();iso.translate(Eigen::Vector3d(1,2,3));iso.rotate(Eigen::AngleAxisd(M_PI/4, Eigen::Vector3d::UnitZ()));// 构造 Affine3dEigen::Affine3d affine = Eigen::Affine3d::Identity();affine.linear() *= 2.0;  // 加缩放affine.translation() << 1, 2, 3;// 转换Eigen::Affine3d affine_from_iso = iso; // 安全Eigen::Isometry3d iso_from_affine = affine; //  不一定合法std::cout << "Isometry3d matrix:\n" << iso.matrix() << "\n\n";std::cout << "Affine3d matrix:\n" << affine.matrix() << "\n";
}

总结：

Affine3d = 仿射变换（更通用，允许缩放/剪切）
Isometry3d = 仿射变换的子集（严格 SE(3)，只允许旋转+平移）
实际上 Isometry3d 更适合 位姿 (pose)，Affine3d 更适合 通用几何变换
Isometry3d 可以安全转 Affine3d，反之不保证合法

7.综合示例

下面是一个 综合示例，完整演示 Eigen::Affine3d 和 Eigen::Isometry3d 的构造、转换、使用、对比，适合 SLAM / 机器人学场景。

综合示例：位姿运算与差异对比

#include <Eigen/Dense>
#include <iostream>int main() {// -------------------------------// 1. 构造 Isometry3d（严格的位姿：旋转+平移）// -------------------------------Eigen::Isometry3d T1 = Eigen::Isometry3d::Identity();T1.translate(Eigen::Vector3d(1, 0, 0));  // 平移T1.rotate(Eigen::AngleAxisd(M_PI/4, Eigen::Vector3d::UnitZ()));  // 绕Z轴旋转45度std::cout << "Isometry3d T1:\n" << T1.matrix() << "\n\n";// -------------------------------// 2. 构造 Affine3d（包含缩放的仿射变换）// -------------------------------Eigen::Affine3d T2 = Eigen::Affine3d::Identity();T2.translate(Eigen::Vector3d(0, 2, 0));  // 平移T2.linear() *= 2.0;  // ⚠️ 加缩放，破坏正交性std::cout << "Affine3d T2 (with scaling):\n" << T2.matrix() << "\n\n";// -------------------------------// 3. 类型转换// -------------------------------Eigen::Affine3d affine_from_iso = T1;  // ✅ 永远安全Eigen::Isometry3d iso_from_affine = T2;  // ⚠️ 丢失缩放信息，不一定合法std::cout << "Affine from Isometry (safe):\n" << affine_from_iso.matrix() << "\n\n";std::cout << "Isometry from Affine (unsafe if scaled):\n" << iso_from_affine.matrix() << "\n\n";// -------------------------------// 4. 应用：变换点// -------------------------------Eigen::Vector3d p(1, 1, 1);Eigen::Vector3d p_T1 = T1 * p;   // 严格位姿变换Eigen::Vector3d p_T2 = T2 * p;   // 包含缩放的仿射变换std::cout << "Original point: " << p.transpose() << "\n";std::cout << "Transformed by Isometry3d T1: " << p_T1.transpose() << "\n";std::cout << "Transformed by Affine3d T2 (scaled): " << p_T2.transpose() << "\n\n";// -------------------------------// 5. 提取旋转和平移// -------------------------------std::cout << "T1 translation: " << T1.translation().transpose() << "\n";std::cout << "T1 rotation matrix:\n" << T1.rotation() << "\n\n";std::cout << "T2 translation: " << T2.translation().transpose() << "\n";std::cout << "T2 linear part (not guaranteed orthogonal):\n" << T2.linear() << "\n\n";return 0;
}

输出要点（示例）

Isometry3d T1:
0.707 -0.707 0 1
0.707  0.707 0 0
0      0     1 0
0      0     0 1Affine3d T2 (with scaling):
2 0 0 0
0 2 0 2
0 0 2 0
0 0 0 1Affine from Isometry (safe):   // 完全一致
Isometry from Affine (unsafe): // 旋转矩阵不是严格正交Original point: 1 1 1
Transformed by Isometry3d T1:  1 1.41421 1
Transformed by Affine3d T2 (scaled): 2 4 2T1 translation: 1 0 0
T1 rotation matrix: 正交矩阵
T2 translation: 0 2 0
T2 linear part: 非正交矩阵（带缩放）