高中数学联赛模拟试题精选学数学系列第7套几何题

点 $O$ 和点 $I$ 分别是 $△ABC$ 的外心和内心. 点 $A$ 关于 $I$ 的对称点为点 $K$, 点 $K$ 关于 $BC$ 的对称点为点 $L$. 求证: $△AOI\sim △IOL$. (《高中数学联赛模拟试题精选》“学数学”系列第7套几何题)

证明:

设 $I$ 关于直线 $BC$ 的对称点为点 $I^{\prime }$. 延长 $AI$ 交 $(ABC)$ 于点 $M$. 设 $△ABC$ 的外接圆半径和内切圆半径分别为 $R$, $r$.

首先证明: $△OAI\sim △MI{I}^{\prime }$.

$\angle OAI=\angle MI{I}^{\prime }=|\frac{\pi }{2}-(B+\frac{A}{2})|$.

只需证明 $MI/OA=I{I}^{\prime }/AI$.

由鸡爪定理 $MI=MB=2R\sin \frac{A}{2}$.

$MI/OA=2\sin \frac{A}{2}$.

显然 $I{I}^{\prime }/AI=\frac{2r}{AI}=2\sin \frac{A}{2}$.

所以 $△OAI\sim △MI{I}^{\prime }$.

再证明: $△IOM\sim △I^{\prime }KI$.

显然 $OI//I{I}^{\prime }$, 所以 $\angle OMI=\angle KI{I}^{\prime }$.

$IM/OM=2\sin \frac{A}{2}$, $I{I}^{\prime }/KI=\frac{2r}{AI}=2\sin \frac{A}{2}$.

所以 $△IOM\sim △I^{\prime }KI$.

最后证明: $△OIL\sim △MI{I}^{\prime }$.

$\angle OIM=\angle K{I}^{\prime }I$.

显然四边形 $LI{I}^{\prime }K$ 是等腰梯形, 所以 $\angle LI{I}^{\prime }=\angle K{I}^{\prime }I$ 且 $LI=K{I}^{\prime }$.

所以 $\angle OIM=\angle LI{I}^{\prime }$, 进而 $\angle OIL=\angle MI{I}^{\prime }$.

$IO/IL=IO/K{I}^{\prime }=IM/I{I}^{\prime }$.

所以 $△OIL\sim △MI{I}^{\prime }$.

由相似关系的传递性可知 $△AOI\sim △IOL$.

证毕.