特殊的整数-水仙花数
水仙花数
定义
水仙花数是一种特殊的整数，其定义为：一个 n 位数（n≥3），它的每个位上的数字的 n 次幂之和等于它本身。
举个例子（最常见的三位数水仙花数）：
- 153：1³ + 5³ + 3³ = 1 + 125 + 27 = 153
- 370：3³ + 7³ + 0³ = 27 + 343 + 0 = 370
- 371：3³ + 7³ + 1³ = 27 + 343 + 1 = 371
- 407：4³ + 0³ + 7³ = 64 + 0 + 343 = 407
如何判断或寻找水仙花数？
以三位数为例，思路如下：
- 遍历所有三位数（100~999）；
- 对每个数分解出百位（a）、十位（b）、个位（c）；
- 计算 a³ + b³ + c³，若结果等于原数，则为水仙花数。
扩展：更多位数的 “水仙花数”
- 四位数：四叶玫瑰数（如 1634 = 1⁴ + 6⁴ + 3⁴ + 4⁴）；
- 五位数：五角星数（如 54748 = 5⁵ + 4⁵ + 7⁵ + 4⁵ + 8⁵）；
- 以此类推，n 位数的这类数统称为 “自幂数”，水仙花数是 n=3 时的特例。
使用编程语言寻找水仙花数
要使用编程语言寻找水仙花数，核心思路是：遍历指定位数的所有整数，分解每个数的各位数字，计算各位数字的 n 次幂之和，若和等于原数，则为水仙花数。
在 Python 语言中
展示如何实现（包含三位数水仙花数的查找，以及通用 n 位数的查找方法）：
1. 查找三位数的水仙花数
三位数的范围是 100~999，步骤清晰，适合入门理解：
# 遍历所有三位数（100~999）
for num in range(100, 1000):# 分解百位、十位、个位数字hundreds = num // 100 # 百位：整除100tens = (num // 10) % 10 # 十位：先整除10，再对10取余units = num % 10 # 个位：对10取余# 计算各位数字的3次幂之和sum_power = hundreds**3 + tens**3 + units**3# 若和等于原数，则为水仙花数if sum_power == num:print(num)
输出结果（三位数水仙花数）：
2. 通用方法：查找任意 n 位数的水仙花数（n≥3）
对于 n 位数（如四位数、五位数等），可以写一个通用函数，通过动态计算位数范围和分解数字来实现：
def find_narcissistic_numbers(n):"""查找n位数的水仙花数（n≥3）"""if n < 3:print("请输入≥3的位数")return# 确定n位数的范围：10^(n-1) ~ 10^n - 1start = 10 **(n - 1)end = (10** n) - 1narcissistic_numbers = [] # 存储结果for num in range(start, end + 1):temp = num # 临时变量，用于分解数字sum_power = 0# 分解各位数字，并计算n次幂之和while temp > 0:digit = temp % 10 # 取当前末位数字sum_power += digit **n # 累加末位数字的n次幂temp = temp // 10 # 移除末位数字# 判断是否为水仙花数if sum_power == num:narcissistic_numbers.append(num)return narcissistic_numbers# 示例：查找四位数的水仙花数（四叶玫瑰数）
print("四位数水仙花数：", find_narcissistic_numbers(4))
# 示例：查找五位数的水仙花数（五角星数）
print("五位数水仙花数：", find_narcissistic_numbers(5))
输出结果：
四位数水仙花数： [1634, 8208, 9474]
五位数水仙花数： [54748, 92727, 93084]
核心逻辑解析
1.** 确定范围 ：n 位数的范围是 10^(n-1) 到 10^n - 1**（如 3 位数：100~999）；**
2. 分解数字 ：通过循环取余（%10）获取末位数字，再整除 10（//10）移除末位，直到数字为 0；
3. 计算幂和 ：将每个位的数字取 n 次幂后累加；
4. 判断相等 **：若累加和等于原数，则为水仙花数。
其他编程语言（如 Java、C++）的思路完全一致，只是语法略有差异，核心都是 “遍历→分解→计算→判断”。
在 C 语言中
实现寻找水仙花数的思路与核心逻辑和 Python 一致，主要差异在于语法细节（如循环、变量类型、幂运算实现等）。以下分两种情况实现：
1. 查找三位数的水仙花数
直接遍历 100~999，分解百位、十位、个位后计算立方和：
#include <stdio.h>int main() {int num;int hundreds, tens, units; // 百位、十位、个位printf("三位数水仙花数：");// 遍历所有三位数（100~999）for (num = 100; num < 1000; num++) {// 分解各位数字hundreds = num / 100; // 百位：整除100tens = (num / 10) % 10; // 十位：先整除10，再对10取余units = num % 10; // 个位：对10取余// 计算立方和（3次幂）int sum_power = hundreds * hundreds * hundreds + tens * tens * tens + units * units * units;// 判断是否为水仙花数if (sum_power == num) {printf("%d ", num);}}printf("\n");return 0;
}
运行结果：
三位数水仙花数：153 370 371 407
2. 通用方法：查找任意 n 位数的水仙花数（n≥3）
通过函数封装，支持指定 n 位数的查找（如四位数、五位数等）。需注意：
-
用long long避免大数字溢出；
-
自定义幂运算函数（避免pow函数的浮点数精度问题）。
#include <stdio.h>// 自定义整数幂运算：计算base的exponent次幂（返回long long避免溢出）
long long power(int base, int exponent) {long long result = 1;for (int i = 0; i < exponent; i++) {result *= base;}return result;
}// 查找n位数的水仙花数（n≥3）
void findNarcissisticNumbers(int n) {if (n < 3) {printf("请输入≥3的位数！\n");return;}// 计算n位数的范围：start=10^(n-1)，end=10^n - 1long long start = power(10, n - 1);long long end = power(10, n) - 1;printf("%d位数的水仙花数：", n);// 遍历范围内的所有数for (long long num = start; num <= end; num++) {long long temp = num; // 临时变量用于分解数字long long sum_power = 0;// 分解各位数字并计算n次幂之和while (temp > 0) {int digit = temp % 10; // 取末位数字sum_power += power(digit, n); // 累加末位数字的n次幂temp = temp / 10; // 移除末位数字}// 判断是否为水仙花数if (sum_power == num) {printf("%lld ", num);}}printf("\n");
}int main() {// 示例：查找四位数、五位数的水仙花数findNarcissisticNumbers(4); // 四叶玫瑰数findNarcissisticNumbers(5); // 五角星数return 0;
}
运行结果：
4位数的水仙花数：1634 8208 9474
5位数的水仙花数：54748 92727 93084
核心逻辑说明
-
范围确定：n 位数的范围通过10(n-1)到10n - 1计算（用自定义power函数避免浮点数误差）；
-
数字分解：通过temp % 10取末位数字，temp / 10移除末位，循环直到temp为 0；
-
幂运算：自定义power函数计算整数次幂（比math.h的pow更可靠，无精度丢失）；
-
溢出处理：用long long类型存储较大的数字和幂运算结果（避免 int 类型溢出）。
逻辑说明
-
范围确定：n 位数的范围通过10(n-1)到10n - 1计算（用自定义power函数避免浮点数误差）；
-
数字分解：通过temp % 10取末位数字，temp / 10移除末位，循环直到temp为 0；
-
幂运算：自定义power函数计算整数次幂（比math.h的pow更可靠，无精度丢失）；
-
溢出处理：用long long类型存储较大的数字和幂运算结果（避免 int 类型溢出）。
通过以上代码，可以在 C 语言中高效查找任意位数的水仙花数，逻辑清晰且适配不同场景。