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AVLTree的模拟实现

ds 2025/5/15 14:19:10

1：AVLTree的概念

1：AVL树是最先发明的⾃平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的左右⼦树都是AVL树，且左右⼦树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树，通过控制⾼度差去控制平衡。

2： AVL树得名于它的发明者G.M.Adelson - Velsky和E.M.Landis是两个前苏联的科学家，他们在1962年的论⽂《An algorithm for the organization of information》中发表了它。

3：AVL树实现这⾥我们引⼊⼀个平衡因⼦(balance factor)的概念，每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右⼦树的⾼度减去左⼦树的⾼度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0 / 1 / -1，AVL树并不是必须要平衡因⼦，但是有了平衡因⼦可以更⽅便我们去进⾏观察和控制树是否平衡，就像⼀个风向标⼀样。

4：思考⼀下为什么AVL树是⾼度平衡搜索⼆叉树，要求⾼度差不超过1，⽽不是⾼度差是0呢？0不是更好的平衡吗？画画图分析我们发现，不是不想这样设计，⽽是有些情况是做不到⾼度差是0的。⽐如⼀棵树是2个结点，4个结点等情况下，⾼度差最好就是1，⽆法做到⾼度差是0

5：AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在，那么增删查改的效率也可以控制在，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升

2：AVLTree的实现

1：AVLTree的节点

template<class T>
struct AVLTreeNode {AVLTreeNode(const T& data = T()) :_pLeft(nullptr), _pRight(nullptr), _pParent(nullptr), _data(data), _bf(0){}//结构体成员AVLTreeNode<T>* _pLeft;AVLTreeNode<T>* _pRight;AVLTreeNode<T>* _pParent;T _data;int _bf;//节点的平衡因子
};

template<class T>
class AVLTree 
{typedef AVLTreeNode<T> Node;
public:AVLTree():_pRoot(nullptr){}//.................
private:Node* _pRoot;
};

2:AVLTree的插入

1：插入的大概过程

1. 插⼊⼀个值按⼆叉搜索树规则进⾏插⼊。

2. 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。

3. 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插⼊结束

4. 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。

2：平衡因子的更新

更新原则：

• 平衡因⼦ = 右⼦树⾼度 - 左⼦树⾼度

• 只有⼦树⾼度变化才会影响当前结点平衡因⼦。

• 插⼊结点，会增加⾼度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因⼦++，新增结点在parent的左⼦树，parent平衡因⼦--

• parent所在⼦树的⾼度是否变化决定了是否会继续往上更新

更新停⽌条件：

• 更新后parent的平衡因⼦等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为 - 1->0 或者 1->0，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，更新结束。

• 更新后parent的平衡因⼦等于1 或 - 1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1 或者 0-> - 1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。

• 更新后parent的平衡因⼦等于2 或 - 2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2 或者 - 1-> - 2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把parent⼦树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。

• 不断更新，更新到根，跟的平衡因⼦是1或 - 1也停⽌了

3：更新平衡因子的代码实现

bool Insert(const T& data)
{if (_pRoot == nullptr){_pRoot = new Node(data);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _pRoot;while (cur){parent = cur;if (cur->_data < data){				cur = cur->_pRight;}else if (cur->_data > data){cur = cur->_pLeft;}else{return false;}}cur = new Node(data);if (parent->_data < data){parent->_pRight = cur;}else{parent->_pLeft = cur;}cur->_pParent = parent;//更新平衡因子while (parent){if (cur == parent->_pLeft){parent->_bf--;}else{parent->_bf++;}if (parent->_bf == 0){break;}else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1){cur = parent;parent = parent->_pParent;}else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2){if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1){RR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1){RL(parent);}else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1){RLR(parent);}else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1){RRL(parent);}break;}else{assert(false);}}
}

3：AVLTree的旋转

1：旋转的原则

1. 保持搜索树的规则

2. 让旋转的树从不满⾜变平衡，其次降低旋转树的⾼度旋转总共分为四种，左单旋 / 右单旋 / 左右双旋 / 右左双旋。

说明：下⾯的图中，有些结点我们给的是具体值，如10和5等结点，这⾥是为了⽅便讲解，实际中是什么值都可以，只要⼤⼩关系符合搜索树的性质即可。

2：右单旋

//右单旋
void RR(Node* pParent)
{Node* subL = pParent->_pLeft;Node* subLR = subL->_pRight;pParent->_pLeft = subLR;if (subLR != nullptr){subLR->_pParent = pParent;}subL->_pRight = pParent;Node* ppnode = pParent->_pParent;pParent->_pParent = subL;subL->_pParent = ppnode;if (ppnode == nullptr){_pRoot = subL;}else{if (ppnode->_pLeft == pParent){ppnode->_pLeft = subL;}else{ppnode->_pRight = subL;}}subL->_bf = pParent->_bf = 0;
}

3：左单旋

//左单旋
void RL(Node* pParent)
{Node* subR = pParent->_pRight;Node* subRL = subR->_pLeft;pParent->_pRight = subRL;if (subRL!=nullptr){subRL->_pParent = pParent;}subR->_pLeft = pParent;Node* ppnode = pParent->_pParent;pParent->_pParent = subR;subR->_pParent = ppnode;if (ppnode == nullptr){_pRoot = subR;}else{if (ppnode->_pLeft == pParent){ppnode->_pLeft = subR;}else{ppnode->_pRight = subR;}}pParent->_bf = subR->_bf = 0;
}

4：右左双旋

//右左双旋转
void RRL(Node* pParent)
{Node* subR = pParent->_pRight;Node* subRL = subR->_pLeft;int bf = subRL->_bf;RR(subR);RL(pParent);if (bf == -1){pParent->_bf = 0;subR->_bf = 1;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 1){pParent->_bf = -1;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else if (bf == 0){pParent->_bf = 0;subR->_bf = 0;subRL->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

5：左右双旋

//左右双旋转
void RLR(Node* pParent)
{Node* subL = pParent->_pLeft;Node* subLR = subL->_pRight;int bf = subLR->_bf;RL(subL);RR(pParent);if (bf == 1){pParent->_bf = 0;subL->_bf = -1;subLR->_bf = 0;}else if (bf == -1){pParent->_bf = 1;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else if (bf == 0){pParent->_bf = 0;subL->_bf = 0;subLR->_bf = 0;}else{assert(false);}
}

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