2.1 行列式

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引言

行列式是线性代数的核心工具，贯穿矩阵运算、特征值计算与微分方程求解。本文系统梳理2.1节核心考点，结合公式速查与典型例题，助你高效突破行列式难点！

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考点一：数值型行列式计算

1️⃣ 行列式的定义

(1) 定义方式

• 排列逆序数法：
  $$|A|=\sum _{j_1{j}_2\cdots j_n}(-1{)}^{\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)}{a}_{1j_1}{a}_{2j_2}\cdots a_{n{j}_n}$$
  其中 $\tau (j_1{j}_2\cdots j_n)$ 为排列的逆序数。
• 几何意义：平行六面体体积的带符号值。

(2) 关键点

• 符号规则：交换两行（列）行列式变号。
• 数乘规则：某行（列）乘以常数 $k$，行列式变为 $k|A|$。

2️⃣ 行列式的性质

转置 ： $|A^T|=|A|$
行交换 ： 交换两行，行列式变号 ；交换第1、2行，$|A|\to -|A|$
数乘 ： 某行乘以 $k$，行列式变为 $k|A|$ ；第3行乘2，$|A|\to 2|A|$
行加法 ： 某行加上另一行的 $k$ 倍，行列式不变；$r_1\leftarrow r_1+k{r}_2$
分块对角矩阵： $\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)=|A|\cdot |B|$

3️⃣ 特殊行列式计算

(1) 行和（列和）相等型

技巧：将其他行（列）加到目标行（列），提取公因子。
示例：
$$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|\stackrel{r_1+r_2+r_3}{\to }\left|\begin{array}{ccc}6& 6& 6\\ 2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|=6\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 2& 3& 1\\ 3& 1& 2\end{array}\right|$$

(2) “么”型行列式

形式：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}0& 0& \cdots & a_{1n}\\ 0& 0& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & 0\end{array}\right|$$
解法：按第一行展开，得 $D=(-1{)}^{n+1}{a}_{n1}\cdot M_{n1}$。

(3) “爪”型行列式

形式：
$$D=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& 0& \cdots & 0\end{array}\right|$$
解法：将第 $i$ 列乘 $-\frac{a_{i1}}{a_{1j}}$ 加到第1列（$i\ge 2$），化为上三角。

(4) 范德蒙德行列式

公式：
$$V_n=\prod _{1\le i<j\le n}(x_j-x_i)$$
示例：
$$\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ x_1& x_2& x_3\\ x_1^2& x_2^2& x_3^2\end{array}\right|=(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2)$$

4️⃣ 一般行列式计算

(1) 化零展开法

步骤：

1. 利用行变换将某行（列）尽可能化为零。
2. 按零多的行（列）展开。
   示例：
   $$D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|\stackrel{r_2-4r_1,r_3-7r_1}{\to }\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 0& -3& -6\\ 0& -6& -12\end{array}\right|=1\cdot \left|\begin{array}{cc}-3& -6\\ -6& -12\end{array}\right|=0$$

(2) 特征值法

公式：$|A|={\prod }_{i=1}^n{\lambda }_i$（${\lambda }_i$ 为特征值）。
示例：
若 $A$ 的特征值为 $1,2,3$，则 $|A|=1\times 2\times 3=6$。

5️⃣ 代数余子式

(1) 余子式与代数余子式

• 余子式：$M_{ij}$ 是划去第 $i$ 行第 $j$ 列后的行列式。
• 代数余子式：$A_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}$。

(2) 伴随矩阵

公式：
$$A^{\ast }=\left(\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}\right)$$

(3) 行列式按行（列）展开定理

公式：
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和：
$$|A|=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(\text{按第 }i\text{ 行展开})$$
或
$$|A|=\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{ij}(\text{按第 }j\text{ 列展开})$$
示例：
计算行列式 $D=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right|$ 按第一行展开：
$$D=1\cdot A_{11}+2\cdot A_{12}=1\cdot 4-2\cdot 3=-2$$

(4) 不同行（列）代数余子式的正交性

公式：
行列式某一行（列）的元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零：
$$\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{A}_{kj}=0(i\ne k)$$
或
$$\sum _{i=1}^n{a}_{ij}{A}_{il}=0(j\ne l)$$
示例：
设行列式 $D=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right|$，计算第一行与第二行代数余子式的乘积和：
$$1\cdot A_{21}+2\cdot A_{22}+3\cdot A_{23}=0$$

6️⃣ 分块矩阵行列式

(1) 分块对角矩阵

$$\left|\left(\begin{array}{cc}A& 0\\ 0& B\end{array}\right)\right|=|A|\cdot |B|$$

(2) 分块上三角矩阵

$$\left|\left(\begin{array}{cc}A& C\\ 0& B\end{array}\right)\right|=|A|\cdot |B|$$

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考点二：抽象矩阵的行列式

1️⃣ 行列式的乘法性质

• 乘法公式：$|AB|=|A|\cdot |B|$。
• 反例：$|A+B|\ne |A|+|B|$（除非特殊结构）。

2️⃣ 特征值与行列式

公式：
$$|A|=\prod _{i=1}^n{\lambda }_i$$
示例：
若 $A$ 的特征值为 $2,-1,3$，则 $|A|=2\times (-1)\times 3=-6$。

3️⃣ 其他重要结论

(1) 不可逆矩阵

• 若 $A$ 不可逆（$r(A)<n$），则 $|A|=0$。

(2) 伴随矩阵的行列式

$$|A^{\ast }|=|A{|}^{n-1}$$

(3) 逆矩阵的行列式

$$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$$

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实战技巧

1. 化零优先：通过行变换构造零元素，简化展开计算。
2. 特征值法：已知特征值时直接相乘求行列式。
3. 分块处理：对分块矩阵利用对角块性质简化计算。

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总结：行列式的核心在于灵活运用性质化简计算，结合特征值与分块技巧可大幅提速。掌握抽象矩阵的行列式规律，是突破高阶题目的关键！ 🚀

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