DP系列2【01背包】洛谷 P1049 [NOIP 2001 普及组] 装箱问题题解
题目描述
有一个箱子容量为 V，同时有 n 个物品，每个物品有一个体积。
现在从 n 个物品中，任取若干个装入箱内（也可以不取），使箱子的剩余空间最小。输出这个最小值。
输入格式
第一行共一个整数 V，表示箱子容量。
第二行共一个整数 n，表示物品总数。
接下来 n 行，每行有一个正整数，表示第 i 个物品的体积。
输出格式
- 共一行一个整数，表示箱子最小剩余空间。
输入输出样例
输入 #1
24 6 8 3 12 7 9 7
输出 #1
0
说明/提示
对于 100% 数据，满足 0<n≤30，1≤V≤20000。
一、题目概述
在洛谷 P1049 这道题中，给定一个箱子的容量 V，以及 n 个物品，每个物品都有各自的体积。我们的任务是将这些物品放入箱子中，使得箱子的剩余空间最小。这是一道经典的动态规划类型题目，非常适合用来加深对动态规划（DP）和背包问题相关知识的理解与应用。
二、解题思路分析
2.1 理解问题本质
首先，我们要明确目标是让箱子剩余空间最小，这等价于在箱子容量限制下，尽可能多地装入物品，也就是要最大化装入物品的总体积。
2.2 动态规划思想运用
我们采用动态规划方法来解决此问题。定义一个一维数组 dp，其中 dp[i]表示当箱子容量为 i时，能够装入物品的最大体积。
2.3 状态转移方程推导
对于每个物品，我们都面临两种选择：放入当前物品或者不放入当前物品。假设当前考虑的物品体积为 wj（j表示物品的序号），那么状态转移方程可以表示为：dp[i]=max(dp[i],dp[i−wj]+wj)
这意味着，对于容量为 i
的箱子，它能装入的最大体积要么是不放入当前物品时的最大体积 dp[i]，要么是放入当前物品后，在容量为 i−wj 的基础上加上当前物品体积 wj 时的最大体积 dp[i−wj]+wj，我们取两者中的较大值。
2.4 初始化条件设定
初始化 dp 数组时，我们知道当箱子容量为 0 ) 时，无论有多少物品，能装入的物品体积都为 0 \，即 dp[0] = 0 。
2.5 遍历物品更新数组
接下来，我们需要遍历所有的物品。对于每一个物品，都要根据上述状态转移方程去更新 dp
数组中每个容量对应的最大装入体积值。
2.6 计算最终结果
当我们完成对所有物品的遍历和 dp
数组的更新后，箱子的最小剩余空间就可以通过 V−dp[V]来计算得出，这里的 V是箱子的总容量。
2.6 计算最终结果
当我们完成对所有物品的遍历和 \( dp \) 数组的更新后，箱子的最小剩余空间就可以通过 \( V - dp[V] \) 来计算得出，这里的 \( V \) 是箱子的总容量。
三、代码实现
下面以 C++ 语言为例，给出具体的代码实现：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;const int MAXV = 20005; // 设定箱子容量的最大值，可根据题目数据范围调整
int dp[MAXV];
int w[35]; // 存储每个物品的体积，假设物品数量最多35个，可根据题目调整int main() {int V, n;cin >> V >> n;for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> w[i];}dp[0] = 0;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = V; j >= w[i]; j--) {dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + w[i]);}}cout << V - dp[V] << endl;return 0;
}在这段代码中，首先读取箱子容量 V 和物品数量 n，以及每个物品的体积。然后通过两层循环实现动态规划的过程，外层循环遍历物品，内层循环从箱子的最大容量 V开始递减到当前物品体积
w[i]，这样做是为了保证在更新 dp[j] 时，使用的 dp[j−w[i]]是未被当前物品更新过的，符合动态规划的无后效性原则。最后输出箱子的最小剩余空间。
四、总结
洛谷 P1049 装箱问题通过动态规划的方法，巧妙地解决了在有限容量下最大化装入物品体积的问题。通过这道题，我们进一步熟悉了动态规划的解题步骤，包括状态定义、状态转移方程推导、初始化以及遍历更新等过程。在实际应用中，这类问题的解决思路可以拓展到许多类似场景，如资源分配、任务调度等。在解题过程中，需要注意对边界条件的处理以及状态转移方程的正确理解和实现。希望大家通过这道题，能够更好地掌握动态规划这一强大的算法思想，并在后续的编程学习和竞赛中灵活运用。