重力场模型、球谐函数以及重力异常

地球重力场有两种表达方法：

1、拉普拉斯（Laplace）方法，将重力场展开为球谐级数。

2、斯托克斯（Stokes）方法，根据地球的总质量和旋转角速度计算。

本篇主要说第一种方法，该方法将地球表面观测的重力值f(θ,φ)展开成球谐函数Y的级数：

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其中，θ为余纬，φ经度，Y为拉普拉斯方程的解，为球谐函数。

Pnm是缔合（连带）勒让德多项式，勒让德多项式的m阶导数。

水平实在有限，只能理解到这种程度。

球谐函数Y只与θ，φ有关，与球谐函数Y的大小r无关，如果用球面的颜色表示球谐函数的值，则l=5,m=2时，图像如下：

r的计算公式如下：

因此，球谐函数及其它们的和的图形表示如下：

上图中n即是l，k即是m。负阶导数的概念如下：

对于函数f(x)，如果它的一阶导数存在，那么f(x)的倒数1/f(x)的导数就是负一阶导数。

GRACE重力卫星通过GPS和K波段测距仪以1cm的精度精确测量两颗子卫星的间距，从而获得地球重力场的信息，经过滤波处理后可以得到地球静态的重力场模型。再通过球谐函数的线性叠加即可得到大地水准面的形态，其大地水准面表达式如下：

由于大地水准面接近旋转椭球面，而旋转椭球面又是大地测量的基准面，如果采用实际地球的长半径、扁率，引力场参数及旋转角速度作为椭球参数，就能得到一个与大地水准面几何形状和外部重力场都很符合的水准椭球。大地水准面扣除参考椭球面（一般为WGS84椭球体）就可以推算出大地水准面的起伏和重力异常。

ICGEM网站上有很多地球静态重力场模型，见下图。

图中Degree就是阶，gfz文件就是球谐函数的系数文件。根据系数文件就可以计算地球任一点的重力场值，网络上有相关计算过程。如果不会（博主也不会），ICGEM提供了在线计算过程。

下图是选择第一行的WHU-SWPU-GOGR2022的300阶系数文件。

计算重力异常格网如下图。

参考文献

https://blog.csdn.net/xiaokcehui/article/details/145836165?spm=1001.2014.3001.5501

https://qingping-liu.github.io/%E7%90%83%E8%B0%90%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%8F%AF%E8%A7%86%E5%8C%96.html

https://blog.csdn.net/absll/article/details/124941810

https://icgem.gfz-potsdam.de/calcgrid

基于球谐函数的重力异常和垂线偏差误差匹配关系_万晓云2017

https://blog.csdn.net/u010087338/article/details/118438788

https://zhuanlan.zhihu.com/p/430163791