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排序算法——基数排序

ds 2025/5/11 9:15:47

一、介绍

计数排序，它适用于数据量𝑛较大但数据范围𝑚较小的情况。假设我们需要对𝑛=个学号进行排序，而学号是一个8位数字，这意味着数据范围𝑚=非常大，使用计数排序需要分配大量内存空间，而基数排序可以避免这种情况。

「基数排序radixsort」的核心思想与计数排序一致，也通过统计个数来实现排序。在此基础上，基数排序利用数字各位之间的递进关系，依次对每一位进行排序，从而得到最终的排序结果。

二、算法流程

以学号数据为例，假设数字的最低位是第1位，最高位是第8位，基数排序的流程如下图所示。

1. 初始化位数𝑘=1。

2. 对学号的第𝑘位执行“计数排序”。完成后，数据会根据第𝑘位从小到大排序。

3. 将𝑘增加1，然后返回步骤2.继续迭代，直到所有位都排序完成后结束。

为什么从最低位开始排序？在连续的排序轮次中，后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说，如果第一轮排序结果 a<b，而第二轮排序结果a>b，那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位，我们应该先排序低位再排序高位。

下面来剖析代码实现。对于一个𝑑进制的数字𝑥，要获取其第𝑘位𝑥𝑘，可以使用以下计算公式：

其中⌊𝑎⌋表示对浮点数𝑎向下取整，而mod𝑑表示对𝑑取余。对于学号数据，𝑑=10且𝑘∈[1,8]。此外，我们需要小幅改动计数排序代码，使之可以根据数字的第𝑘位进行排序。

三、代码实现

def digit(num: int, exp: int) -> int:"""获取元素 num 的第 k 位，其中 exp = 10^(k-1)"""# 传入 exp 而非 k 可以避免在此重复执行昂贵的次方计算return (num // exp) % 10def counting_sort_digit(nums: list[int], exp: int):"""计数排序（根据 nums 第 k 位排序）"""# 十进制的位范围为 0~9 ，因此需要长度为 10 的桶数组counter = [0] * 10n = len(nums)# 统计 0~9 各数字的出现次数for i in range(n):d = digit(nums[i], exp)  # 获取 nums[i] 第 k 位，记为 dcounter[d] += 1  # 统计数字 d 的出现次数# 求前缀和，将“出现个数”转换为“数组索引”for i in range(1, 10):counter[i] += counter[i - 1]# 倒序遍历，根据桶内统计结果，将各元素填入 resres = [0] * nfor i in range(n - 1, -1, -1):d = digit(nums[i], exp)j = counter[d] - 1  # 获取 d 在数组中的索引 jres[j] = nums[i]  # 将当前元素填入索引 jcounter[d] -= 1  # 将 d 的数量减 1# 使用结果覆盖原数组 numsfor i in range(n):nums[i] = res[i]def radix_sort(nums: list[int]):"""基数排序"""# 获取数组的最大元素，用于判断最大位数m = max(nums)# 按照从低位到高位的顺序遍历exp = 1while exp <= m:# 对数组元素的第 k 位执行计数排序# k = 1 -> exp = 1# k = 2 -> exp = 10# 即 exp = 10^(k-1)counting_sort_digit(nums, exp)exp *= 10"""Driver Code"""
if __name__ == "__main__":# 基数排序nums = [10546151,35663510,42865989,34862445,81883077,88906420,72429244,30524779,82060337,63832996,]radix_sort(nums)print("基数排序完成后 nums =", nums)